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4.8　解三角形应用举例
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A点在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
2.(2025·河南省创新发展联盟联考)如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向.在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，A在B的南偏西30°方向，若A地地动仪正东方位的龙珠落下，B地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离B地(　　)
A.50 km B.100 km
C.100(+1)km D.120(+1)km
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
4.(2025·湖州模拟)为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°(A，O，B在同一水平面上)，则铁塔OT的高度为(　　)
A.10米 B.10米
C.30米 D.30米
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
6.在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(　　)
A.B舰艇所需的时间为1小时
B.B舰艇所需的时间为2小时
C.sin θ=
D.sin θ=
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD=60 m，则河流的宽度BC=　　　　　　m.
8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ=　　　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°，∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG= km.
(1)求点P和点M之间的距离；(6分)
(2)求两山顶M，N之间的距离.(7分)
10.(15分)(2025·济宁模拟)如图所示，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，AB=5(3+)海里，D点位于A观测点北偏东45°，且B观测点北偏西60°的位置，C点位于B观测点南偏西60°，且BC=20 海里的位置.现D点有一艘轮船发出求救信号，C点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时.求：
(1)DB的距离；(8分)
(2)该救援船到达D点所需要的时间.(7分)
4.8　解三角形应用举例
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A点在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A，B两点间的距离为(　　)
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案　A
解析　因为∠ACB=45°，∠CAB=105°，
所以∠ABC=180°-45°-105°=30°，
在△ABC中，由正弦定理得=，
即=，解得AB=50.
所以A，B两点间的距离为50 m.
2.(2025·河南省创新发展联盟联考)如图为地动仪的模型图，地动仪共有东、南、西、北、东南、西南、东北、西北八个方位，每个方位上均有一个含龙珠的龙头，且每个龙头下方均有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠即落入蟾蜍口中，由此便可测出地震的方向.在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，A在B的南偏西30°方向，若A地地动仪正东方位的龙珠落下，B地地动仪东南方位的龙珠落下，则震中的位置距离B地(　　)
A.50 km B.100 km
C.100(+1)km D.120(+1)km
答案　B
解析　如图，设震中位置为C地，由题意知在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=180°-60°-(30°+45°)=45°，AB=200.
由正弦定理可得=，则BC===100.
故震中位置距离B地100 km.
3.如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
答案　B
解析　依题意可得AD=20 m，
AC=30 m，
又CD=50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD=
=
==，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD=45°，
所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD为45°.
4.(2025·湖州模拟)为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°(A，O，B在同一水平面上)，则铁塔OT的高度为(　　)
A.10米 B.10米
C.30米 D.30米
答案　B
解析　设铁塔OT的高度为h，依题意，OA==h，OB==h，
在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，
即702=3h2+h2-2·h·h·，
解得h=10，
所以铁塔OT的高度为10米.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β
答案　BCD
解析　对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsin β，故B正确；
对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsin α，故D正确.
6.在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面Q处，有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+θ方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则(　　)
A.B舰艇所需的时间为1小时
B.B舰艇所需的时间为2小时
C.sin θ=
D.sin θ=
答案　AD
解析　如图，设B舰艇经过x(x>0)小时后在M处与A舰艇汇合，
则MQ=50x，MP=70x，∠PQM=50°+70°=120°.
根据余弦定理得(70x)2=302+(50x)2-3 000xcos 120°，
解得x=1或x=-(舍去)，
即B舰艇所需的时间为1小时，A正确，B错误；
故MQ=50，MP=70.
由正弦定理得=，
解得sin θ==，D正确，C错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD=60 m，则河流的宽度BC=　　　　　　m.
答案　120(-1)
解析　在Rt△ABD中，AD=60，∠ABD=75°，则AB=，
在△ABC中，∠BAC=75°-30°=45°，∠ACB=30°，
则=，
所以BC==
=120(-1)(m).
8.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，且山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ=　　　　　　.
答案　-1
解析　因为∠CBD=45°，所以∠ACB=45°-15°=30°，sin 15°=sin(45°-30°)=，
在△ABC中，由正弦定理可得=，
解得BC=50(-)，
在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sin∠BDC=-1，
即sin(θ+90°)=-1，所以cos θ=-1.
四、解答题(共28分)
9.(13分)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°，∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG= km.
(1)求点P和点M之间的距离；(6分)
(2)求两山顶M，N之间的距离.(7分)
解　(1)依题意可知PG= km，∠GPM=75°，∠PGM=45°，所以∠PMG=60°，
在△PMG中，根据正弦定理得
=，
所以=，则PM=2 km.
(2)由题设知，在△PNG中，
∠PNG=30°，∠PGN=120°，
由正弦定理可得=，PN=3，
在△PNM中，∠MPN=∠GPM-∠GPN=45°，
由余弦定理得MN2=PM2+PN2-2PM·PN·cos∠MPN
=22+-2×2×3×=10，
所以MN= km，
所以两山顶M，N之间的距离为 km.
10.(15分)(2025·济宁模拟)如图所示，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，AB=5(3+)海里，D点位于A观测点北偏东45°，且B观测点北偏西60°的位置，C点位于B观测点南偏西60°，且BC=20 海里的位置.现D点有一艘轮船发出求救信号，C点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时.求：
(1)DB的距离；(8分)
(2)该救援船到达D点所需要的时间.(7分)
解　(1)由题意可知，∠DAB=90°-45°=45°，∠DBA=90°-60°=30°，
则∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)
=180°-(45°+30°)=105°，
而sin 105°=sin(60°+45°)
=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=，
在△ADB中，AB=5(3+)，
由正弦定理可得=，
即=，即=，
解得DB=10，
即DB的距离为10海里.
(2)在△DBC中，∠DBC=60°，
由余弦定理可得
DC2=DB2+BC2-2DB·BC·cos 60°
=+-2×10×20×cos 60°
=900，
所以DC=30，则时间为=1(小时)，
所以该救援船到达D点所需要的时间为1小时.

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