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期末模拟试题 2025-2026学年高一数学人教A版（2019）下学期
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A．40人 B．36人 C．30人 D．24人
3．已知向量，，且，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．数据6，4，3，6，3，8，8，3，1，8，则关于这组数据下列说法错误的是（ ）
A．中位数为5 B．方差为1.6
C．平均数为5 D．85%分位数为8
6．记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等边三角形 D．钝角三角形
7．在直角梯形中，已知，点是边的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ）
A． B．估计考生成绩的众数为72
C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6
10．如图，在中，D为边上的一个三等分点（靠近点B）， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．是在上的投影向量
11．正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（ ）
A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为
C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题
12．若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的虚部为______.
13．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.
14．如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________.
四、解答题
15．已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
(1)若，且，求；
(2)若，且，求在上的投影向量的坐标．
16．如图，在正三棱柱中，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与所成角的余弦值；
(3)求三棱锥的体积.
17．市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率．
18．已知锐角三个内角的对边分别是，若．
(1)求的大小；
(2)若平分交于点，求的取值范围．
19．如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点.
(1)求证：平面平面POB；
(2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为，
①求的值；
②二面角的正切值.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C B A D C ACD BCD
题号 11
答案 ABC
1．A
由复数的除法及共轭复数即可求解.
因为，
所以，所以的虚部为.
故选:A.
2．D
确定高一、高二、高三的人数比，由分层抽样特征即可求解；
由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，
则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，
根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，
故选：D
3．A
应用向量的线性运算求，再由向量平行的坐标表示列方程求参数.
因为，，所以，
由，得，解得.
故选：A
4．C
根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解.
由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭，
这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，
所以灯泡不亮的概率为，
所以灯泡亮的概率为.
故选：C.
5．B
将数据重写排列，然后分别按照中位数，方差，平均数，百分位数概念计算判断即可.
将数据从小到大排列为1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，
中位数为，平均数为，
由，所以85%分位数为第9个数为8，
方差为，
所以ACD正确，B错误.
故选：B
6．A
利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论.
因为，所以，
由正弦定理得，
整理得，
因为，所以，故，故，所以为直角三角形．
故选：A．
7．D
建立平面直角坐标系，设，，求出的坐标，再由向量数量积的坐标运算及二次函数的性质即可求得答案.
如图，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
依题意，有，
设，则，
且，
由，
因，故.
故选：D.
8．C
过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可.
过点作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为平面，
所以平面，而平面，
则为直线与平面所成的角，且，
因为，且直三棱柱的体积为，
所以，解得，
而，则，即，
则与平面所成的角为.
故选：C.
9．ACD
根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项.
由频率分布直方图可知，
∴，故A正确；
由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误；
由于，所以中位数位于区间内，
同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确；
由频率分布直方图可知样本中，
考生成绩的平均分为，
可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确．
故选：ACD．
10．BCD
结合向量线性运算法则利用，，表示，判断A，结合数量积的运算律求，判断B，结合数量积的运算律和定义求，判断C，根据投影向量的定义求在上的投影向量，判断D，
对于A，由已知，
所以，A错误；
对于B，因为，所以，
所以，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确；
故选：BCD.
11．ABC
由线面平行结合面面平行判定定理判断A，再根据正八面体的性质结合外接球表面积公式计算判断B，运用二面角定义得到即二面角的平面角，再结合余弦定理求解判断C，根据线线平行得出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可判断D.
对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面，
又因，平面，平面，故平面，
又平面，故平面平面，故A正确；

对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径，
因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确；

对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角，
因正八面体的棱长为5，则，
由余弦定理，可得，故C正确；
对于D，因，故为异面直线与所成的角，
又因，
由余弦定理，，
则，故D错误.
故选：ABC.
12．1
，所以复数z的虚部为1.
13．
先计算元件至少有一个正常工作的概率，从而可得系统正常工作的概率.
因为元件至少有一个正常工作的概率为，
所以系统正常工作的概率为.
故答案为：
14．
当平面垂直于平面时，三棱锥的体积最大，进而结合勾股定理和底面梯形外接圆性质确定外接球的球心位置和球半径，再结合求表面积公式求解即可.
依题意，，正三角形的高为，则到的距离与梯形的高均为.
三棱锥的体积，其中，
是到底面的高，由图知，当且仅当平面平面时，最大（），此时其体积最大.
又因是等腰梯形，为圆内接四边形，其外心必在对称轴（中点到中点的连线）上，而.
设四棱锥的底面外接圆半径为，外心到的距离为，
由勾股定理：
将代入可得，解得，
因.则可知棱锥底面外接圆圆心就是中点，且，即.
外接球的球心必在过底面外心且垂直于底面的直线上，
设，外接球半径为，则：.
由平面平面，，得底面，，
且.由勾股定理得：，
代入得：，
化简得：.
因此，
外接球表面积：.
15．(1)
(2)
（1）利用共线向量的坐标表示及模的坐标表示求解.
（2）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律，结合投影向量的定义求解.
（1）由，得，解得，，
所以.
（2）由，得，
即，又，，
则，解得，
所以在上的投影向量为.
16．(1)
取的中点，连接，
由，得四边形为平行四边形，所以.
由， ，
得四边形为平行四边形，所以 .
因为平面，平面，
所以平面.
同理可得， 平面.
因为平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面；
(2)
(3)
（1）取的中点，连接，由面面平行的判定定理可证平面平面，从而证得平面；
（2）由（1）知异面直线与所成角为，求出各边长，根据余弦定理可得，即异面直线与所成角的余弦值；
（3）先求得正三棱柱的体积，再根据三棱锥与正三棱柱的体积比求得三棱锥的体积.
（1）略
（2）由（1）知，所以为异面直线与所成的角，
，
，
，
所以，所以.
所以，
即异面直线与所成角的余弦值为.
（3）三棱柱为正三棱柱， 所以其体积为
.
三棱锥的体积.
17．(1)平均数为100，方差为104
(2)
（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案.
（2）根据条件，利用古典概型求解即可.
（1）由频率分布直方图得，
平均数，
方差
.
（2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为，
故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为：
设事件“既有的答卷也有的答卷”
则，共6种情况．
故,
18．(1)
(2)
（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围.
（1）在锐角中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
因此，又，则，解得，
所以.
（2）由（1）得，得，则，
由平分交于点及正弦定理，
得
.
19．(1)证明见解析
(2)①，②二面角的正切值为
（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论；
（2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果.
（1）连接，
因为底面中，，，
所以四边形为正方形，所以，
因为侧面为等边三角形，O是的中点，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点，
所以，，，
因为平面，平面，
所以，
所以，
因为，
所以，所以，
设点到平面的距离分别为，
因为，所以，
，解得，
因为三棱锥的体积为，
所以，所以，解得，
所以，所以，
因为，所以，
②取靠近点的四等分点，连接，则//，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
过点作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
因为，所以，
因为，
所以四边形为矩形，所以，
所以在中，，
所以二面角的正切值为
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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