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湖南永州市零陵区多校2025-2026学年下学期义务教育阶段期中考试七年级数学(试题卷)
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，A错误；
B、是无限不循环小数，也是无限不循环小数，属于无理数，B正确；
C、是有限小数，有限小数属于有理数，C错误；
D、是分数，分数属于有理数，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的概念逐一分析即可.
2．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，∴此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算正确，符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、D选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断C选项.
3．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，B错误；
D、，D错误．
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可．
4．已知，下列不等式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】解：A． 由，两边加1，得，正确．
B． 由，两边除以正数3，得，正确．
C． 取反例：若，，满足，但，故不成立，错误．
D． 由，两边乘（负数），不等号方向改变，得，再加1得，正确．
故选：C．
【解答】
根据不等式的性质，不等式的基本性质包含以下三条：第一，不等式的两边同时加（或者减）同一个整式，不等号的方向不发生改变；第二，不等式的两边同时乘（或者除以）同一个正数，不等号的方向不发生改变；第三，不等式的两边同时乘（或者除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。接下来根据不等式的这三条基本性质，逐一分析每个选项是否正确即可.
5．如图，数轴上点表示的数可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
A、由可得，，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、由可得，符合题意；
D、由可得，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据数轴可以得到，，估算出各个选项里无理数的范围，再据此判断就能得到最终结果.
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：．
移项，得．
系数化为1，得
故答案为：C．
【分析】先移项，系数化为1解一元一次不等式，再在数轴上表示出来即可.
7．若，则的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：依题意，y
因为
所以
根据等式性质，对应一次项系数相等，即
故选：A.
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及等式的性质.需要先将左边的(x+2)(x-3)按照多项式乘法法则展开，然后与右边的对比对应项的系数，从而求出a的值.
8．不等式 的最小整数解为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项得
∵大于 的整数为
∴其中最小的整数为．
故答案为：C.
【分析】先解一元一次不等式，再找出解集范围内的最小整数即可．
9．如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴四个矩形的面积为，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形面积为，
∴中间小正方形的面积为，
而中间小正方形的面积也可表示为：，
∴．
故选：C．
【分析】
观察图形可知，大正方形的边长为，因此大正方形的面积为。图中四个矩形完全一致，每个矩形的长为a、宽为b，因此四个矩形的总面积为。中间阴影正方形的边长为，因此它的面积为，阴影正方形的面积恰好等于大正方形的面积减去四个矩形的总面积。
10．如果不等式组无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
若不等式组无解，
则有．
故答案为：B．
【分析】先分别求出不等式的解集，再根据大大取大，小小取小，大小小打中间找，大大小小无处找求解即可．
11．25的平方根是　 　 .
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
12．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
，
即这个正数是．
故答案为：9.
【分析】根据一个正数的两个平方根之和为，列出关于的一元一次方程，求解即可．
13．若 是一个完全平方式，则m=　 　
【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式 是一个完全平方式，
∴m＝±2×1×4，即m＝±8，
故答案为：±8．
【分析】利用完全平方公式的结构特征可确定出m的值．
14．“的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：．
【分析】根据题意列出不等式即可.
15．比较大小：　 　
【答案】
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
即．
故答案为：<.
【分析】先根据立方根定义，将转化为，再比较大小即可．
16．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为　 　．
【答案】257048
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；解一元一次不等式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数，
由平方差公式得，
令，解得，
∴所有不超过的“柳子数”之和为：．
故答案为：257048.
【分析】设两个连续奇数分别为，，得到“柳子数”的表达式为，再根据的范围，化简求和即可．
17．计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】(1)先求解绝对值，计算立方根，最后进行实数的加减混合运算即可；
(2)先计算单项式乘单项式和积的乘方，再合并同类项即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解不等式（组）：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；含字母系数的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）先分别解两个不等式，再根据大大取大，小小取小，大小小打中间找，大大小小无处找求解即可．
（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
19．先化简，再求值：．其中．．
【答案】解：
，
当，时，原式

【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先按照相关整式运算法则，分别通过单项式乘多项式法则、平方差公式以及完全平方公式展开计算，之后合并同类项化简原式，最后将题目给出的x、y的取值代入化简后的式子计算出最终结果即可.
20．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵，，
即，
，
，
的整数部分为，
∴的小数部分为；
（2）解：由（）可得，的整数部分为，∴，
∵的算术平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴ ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（）先估计，进而得到-，最后估计即可；
（）由（）可得，再利用算术平方根和立方根的定义可得a，b，进而求出的值，再计算平方根即可．
（1）解：∵，
，
即，
，
，
的整数部分为，
∴的小数部分为；
（2）解：由（）可得，的整数部分为，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴ ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
21．计算：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
（3）已知，求的值
【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，则，
．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）先根据幂的乘方法则及其逆运算，整体代入求值即可；
（2）先对所求式子变形，根据幂运算的逆运算得到式子中含有已知的底数幂，再根据同底数幂的乘法法则，整体代值计算即可；
（3）先根据完全平方公式展开，再整体取值即可.
（1）解：；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，则，
．
22．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一：
型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二：
型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求，两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？
【答案】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
由题意，得，解得，
答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
由题意，得，
解得，
为正整数，
，
共有种购买方案：
①型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
②型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
③型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
答：该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设型智能机器人的单价是万元，型智能机器人的单价是万元，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解方程组就能得到两种机器人的单价；
（2）设购买型智能机器人台，那么购买型智能机器人的数量就是台，先结合总费用不超过给定额度的要求，求出的可取值范围，再分情况进行讨论，最终就能得到结论：当时，该公司购买的机器人每天分拣快递的总件数为最大值.
（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
由题意，得，解得，
答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
由题意，得，
解得，
为正整数，
，
共有种购买方案：
①型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
②型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
③型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
答：该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件．
23．解答下列问题：
（1）【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）：
当，时，____
当，时，____
当，时，____
（2）【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值
②已知、满足 ，求 的最小值．
【答案】（1），，
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：①设，，则，∵，即，
，
，
，
∴的最小值为8；
②解： ，，
∴，
，
当取最大值2时，
∴的最小值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时；
故答案为：，，.
【分析】（1）先根据有理数的运算法则计算，再比较大小即可；
（2）根据作差法求解即可；
（3）①根据（2）的结论代值计算求解即可；②根据（2）的结论代值计算求解即可；
（1）解：当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时；
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：①设，，则，
∵，即，
，
，
，
∴的最小值为8；
②解： ，，
∴，
，
当取最大值2时，
∴的最小值为．
24．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”．
（1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）；
（2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
（3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
【答案】（1）①
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1）不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
【分析】（1）先求出两个不等式组的解集，再根据新定义进行判断即可；
（2）先根据定义得到关于a的不等式组，再计算求解即可；
（3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，最后取两个取值范围的公共部分即可．
（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，
解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
1 / 1湖南永州市零陵区多校2025-2026学年下学期义务教育阶段期中考试七年级数学(试题卷)
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式中，运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．已知，下列不等式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，数轴上点表示的数可能为（　　）
A． B． C． D．
6．不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若，则的值为（　　）
A． B．1 C．3 D．5
8．不等式 的最小整数解为（　　）
A．3 B． C． D．
9．如图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，利用图中阴影部分面积的不同表示方法，可以写出关于a、b的恒等式，下列各式正确的为（　　）
A． B．
C． D．
10．如果不等式组无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．25的平方根是　 　 .
12．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是　 　．
13．若 是一个完全平方式，则m=　 　
14．“的2倍与5的和是非负数”用不等式表示为　 　．
15．比较大小：　 　
16．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“柳子数”．如：，，则8，16均为“柳子数”，在不超过2026的正整数中，所有的“柳子数”之和为　 　．
17．计算
（1）
（2）
18．解不等式（组）：
（1）；
（2）
19．先化简，再求值：．其中．．
20．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
21．计算：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
（3）已知，求的值
22．某快递企业为提高工作效率，拟购买，两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一：
型智能机器人台数 型智能机器人台数 总费用（单位：万元）
1 3 260
3 2 360
信息二：
型智能机器人每台每天可分拣快递22万件； 型智能机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求，两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备用不超过万元购买，两种型号智能机器人共台，则该企业有哪几种购买方案？要使每天分拣快递的件数最多，应选择哪种购买方案？每天最多分拣快递多少万件？
23．解答下列问题：
（1）【特例探究】比较与的大小（用等号或不等号填空）：
当，时，____
当，时，____
当，时，____
（2）【猜想证明】无论取何值，试猜想与的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】①如图，点在线段上，以，为边向两边作正方形，设这两个正方形的面积分别为若阴影部分的面积为2，求的最小值
②已知、满足 ，求 的最小值．
24．定义：如果一元一次不等式组①的解都是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组①的解都不是一元一次不等式组②的解，那么称一元一次不等式组①是一元一次不等式组②的“相斥不等式组”．
（1）根据上述定义，判断不等式组是不等式组的 ．（填序号①“相容不等式组”或②“相斥不等式组”）；
（2）若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围；
（3）若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是有理数，A错误；
B、是无限不循环小数，也是无限不循环小数，属于无理数，B正确；
C、是有限小数，有限小数属于有理数，C错误；
D、是分数，分数属于有理数，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据无理数的概念逐一分析即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，∴此选项计算错误，不符合题意；
B、，此选项计算错误，不符合题意；
C、，此选项计算正确，符合题意；
D、，此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A、D选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断B选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断C选项.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，B错误；
D、，D错误．
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义逐一计算即可．
4．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【分析】解：A． 由，两边加1，得，正确．
B． 由，两边除以正数3，得，正确．
C． 取反例：若，，满足，但，故不成立，错误．
D． 由，两边乘（负数），不等号方向改变，得，再加1得，正确．
故选：C．
【解答】
根据不等式的性质，不等式的基本性质包含以下三条：第一，不等式的两边同时加（或者减）同一个整式，不等号的方向不发生改变；第二，不等式的两边同时乘（或者除以）同一个正数，不等号的方向不发生改变；第三，不等式的两边同时乘（或者除以）同一个负数，不等号的方向会发生改变。接下来根据不等式的这三条基本性质，逐一分析每个选项是否正确即可.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：由数轴可知，，
A、由可得，，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、由可得，符合题意；
D、由可得，不符合题意；
故选：C．
【分析】
根据数轴可以得到，，估算出各个选项里无理数的范围，再据此判断就能得到最终结果.
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：．
移项，得．
系数化为1，得
故答案为：C．
【分析】先移项，系数化为1解一元一次不等式，再在数轴上表示出来即可.
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；等式的基本性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：依题意，y
因为
所以
根据等式性质，对应一次项系数相等，即
故选：A.
【分析】本题考查多项式乘多项式的运算及等式的性质.需要先将左边的(x+2)(x-3)按照多项式乘法法则展开，然后与右边的对比对应项的系数，从而求出a的值.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项得
∵大于 的整数为
∴其中最小的整数为．
故答案为：C.
【分析】先解一元一次不等式，再找出解集范围内的最小整数即可．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：∵四周部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴四个矩形的面积为，
∵大正方形的边长为，
∴大正方形面积为，
∴中间小正方形的面积为，
而中间小正方形的面积也可表示为：，
∴．
故选：C．
【分析】
观察图形可知，大正方形的边长为，因此大正方形的面积为。图中四个矩形完全一致，每个矩形的长为a、宽为b，因此四个矩形的总面积为。中间阴影正方形的边长为，因此它的面积为，阴影正方形的面积恰好等于大正方形的面积减去四个矩形的总面积。
10．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①，可得，
解不等式②，可得，
若不等式组无解，
则有．
故答案为：B．
【分析】先分别求出不等式的解集，再根据大大取大，小小取小，大小小打中间找，大大小小无处找求解即可．
11．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：25的平方根是±5.
故答案为：±5.
【分析】如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根.
12．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和，
，
解得，
，
即这个正数是．
故答案为：9.
【分析】根据一个正数的两个平方根之和为，列出关于的一元一次方程，求解即可．
13．【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵多项式 是一个完全平方式，
∴m＝±2×1×4，即m＝±8，
故答案为：±8．
【分析】利用完全平方公式的结构特征可确定出m的值．
14．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：由题意得：．
故答案为：．
【分析】根据题意列出不等式即可.
15．【答案】
【知识点】实数的大小比较；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
，
，
即．
故答案为：<.
【分析】先根据立方根定义，将转化为，再比较大小即可．
16．【答案】257048
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；解一元一次不等式；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数，
由平方差公式得，
令，解得，
∴所有不超过的“柳子数”之和为：．
故答案为：257048.
【分析】设两个连续奇数分别为，，得到“柳子数”的表达式为，再根据的范围，化简求和即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．

【知识点】实数的混合运算（含开方）；整数指数幂的运算
【解析】【分析】(1)先求解绝对值，计算立方根，最后进行实数的加减混合运算即可；
(2)先计算单项式乘单项式和积的乘方，再合并同类项即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组；含字母系数的一元一次不等式
【解析】【分析】（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可；
（2）先分别解两个不等式，再根据大大取大，小小取小，大小小打中间找，大大小小无处找求解即可．
（1）解：，
去分母得，，
去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化为1得，．
（2）解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
不等式组的解集为．
19．【答案】解：
，
当，时，原式

【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】
先按照相关整式运算法则，分别通过单项式乘多项式法则、平方差公式以及完全平方公式展开计算，之后合并同类项化简原式，最后将题目给出的x、y的取值代入化简后的式子计算出最终结果即可.
20．【答案】（1）解：∵，，
即，
，
，
的整数部分为，
∴的小数部分为；
（2）解：由（）可得，的整数部分为，∴，
∵的算术平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴ ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（）先估计，进而得到-，最后估计即可；
（）由（）可得，再利用算术平方根和立方根的定义可得a，b，进而求出的值，再计算平方根即可．
（1）解：∵，
，
即，
，
，
的整数部分为，
∴的小数部分为；
（2）解：由（）可得，的整数部分为，
∴，
∵的算术平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴ ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
21．【答案】（1）解：；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，则，
．
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）先根据幂的乘方法则及其逆运算，整体代入求值即可；
（2）先对所求式子变形，根据幂运算的逆运算得到式子中含有已知的底数幂，再根据同底数幂的乘法法则，整体代值计算即可；
（3）先根据完全平方公式展开，再整体取值即可.
（1）解：；
（2）解：，
，
；
（3）解：，
，则，
．
22．【答案】（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
由题意，得，解得，
答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
由题意，得，
解得，
为正整数，
，
共有种购买方案：
①型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
②型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
③型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
答：该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】
（1）设型智能机器人的单价是万元，型智能机器人的单价是万元，结合题目给出的条件列出二元一次方程组，求解方程组就能得到两种机器人的单价；
（2）设购买型智能机器人台，那么购买型智能机器人的数量就是台，先结合总费用不超过给定额度的要求，求出的可取值范围，再分情况进行讨论，最终就能得到结论：当时，该公司购买的机器人每天分拣快递的总件数为最大值.
（1）解：设型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
由题意，得，解得，
答：型智能机器人的单价为万元，型智能机器人的单价为万元．
（2）解：设购买型智能机器人台，则购买型智能机器人台．
由题意，得，
解得，
为正整数，
，
共有种购买方案：
①型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
②型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
③型智能机器人台，型智能机器人台，每天分拣的件数为：（万件）；
答：该企业选择购买型智能机器人台，型智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多，每天最多分拣快递万件．
23．【答案】（1），，
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：①设，，则，∵，即，
，
，
，
∴的最小值为8；
②解： ，，
∴，
，
当取最大值2时，
∴的最小值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；配方法的应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时；
故答案为：，，.
【分析】（1）先根据有理数的运算法则计算，再比较大小即可；
（2）根据作差法求解即可；
（3）①根据（2）的结论代值计算求解即可；②根据（2）的结论代值计算求解即可；
（1）解：当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时，
当，时，，，
此时；
（2）解：，理由如下：
，
；
（3）解：①设，，则，
∵，即，
，
，
，
∴的最小值为8；
②解： ，，
∴，
，
当取最大值2时，
∴的最小值为．
24．【答案】（1）①
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：（1）不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
【分析】（1）先求出两个不等式组的解集，再根据新定义进行判断即可；
（2）先根据定义得到关于a的不等式组，再计算求解即可；
（3）根据“相容不等式组”的定义求出的取值范围，再根据两个不等式组整数解相同求出的取值范围，最后取两个取值范围的公共部分即可．
（1）解：不等式组的解集是，不等式组的解集是，
不等式组是不等式组的“相容不等式组”．
故答案为：①．
（2）解：∵关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，
∴或．
∴或
（3）解：∵不等式组是的“相容不等式组”
，
解得
的整数解为2，3，4，且和的整数解相同，
∴
∴
综上所述：
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