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湖南永州市宁远县2025年下期期末质量监测试卷九年级数学
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各点中，在反比例函数的图像上的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，下列说法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．方程中，，，是一元二次方程有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．在中，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
5．某工厂生产了一批产品，从中随机抽取了件来检查，发现有件优等产品，试估计这批产品的优等率是（ ）
A．85% B．90% C．95% D．98%
6．如图，已知，，，则的值（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，、分别是、的中点，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．不解方程，判断关于y的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是( )
A． B． C． D．
10．如图，已知直线垂直于线段于点．我们按如下步骤尺规作图：第一步，分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点、，作直线交于点；第二步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第三步，以为圆心，为半径作弧，与射线交于点；第四步，以为圆心，为半径作弧，与线段交于点．则点是线段的（ ）
A．二等分点 B．三等分点 C．四等分点 D．黄金分割点
二、填空题
11．一元二次方程的解是__．
12．已知关于x的方程，则___，___．
13．地理课上，小明同学画一个比例尺为 地图，已知A，B两地之间的实际距离为公里，那么小明在图上应该画___厘米．
14．两个城市的春季（3-5月）日间平均气温都是，城市A的温度方差小；城市B的温度方差大（比如：今天暖如夏，过两天可能骤降到，然后又快速回升），喜欢稳定舒适的你，宜选择___城市生活．（填A、B）
15．如图，为了方便行人横穿马路，打算修建一座高的过街天桥．已知天桥的斜面坡度为，计算斜坡的长度__．
16．如图所示，在方格纸上（设小方格边长为单位1）的三个顶点均位于格点上，则的值是___．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
(1)
(2)
19．如图， ，点是线段的中点，且，已知
(1)求证：
(2)若，求的长．
20．2025湖南省足球联赛（“湘超”联赛）决赛将在长沙贺龙体育场进行，万众瞩目，超100万人标记“想看”．真是一票难求，为满足球迷们的需求，各市县同时开辟了第二现场，在足球场内挂上了大屏，摆放了凳子，某市为了更好地维持秩序，在足球场内预留了三条同样宽的过道（如图）．已知足球场的长为100米，宽为65米，要保证观众座位的面积达到平方米，则过道的宽应该设计多少米？
21．近年来，长沙“新中式茶馆”频出，并受到市民游客追捧，经有意无意的传播与分享，不断走红“出圈”．某茶馆老板，为了更好的销售，统计了部分顾客最喜爱茶品的数据，得到如下两幅待完善的统计图表．
茶名 喜欢的人数
A铁观音
B龙井
C碧螺春
D毛尖
E银针
根据图表中所给信息，解答下列问题：
(1)本次统计了________人；表中_______；
(2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角为________度；
(3)若该茶馆大约每天有顾客1000人，请你帮茶馆的老板分析每天准备铁观音茶叶多少份？
22．跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）

(1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离；
(2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米．
23．【问题背景】
如图1，在中，过点作直线 于点，沿直线将纸片剪开，得到和，如图2所示．
【动手操作】
现将三角形纸片和三角形纸片进行如下操作（以下操作均能实现）
①将三角形纸片置于三角形纸片内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交于点F，如图3所示；
②延长交线段于点，如图4所示；
【问题解决】
请解决下列问题：
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图3，若是的中点，求证：是等边三角形；
(3)如图4，若，求的值．
24．如图，已知反比例函数与直线相交于点、两点，，是反比例函数上一动点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接，求的最小值；
(3)点在之间运动时，连接，，若，求四边形的面积．
《湖南永州市宁远县2025年下期期末质量监测试卷九年级数学》
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C A B C C A D D
1．A
解析：解：∵，
∴，
A、，符合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，不合题意．
故选：A．
2．B
解析：解：∵与是以O点为位似中心，位似比为2的位似图形，
∴，，，
故选项A，C，D正确，选项B错误，符合题意
故选：B．
3．C
解析：解：1．对于方程
∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
2．对于方程
∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
3．对于方程
∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程
∴是一元二次方程．
4．对于方程
∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1
∴不是一元二次方程．
综上，是一元二次方程的有3个．
故选：C．
4．A
解析：解：∵
∴
∵，内角和为，
∴
∴
∴
故选：A．
5．B
解析：解：∵抽取的件样本中优等品有件．
∴样本优等率为
∴用样本估计总体，这批产品的优等率估计为，
故选：B．
6．C
解析：解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴
∵，则
∴
∴
故选：C．
7．C
解析：解：∵点D、E分别是、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．A
解析：解：∵一元二次方程中，，，．
∴．
∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
9．D
解析：解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
∴
故选：D．
10．D
解析：解：设，根据作图可得，
∴，
∴，
∴，
∴点是线段的黄金分割点，
故选：D．
11．x1＝3，x2＝﹣3．
解析：∵
∴=9，
∴x=±3，
即x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为x1＝3，x2＝﹣3．
12．
解析：解：对于一元二次方程，根据根与系数的关系可知，，
在方程中，，，
则，
故答案为：，．
13．
解析：解：设小明在图上应该画厘米，依题意，
解得：
故答案为：．
14．
A
解析：解：已知城市A的温度方差小，说明其春季日间平均气温波动小，更稳定舒适，所以宜选择城市A生活．
故答案为：A．
15．
解析：解：如图所示：
∵，，
∴，
在中，
故答案为：．
16．
解析：解：如图，取格点，过点作于点，
根据勾股定理可得，
∵
又∵
∴
∴
∴
故答案为：．
17．
4
解析：解：
．
18．(1)，
(2)，．
解析：（1）解：
∴
∴
∴或
解得，．
（2）解：
∵，，
∴
∴
解得，．
19．(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，点是线段的中点，
∴，
∵，
∴
在中，
∵，
∴，
即，
∴．
20．过道的宽应该设计米
解析：解：设过道的宽为米，根据题意得，
整理得，
解得：（舍去）
答：过道的宽应该设计米．
21．(1)，
(2)
(3)每天准备铁观音茶叶份
解析：（1）解：，
故答案为：，．
（2）解：
故答案为：．
（3）解：
答：每天准备铁观音茶叶份
22．(1)拉皮筋的两个孩子之间的距离为米
(2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米
解析：（1）解：依题意，四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米；
（2）解：在中，，
在中，
∴，
答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米
23．(1)
(2)见解析
(3)
解析：（1）解：∵在中，，，
∴
（2）证明：∵
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴，
∴
∵是的中点，
∴
∴
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
又∵
∴
在中，
∴
∴是等边三角形，
（3）解：如图，
设，，
∵，
∴，则，
∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
解得：（负值舍去）
∴
24．(1)
(2)
(3)
解析：（1）解：∵在反比例函数上，
∴，
∴，
将，代入得
，
解得：
∴一次函数的解析式为
（2）解：∵
∴
设
∴
∴，即的最小值为
（3）解：如图，延长交轴于点，过点作交于点，
∵一次函数的解析式为，
当时，，当时，
∴,
∴
又∵
∴是等腰直角三角形，
∴
联立，
解得：或
∴
∴，，
∵
∴
又∵
∴
∴，即
解得：
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线的解析式为
当时，
∴，
∴，
联立
解得：或
∴
∴
．

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