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辽宁省铁岭市2025-2026学年九年级下学期 中考考前测试数学试卷
一、单选题
1．滑雪场某一天的最高气温为，最低气温为，则这天的最高气温比最低气温高（ ）
A． B． C． D．
2．中国的货币不仅历史悠久而且种类繁多，形成了独具一格的货币文化。以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分货币图形，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
3．目前我国应用于新能源汽车的微型民用核电池体积可小至0.000001125立方米．将数据0.000001125用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．学校招募广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取一人，则选中女生的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，该几何体的左视图（ ）
A．B．C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡，母鸡，小鸡各多少只？若现已知母鸡买只，设公鸡买只，小鸡买只．则可列方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，中，A、两个顶点在轴的上方，点的坐标是，以点为位似中心，在轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的倍，设点的横坐标是，则点的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，，交于点，则的长度是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方形中，，点是对角线上一动点，矩形的边，点，在直线上，连接，，则的最小值是________．
12．如图，有一块矩形硬纸板，，，在它的四个角上剪去四个全等的小长方形，然后按内部虚线折起，和两边恰好重合且无重叠部分．就能制作成一个长方体收纳盒，其底面矩形的面积为，设矩形的宽，长．
(1)用含的式子表示；
(2)求矩形的长和宽．
13．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取部分参展人员进行“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（参选汽车类型有纯电、混动和氢燃料、油车四种，每人必选且限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的条形统计图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动随机抽取了________人；图中________，________；
(2)请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数；请补全条形统计图；
(3)若此次汽车展览会的参展人员共有人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
14．原题与拓展
(1)【原题呈现】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证：．
(2)【原题变式】如图，四边形为正方形，点为边上一点，点为边上一点，且，连接交于，作交于，连接．求证：
(3)【原题拓展】正方形的边长为，点为射线上一动点，点为射线上一动点，且，直线交于，交射线于，连接，．在射线上有，，三点，且，当点运动到，，三点时，的面积都等于．直接写出值．
15．定义：对于两个不重合的点，，如果满足，那么称，两点互为等和点．
(1)若点在直线上，且点与点互为等和点，则点的坐标为________
(2)如图，抛物线：交轴于，两点（点在点左侧），它的顶点与点互为等和点，过点垂直于轴的直线交抛物线于点，将上位于直线左侧图象（含点）记为，将上位于直线右侧图象沿轴翻折得到的图象记为，点的对应点为（不含点），和组成函数图象．
①求函数图象对应的函数解析式，并写出自变量的范围；
②如图，交轴于点，连接，，当时，求的值；
③已知点的坐标，若在函数图象上只有一个点与点互为等和点，直接写出的范围．
三、填空题
16．计算：________．
17．下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙
平均数 9.35 9.34 9.34
方差 6.6 6.9 6.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择_______．
18．如图，两条入射光线，经过漫反射后两条光线相交于点，若，，则的度数是________．
19．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，点为轴上方抛物线对称轴上一点，当时，点的坐标是________．
四、解答题
20．计算：
(1)
(2)．
21．直线经过点与双曲线交于点和点，点为第二象限双曲线上点右侧一点，过点作轴交于点，交轴于点．
(1)求直线的解析式和值；
(2)求四边形面积的最大值．
22．根据以下素材，探索完成任务．
运用二次函数研究电缆架设问题
素材 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂可以近似看成抛物线的形状．如图，在一个斜坡上按水平距离间隔米架设两个塔柱．每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为米（米），以点为原点所在直线为轴，建立如图所示坐标系．电缆的最低点到轴的距离为米，点到坡面的铅直高度米，（于），经测量，斜坡的坡度为∶（即）．
素材 若电缆下垂的安全高度是米，即电缆距离坡面的铅直高度的最小值不小于米时，符合安全要求，否则存在安全隐患．
完成以下任务
(1)求出下垂电缆（抛物线）的解析式；
(2)上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由．
23．如图，四边形是的内接四边形，，点为延长线上一点，连接，，．
(1)求证：与相切；
(2)若，，，求的长．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B B C D C A B A
1．D
本题考查有理数减法的实际应用，求最高气温比最低气温高多少，用最高气温减去最低气温，结合有理数减法法则计算即可．
【详解】解：最高气温为，最低气温为，
温差为，
即这天的最高气温比最低气温高．
2．B
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
3．B
根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为负整数，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：将数据0.000001125用科学记数法可表示为，
故选：B．
4．C
本题考查古典概型的概率计算，直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵总共有4名候选人，其中女生共2名，
∴随机选取一人，选中女生的概率为．
5．D
根据三视图的定义，左视图是从物体的左面看得到的视图，注意看不见的轮廓线画虚线．
【详解】解： 该几何体可看作一个大正方体在右前上方切去了一个小正方体，
从左边看，其外轮廓是一个完整的正方形 ，
切去的部分位于几何体的右前上方，从左侧看时被左侧面遮挡 ，
切去部分产生的棱在左视图中不可见，应画为虚线 ，
切去部分位于“前”和“上”，在左视图中对应“右”和“上”的位置 ，
虚线应位于视图的右上角．故选项D符合．
6．C
【详解】解：选项A，和不是同类二次根式，不能合并，
∴A错误；
选项B，，
∴B错误；
选项C，，计算正确，
∴C正确；
选项D，和不是同类二次根式，不能合并，，
∴D错误．
7．A
本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，只需根据总鸡数、总钱数两个等量关系整理即可得到方程组，找准等量关系是解题关键．
【详解】解：设公鸡买只，小鸡买只，
∵ 一共要买100只鸡，已知母鸡买18只，
∴ ，整理得 ，
∵ 一共花100钱，公鸡5钱一只，母鸡3钱一只，小鸡钱一只，
∴ ，计算得 ，
整理得 ，
因此可得方程组，．
8．B
先将和平移，使得位似中心C与原点重合，利用位似变换公式求出此时点B的位似对应点坐标，再将和向右平移使得点C回到，此时点的横坐标可求．
【详解】解： 先将和向左平移2个单位，使得位似中心C与原点重合，
所以可知点B的横坐标变为，
在位似比不变的条件下，此时点B的位似后的对应点的横坐标为，将和向右平移2个单位，使得位似中心C回到,此时点B的位似后的对应点的横坐标为：．
9．A
延长至格点，连接，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而求解．
【详解】解：如图，延长交网格线于点，连接，
设小正方形网格的边长为1.
由图可知，、、在同一直线上，且为长4、宽2的矩形的对角线，
，
又点相对于点，水平距离为1，竖直距离为2，
，
，
，
是直角三角形，且，
在中，．
10．
【解析】略
11．
【解析】略
12．(1)
(2)
【解析】略
13．(1)
(2)
(3)
【解析】略
14．(1)
(2)
(3)
【解析】略
15．(1)
(2)
【解析】略
16．
【详解】解:
17．甲
本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【详解】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
18．
/度
先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角得，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴．
∵是的外角，
∴，
即，
∴．
19．
求出抛物线与轴、轴的交点坐标，延长交轴于点，由外角的性质证得，由等腰三角形的三线合一可求出点的坐标，利用待定系数法求直线的解析式，从而求出点的坐标．
【详解】解：令得，
解得，，
，，
令得，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
延长交轴于点，
，，
，
，
轴，
，
，
点与点重合，
设直线的解析式为，
把、代入得，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，
．
20．(1)
(2)
【详解】（1）解：解不等式① ，得
解不等式② ，得
所以原不等式组的解集为：.
（2）解：原式
21．(1)直线为：，
(2)四边形面积的最大值为．
（1）把代入可得的值，把，代入可得直线的解析式．
（2）证明四边形是平行四边形，设，则，可得，再利用面积公式结合二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵双曲线过点，
∴，
∵直线经过点与双曲线交于点，
∴，
解得：，
∴直线为：．
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
设，则，
∴，
∴四边形面积，
∴当时，四边形面积最大，最大值为．
22．(1)；
(2)不符合安全要求，理由见详解．
【详解】（1）解：由题意知为原点，米，在地面上，
，
米，斜坡坡度为，即，
米，
右侧地面点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入得，
，
解得，
∴斜坡所在直线的解析式为，
米且塔柱竖直，
右侧电缆固定点的坐标为，
最低点到轴的距离为30米，
点的横坐标为30，
此时坡面纵坐标为，
点到坡面的铅直高度米，
点的纵坐标为，
即，
设抛物线解析式为，
抛物线过原点，
，
解得，
．
（2）解：设电缆上任一点到坡面的铅直高度为米，
，
，
，
，
当时，取得最小值13.25米，
，
上述电缆的架设不符合安全要求．
23．(1)证明：连接 、，
四边形 是 的内接四边形，且 ，
是 的直径，
点 在 上，
与 都是 所对的圆周角，
，
又 ，
，
为直径，，
在 中，，
，
即 ，
点 在 上，
，
即 ，
又 点 在 上，
与 相切．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：，
，
，
又 ，
，
过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中，，，
，
由(1)知 ，
，
在 中，，
设 ，，
，
为直径，，
， 为等腰直角三角形，
，
在 中，，
，
又 ，
，
解得 ，（舍去），

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