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辽宁铁岭市部分学校2025-2026学年下学期九年级数学阶段练习
一、单选题
1．下面几何体中，俯视图为三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个数中，最大的数是（ ）
A．1 B．0 C． D．
3．地球的半径约为米，数字用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A＝120°，则∠D的度数为（　　）
A．30° B．60° C．50° D．40°
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个不透明的袋子中装有5个红球、4个白球和3个黄球，每个球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．下列汉字中不可以看成是轴对称图形的是（ ）
A．水 B．木 C．草 D．中
8．我国古代数学著作《九章算术》中有“雀燕称重”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀燕重一斤．问雀和燕各重几何？”题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？设1只雀重斤，1只燕重斤，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标为( )
A． B． C． D．
10．如图，在中，在上分别截取，使，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点，过点作，垂足为，作交于点，若，则的面积是（）
A．10 B．16 C．20 D．32
二、填空题
11．方程的解为___________．
12．某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________．
13．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方．
14．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度2.7米，某人（线段）身高为1.8米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（备用数据：，，，精确到米）
15．如图，矩形中，，点、分别是边、上的点，且，，连接、，且平分，则为___________．
三、解答题
16．计算或化简
(1)计算：
(2)化简：
17．某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣．若每套设备每小时分拣4万件，经过1小时正好分拣完．
(1)若每套设备每小时分拣万件，则经过1小时，剩下4万件未分拣；该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？
(2)若每套设备每小时分拣万件，1小时后还剩不低于3万件没分拣．该中转站至少配置了多少套分拣设备？
18．某校为了解九年级学生中考体育模拟测试的达标情况，随机抽取该校九年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩均为不小于60的整数，分为四个等级：），部分信息如下：
信息一：
信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：
80，82，82，83，84，86，86，86，87，88
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)则扇形统计图中C的圆心角度数___________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)求所抽取的学生成绩的中位数；
(4)该校九年级共有500名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数．
19．某商店销售一种文具，这种文具的成本价为4元/件，物价部门规定这种文具的售价不低于6元且不高于15元：市场调查发现，这种文具每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少？
20．如图，平面直角坐标系中，点在的正半轴上，，点在轴正半轴上，，以和为邻边作矩形，过点作平分交于点，反比例函数的图象与交于点，与交于点．
(1)求证：；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)点为反比例函数图象上一动点（点在之间运动，不与重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，直接写出面积最大时，此时点的坐标．
21．如图，是的内接三角形，是的直径，交于点，，过点作直线，且满足．
(1)求证；是的切线；
(2)若为上一点，连接交于点，，求阴影部分的面积．
22．在矩形纸片中，，点在上，点在上，连接，，，且，点在上，，点在上，连接，将矩形纸片沿着剪开得到，将沿着的直线折叠得到，使的对应线段，然后展平．
【初步探究】
(1)求证；；
(2)求证：四边形是菱形；
(3)【拓展应用】
将矩形纸片沿着剪开，继续沿过点的直线折叠，使点的对应点落在射线上，折痕与边交于点，连接交于点．
①若，求证；；
②若，，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的面积．
23．在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的两倍，则称该点为“硬核点”；二次函数的图象的顶点和反比例函数图象上的“硬核点”关于轴对称，且二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的函数解析式；
(2)过点作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到直线的距离为，求的取值范围；
(3)过点的直线交二次函数图象于另一点，点在二次函数的图象上且其横坐标为，点在直线上，点的横坐标为，点的横坐标为，以为邻边作平行四边形，
①当时．点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，求的值；
②当点在第一象限时，平行四边形的面积为3时，直接写出点的坐标．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B A C C A A D A
1．B
【详解】
解：俯视图为三角形的是．
2．D
利用实数大小比较的规则，先区分正负，再比较正数的大小即可得到结果．
【详解】解：∵负数小于0，正数大于一切负数和0．
∴ ．
∵ ．
∴ ．
∴四个数的大小关系为．
因此最大的数是．
3．B
根据科学记数法的定义与形式改写即可.
【详解】解: .
故选:B.
4．A
详解：∵AB∥CD，∴∠A+∠C=180°．
∵∠A=120°，∴∠C=60°．
∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=30°．
故选A．
5．C
根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的乘除法法则逐一判断即可．
【详解】解：选项A：，
A计算错误．
选项B：，
B计算错误．
选项C：，
C计算正确．
选项D：，
D计算错误．
6．C
先计算袋子中所有球的总个数，得到随机摸球所有等可能结果的总数，再确定摸出红球的结果数，利用概率公式计算即可得出答案．
【详解】解：∵袋子中球的总个数为 ，摸出每个球的可能性相同，其中红球有个，
∴摸出红球的概率为．
7．A
根据轴对称图形的定义即可求解．
【详解】解：“水”不是轴对称图形，
故选：A．
8．A
【详解】解：设1只雀重斤，1只燕重斤，
∵5只雀和6只燕的总重量为1斤，
∴可得方程，
将1只雀和1只燕互换位置后，一边为4只雀加1只燕，另一边为5只燕加1只雀，此时两边重量相等，
∴可得方程 ，
因此可列方程组为．
9．D
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为，将绕着点顺时针旋转得到，
∴，，
∴轴，轴，
∴，
∴．
10．A
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，勾股定理．由作图可知平分，结合平行线性质可得；由及平行四边形性质可证四边形为平行四边形，得，；在中利用勾股定理求出的长，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】解：由作图可知平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
又，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，即，
设，则，
由图可知点在线段上，
，
在中，，
，
解得，即，
．
11．
【详解】解：
两边都乘以得到，
解得，
当时，，
∴原分式方程的解是．
12．
根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式．
【详解】解：设与的函数表达式为 ，
将 代入表达式，得 ，
解得 ，
因此与之间的函数表达式为 ．
13．60
先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
14．
【详解】解：过点作于点，则：米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米；
故答案为：．
15．
过点作于点 ，连接，由平分，可证得，设，由勾股定理可得，①，，从而得到，又，又，可得，代入①中，解方程即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
过点作于点 ，连接，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴．
16．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
17．(1)该物流中转站配置了套这样的分拣设备．
(2)该中转站至少配置了套分拣设备．
（1）设该物流中转站配置了套这样的分拣设备，每套设备每小时分拣3．5万件，则经过1小时，剩下4万件未分拣，据此列出一元一次方程并解方程即可；
（2）设该中转站配置了套分拣设备，每套设备每小时分拣3.5万件，1小时后还剩不低于3万件没分拣．据此列出一元一次不等式并解不等式即可．
【详解】（1）解：设该物流中转站配置了套这样的分拣设备，
则，
解得，
答：该物流中转站配置了套这样的分拣设备．
（2）解：设该中转站配置了套分拣设备，
则
解得，
答：该中转站至少配置了套分拣设备．
18．(1)
(2)
(3)86分
(4)人．
（1）根据B组的人数和占比求出抽取学生总数，求出C等级的人数，用C等级的占比乘以即可得到答案；
（2）根据（1）中求出的C等级的人数补全频数分布直方图；
（3）根据中位数定义求解即可；
（3）利用样本中A等级人数的占比乘以500即可得出结论．
【详解】（1）解：（人）
C等级的人数为：（人），
∴扇形统计图中C的圆心角度数
（2）略
（3）解：25个数据按大小顺序排列，最中间是第13个数据，
∵A组从大到小有8个数据，
∴中位数是B组从大到小的第5个，即为86分；
（4）解：（人），
即估计成绩为A等级的人数为人．
19．(1)
(2)每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）分别求出和两种情况下的最大值，比较即可．
【详解】（1）解：由图象可知，当时，y与x之间的函数关系为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为，
将点代入得
，
解得
∴当时，y与x之间的函数关系式为；
（2）解：设每天的销售利润为元，则
当时，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，取得最大值，最大值为，
当时，，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，取得最大值为，
综上可知，每件销售价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
20．(1)证明：∵以和为邻边作矩形，
∴，
∵过点作平分交于点，
∴；
∴
(2)
(3)
（1）根据矩形的性质、三角形内角和即可证明；
（2）求出直线的解析式为即可求出，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（3）设，则，求出的解析式为，得到，则面积，根据二次函数的性质即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，点在轴正半轴上，，以和为邻边作矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为
则
解得，
∴直线的解析式为
把代入得到，
解得
∴，
把代入得到，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（3）解：设，则，
∵，
∴可设的解析式为，
则，
解得,
∴的解析式为，
当时，，
∴，
∴面积，
∵，
∴当时，面积取得最大值，最大值为，
此时点的坐标为．
21．(1)证明：∵是的直径，交于点，，
∴，
∴，
∵．
∴．
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
(2)
（1）证明，根据切线的判定即可得到结论；
（2）证明是等边三角形，根据即可求出答案．
【详解】（1）略
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴（负值已舍去）
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴
22．(1)证明：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
(2)证明：由折叠的性质可得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是菱形．
(3)①证明：由折叠的性质可得，
∵，
∴，
由（2）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
②或
（1）利用矩形的性质可得，则，从而证明，因此；
（2）由折叠和平行线的性质可得，则，结合折叠的性质可得，因此四边形是菱形；
（3）①由折叠可得，由（2）可得，从而得到，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得；
②设射线交于点，作于点，设，容易计算出，，由平行可判定，则，，则，．由折叠可得，，则，利用角平分线的性质可得，通过面积法可计算出，则．分两类讨论，当时，，，由平行可判定，则，解得，从而计算出；当时，同样的解法可计算出，因此．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：①略；
②如图，设射线交于点，作于点，设，
由（1）可知，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
①当时，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
②当时，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
综上所述，的面积为或．
23．(1)
(2)
(3)①
②或
（1）根据硬核点的定义将点设出来，代入反比例函数中求出点的坐标，再根据对称性求出二次函数顶点的坐标，利用二次函数顶点式求解；
（2）利用抛物线上有4个点到直线的距离相等，则距离应在顶点到直线之间且不包含端点求解即可；
（3）①根据二次函数的增减性求解即可；
②根据点所在的位置，将点表示出来，因为点在第一象限，求出的取值范围，再利用平行四边形的面积求解．
【详解】（1）解：根据硬核点的定义，设点的坐标点为，
将点代入中，
∴，解得，
∵点在第一象限，
∴点的坐标为，
又∵点与点关于轴对称，
∴二次函数顶点的坐标为，
设二次函数解析式为，将点代入解析式中，
得，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：∵平行于轴的直线过点，且点的坐标为，
∴直线的解析式为，
二次函数顶点距离直线的距离为，
当时，在直线上方，二次函数图像上有个点到直线的距离为，
在直线下方，二次函数图像上有个或者个点到直线距离为，不符合题意，
∴，
∵抛物线上的点到直线的距离，
∴，
又∵当时，二次函数图像上有个点到直线的距离为，不符合题意；
∴综上所述，的取值范围为；
（3）解：①∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数的对称轴为，
∵当时，在顶点处取得最小值，此时，
又点（包括点）右侧部分二次函数的图象的最低点的纵坐标为，
∴，解得，不符合题意；
当时，在点处取得最小值，
∴，解得，
∵，
∴；
②∵点在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∵点在二次函数图像上，且横坐标为，
∴点的坐标为，
∵点的横坐标相等，
∴轴，
又∵以为邻边作平行四边形，
∴轴，
∴点的横坐标为；
令，则，解得，
∵点在第一象限，
∴，
当抛物线在直线的下方时，，
过点作交于点，此时点
，
∴，解得或，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
，
当抛物线在直线的上方时，，
如图所示，过点作交于点，
,
此时点的坐标为，
，
∴，解得，
∵，
∴，
则点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．

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