资源简介

(共24张PPT)
三、集合的基本运算
练习1　并集、交集
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
必 备 知 识 练
1. (2024·天津高考)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，
4，5}，则A∩B等于(　　)
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4}
C. {2，4} D. {1}
【解析】A∩B＝{1，2，3，4}∩{2，3，4，5}＝{2，3，4}.
B
2. (2025·湖南永州开学考试)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝
{x|x2＝1}，则A∪B等于(　　)
A. {－1，1，5} B. {－1，1，－5}
C. {－1} D. {1}
【解析】由x2－4x－5＝0，得到x＝5，或x＝－1，∴A＝{－1，5}，又由x2＝1，得到x＝±1，∴B＝，得到A∪B＝.
A
3. (2025·江苏淮安开学考试)设集合A＝{a2，0}，B＝{a＋2，
1}，若A∩B＝{1}，则a的值为(　　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. ±1
【解析】A∩B＝{1}，则1＝a2，解得a＝±1.当a＝1时，B＝满足题意；当a＝－1时，B＝，不满足集合元素互异性，故a＝1.
A
4. (2024·重庆八中高一月考) 已知集合A＝{1，3，}，B＝
{1，m}，且A∪B＝A，则m等于(　　)
A. 0或3 B. 0或
C. 1或 D. 1或3或0
【解析】由题意，集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∵A∪
B＝A，∴B A，则满足或解得m＝3，或m＝0.
A
5. (2024·云南普洱期末)已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{－2，
0，1}，则(　　)
A. M∩N＝{0} B. M∪N＝M
C. {0} M∩N D. M∪N {0，1}
【解析】M∩N＝{0，1}，M∪N＝{－2，0，1，2}，A，B错误； M∩N，C正确； M∪N，D错误.
C
6. 某班有45名学生，每名学生都有一项或两项爱好，归结为艺术与体育两大爱好.假设有艺术爱好者22名，体育爱好者28名，则同时爱好这两项的学生有(　　)
A. 4名 B. 5名
C. 6名 D. 7名
【解析】由题意可得Venn图，如图所示，则
同时爱好艺术和体育的学生有22＋28－45＝
5(名).
B
7. (2025·湖南长沙高一检测)设集合A＝{n|n＝3k， k∈Z}，
B＝{n|n＝4k， k∈Z}，C＝{n|n＝6k， k∈Z}，则(　　)
A. A∩B＝C B. B∪C＝A
C. C A∩B D. B∩C＝A∩B
【解析】由题意可得A∩B＝{n|n＝12k， k∈Z}，A∩B C，A，C均错误；B∩C＝{n|n＝12k， k∈Z}，B∩C＝A∩B，D正确；∵3∈A，3 B，3 C，∴3 B∪C，B错误.
D
8. (多选)(2024·河南开封高一期中)设集合A＝{x|x2－4＝0}，
B＝{y|y＝x2－4}，则(　 　)
A. A∩B＝ B. A∩B＝A
C. A∪B＝B D. A∪B＝{－2，2}
【解析】由题意得A＝{－2，2}，B＝{y|y≥－4}，∴A∩B＝{－2，2}＝A，A∪B＝{y|y≥－4}＝B.
BC
9. (多选)(2024·河南郑州模拟)对于R的两个非空子集A，B，定义运算A×B＝{(x， y)|x∈A，y∈B}，则(　 　)
A. A×B＝B×A
B. A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)
C. 若A C，则(A×B) (C×B)
D. A×A表示一个正方形区域
BC
【解析】由题意知，A×B＝{(x， y)|x∈A，y∈B}表示以数集A中的数为横坐标，数集B中的数为纵坐标的点的集合，A×B≠B×A，A错误；∵A×(B∩C)＝{(x， y)|x∈A，y∈(B∩C)}，且∩ ∩，∴A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)，B正确；若A C，(A×B) (C×B)，C正确；若A＝{1}，集合A×A只包含一个点，D错误.
10. 已知A＝{(x，y)|xy＝12}，B＝{(x，y)|x，y∈N，y＜x}，则A∩B＝__________________________.
【解析】由得或或
∴A∩B＝{(12，1)，(6，2)，(4，3)}.
{(12，1)，(6，2)，(4，3)}
11. 已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为__________.
【解析】由A∩B＝A，故A B.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤
m＋3，故有即
即m≥5，∴m的最小值为5.
5
12. (2025·贵州毕节高一检测)已知集合A＝{－2，－1，a}，
B＝{3，a＋1}，若A∩B≠ ，则a的取值集合为__________.
【解析】由A∩B≠ ，则a＝3，或a＋1＝－2，或a＋1＝－1，当a＝3时，A＝{－2，－1，3}，B＝{3，4}，A∩B＝{3}，符合题意；当a＋1＝－2，即a＝－3时，A＝{－2，－1，－3}，B＝{3，－2}，A∩B＝{－2}，符合题意；当a＋1＝－1，即a＝－2时，此时集合A中的元素不满足互异性，因此不符合，∴a的取值集合为{3，－3}.
{3，－3}
关 键 能 力 练
13. 已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}.
(1)若A∩B≠ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围.
解：(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B≠ ，如图1所示，
图1
∴a＞－1，即a的取值范围是{a|a＞－1}.
(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，如图2所示，
图2
∴a的取值范围是{a|－1＜a≤1}.
14. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋6＝0}，A∪B＝{2，3}，A∩B＝{3}，求a，b，c的值.
解：∵A∩B＝{3}，∴3是方程x2＋cx＋6＝0的根，则32＋3c＋
6＝0，解得c＝－5，∴B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{3，2}.
∵A∪B＝{2，3}，A∩B＝{3}，∴A≠B，则A＝{3}，∴方程
x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根3，∴解得综上，a＝－6，b＝9，c＝－5.
拓 展 突 破 练
15. (2024·集美中学高一检测)设集合A，B，C均为非空集合，
下列命题中，为真命题的是(　　)
A. 若A∩B＝B∩C，则A＝C
B. 若A∪B＝B∪C，则A＝C
C. 若A∪B＝B∩C，则C B
D. 若A∩B＝B∪C，则C B
D
【解析】对于A， A∩B＝B∩C，当A＝{1，2}，B＝{1}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则A错误；对于B， A∪B＝B∪C，当
A＝{1，2}，B＝{3}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则B错误；对于C，A∪B＝B∩C，当A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则C错误；对于D，∵A∩B B，A∩B＝B∪C，∴B∪C B，又B B∪C，∴B＝B∪C，则C B，则D正确.
16. 已知集合A＝{x|x2＋4x－5＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2＋2a－2＝0}.
(1)若A∩B＝{1}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解：(1)由题可知，A＝{－5，1}，∵A∩B＝{1}，∴1∈B，即x＝1是方程x2＋2(a＋2)x＋a2＋2a－2＝0的根，则有1＋2(a＋2)＋a2＋2a－2＝0，即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1，或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2＋2x－3＝0}＝{1，－3}，满足A∩B＝{1}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，满足A∩B＝{1}，符合题意.
综上，实数a的值为－1或－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B A.当B＝ 时，Δ＝[2(a＋2)]2－4(a2＋2a－2)＝8a＋24＜0，解得a＜－3；
若B≠ ，当B＝{1}时，由(1)知，a＝－3，符合题意；
当B＝{－5}时，可得
无解；
当B＝{1，－5}时，可得
无解.
综上，实数a的取值范围是a≤－3.1.3 练习1　并集、交集
1. (2024·天津高考)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B等于(　B　)
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4}
C. {2，4} D. {1}
【解析】A∩B＝{1，2，3，4}∩{2，3，4，5}＝{2，3，4}.
2. (2025·湖南永州开学考试)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于(　A　)
A. {－1，1，5} B. {－1，1，－5}
C. {－1} D. {1}
【解析】由x2－4x－5＝0，得到x＝5，或x＝－1，∴A＝{－1，5}，又由x2＝1，得到x＝±1，∴B＝，得到A∪B＝.
3. (2025·江苏淮安开学考试)设集合A＝{a2，0}，B＝{a＋2，1}，若A∩B＝{1}，则a的值为(　A　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. ±1
【解析】A∩B＝{1}，则1＝a2，解得a＝±1.当a＝1时，B＝满足题意；当a＝－1时，B＝，不满足集合元素互异性，故a＝1.
(2024·重庆八中高一月考) 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∪
B＝A，则m等于(　A　)
A. 0或3 B. 0或
C. 1或 D. 1或3或0
【解析】由题意，集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∵A∪B＝A，∴B A，则满足或解得m＝3，或m＝0.
5. (2024·云南普洱期末)已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{－2，0，1}，则(　C　)
A. M∩N＝{0} B. M∪N＝M
C. {0} M∩N D. M∪N {0，1}
【解析】M∩N＝{0，1}，M∪N＝{－2，0，1，2}，A，B错误； M∩N，C正确； M∪N，D错误.
6. 某班有45名学生，每名学生都有一项或两项爱好，归结为艺术与体育两大爱好.假设有艺术爱好者22名，体育爱好者28名，则同时爱好这两项的学生有(　B　)
A. 4名 B. 5名
C. 6名 D. 7名
【解析】由题意可得Venn图，如图所示，则同时爱好艺术和体育的学生有
22＋28－45＝5(名).
7. (2025·湖南长沙高一检测)设集合A＝{n|n＝3k， k∈Z}，B＝{n|n＝4k， k∈Z}，C＝{n|n＝6k， k∈Z}，则(　D　)
A. A∩B＝C B. B∪C＝A
C. C A∩B D. B∩C＝A∩B
【解析】由题意可得A∩B＝{n|n＝12k， k∈Z}，A∩B C，A，C均错误；B∩C＝{n|n＝12k， k∈Z}，B∩C＝A∩B，D正确；∵3∈A，3 B，3 C，∴3 B∪C，B错误.
8. (多选)(2024·河南开封高一期中)设集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{y|y＝x2－4}，则(　BC　)
A. A∩B＝ B. A∩B＝A
C. A∪B＝B D. A∪B＝{－2，2}
【解析】由题意得A＝{－2，2}，B＝{y|y≥－4}，∴A∩B＝{－2，2}＝A，A∪B＝{y|y≥－4}＝B.
9. (多选)(2024·河南郑州模拟)对于R的两个非空子集A，B，定义运算A×B＝{(x， y)|x∈A，y∈B}，则(　BC　)
A. A×B＝B×A
B. A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)
C. 若A C，则(A×B) (C×B)
D. A×A表示一个正方形区域
【解析】由题意知，A×B＝{(x， y)|x∈A，y∈B}表示以数集A中的数为横坐标，数集B中的数为纵坐标的点的集合，A×B≠B×A，A错误；∵A×(B∩C)＝{(x， y)|x∈A，y∈(B∩C)}，且∩ ∩，∴A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)，B正确；若A C，(A×B) (C×B)，C正确；若A＝{1}，集合A×A只包含一个点，D错误.
10. 已知A＝{(x，y)|xy＝12}，B＝{(x，y)|x，y∈N，y＜x}，则A∩B＝　{(12，1)，(6，2)，(4，3)}　.
【解析】由得或或
∴A∩B＝{(12，1)，(6，2)，(4，3)}.
11. 已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为　5　.
【解析】由A∩B＝A，故A B.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故有即
即m≥5，∴m的最小值为5.
12. (2025·贵州毕节高一检测)已知集合A＝{－2，－1，a}，B＝{3，a＋1}，若A∩B≠ ，则a的取值集合为　{3，－3}　.
【解析】由A∩B≠ ，则a＝3，或a＋1＝－2，或a＋1＝－1，当a＝3时，A＝{－2，－1，3}，B＝{3，4}，A∩B＝{3}，符合题意；当a＋1＝－2，即a＝－3时，A＝{－2，－1，－3}，B＝{3，－2}，A∩B＝{－2}，符合题意；当a＋1＝－1，即a＝－2时，此时集合A中的元素不满足互异性，因此不符合，∴a的取值集合为{3，－3}.
13. 已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}.
(1)若A∩B≠ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围.
解：(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∩B≠ ，如图1所示，
图1
∴a＞－1，即a的取值范围是{a|a＞－1}.
(2)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝{x|x＜1}，如图2所示，
图2
∴a的取值范围是{a|－1＜a≤1}.
14. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋6＝0}，A∪B＝{2，3}，A∩B＝{3}，求a，b，c的值.
解：∵A∩B＝{3}，∴3是方程x2＋cx＋6＝0的根，则32＋3c＋6＝0，解得c＝－5，∴B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{3，2}.
∵A∪B＝{2，3}，A∩B＝{3}，∴A≠B，则A＝{3}，∴方程x2＋ax＋b＝0有两个相等的实数根3，∴解得综上，a＝－6，b＝9，
c＝－5.
15. (2024·集美中学高一检测)设集合A，B，C均为非空集合，下列命题中，为真命题的是(　D　)
A. 若A∩B＝B∩C，则A＝C
B. 若A∪B＝B∪C，则A＝C
C. 若A∪B＝B∩C，则C B
D. 若A∩B＝B∪C，则C B
【解析】对于A， A∩B＝B∩C，当A＝{1，2}，B＝{1}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则A错误；对于B， A∪B＝B∪C，当A＝{1，2}，B＝{3}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则B错误；对于C，A∪B＝B∩C，当A＝{1}，B＝{1，2}，C＝{1，2，3}时，结论不成立，则C错误；对于D，∵A∩B B，A∩B＝B∪C，∴B∪C B，又B B∪C，∴B＝B∪C，则C B，则D正确.
16. 已知集合A＝{x|x2＋4x－5＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2＋2a－2＝0}.
(1)若A∩B＝{1}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.
解：(1)由题可知，A＝{－5，1}，∵A∩B＝{1}，∴1∈B，即x＝1是方程x2＋2(a＋2)x＋a2＋2a－2＝0的根，则有1＋2(a＋2)＋a2＋2a－2＝0，即a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1，或a＝－3.当a＝－1时，B＝{x|x2＋2x－3＝0}＝{1，－3}，满足A∩B＝{1}，符合题意；当a＝－3时，B＝{x|x2－2x＋1＝0}＝{1}，满足A∩B＝{1}，符合题意.
综上，实数a的值为－1或－3.
(2)∵A∪B＝A，∴B A.当B＝ 时，Δ＝[2(a＋2)]2－4(a2＋2a－2)＝8a＋24＜0，解得a＜－3；
若B≠ ，当B＝{1}时，由(1)知，a＝－3，符合题意；
当B＝{－5}时，可得
无解；
当B＝{1，－5}时，可得
无解.
综上，实数a的取值范围是a≤－3.1.3 练习1　并集、交集
1. (2024·天津高考)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B等于(　 　)
A. {1，2，3，4} B. {2，3，4}
C. {2，4} D. {1}
2. (2025·湖南永州开学考试)设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B等于(　 　)
A. {－1，1，5} B. {－1，1，－5}
C. {－1} D. {1}
3. (2025·江苏淮安开学考试)设集合A＝{a2，0}，B＝{a＋2，1}，若A∩B＝{1}，则a的值为(　 　)
A. 1 B. －1
C. 0 D. ±1
(2024·重庆八中高一月考) 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，且A∪
B＝A，则m等于(　 　)
A. 0或3 B. 0或
C. 1或 D. 1或3或0
5. (2024·云南普洱期末)已知集合M ＝{0，1，2}，N ＝{－2，0，1}，则(　 　)
A. M∩N＝{0} B. M∪N＝M
C. {0} M∩N D. M∪N {0，1}
6. 某班有45名学生，每名学生都有一项或两项爱好，归结为艺术与体育两大爱好.假设有艺术爱好者22名，体育爱好者28名，则同时爱好这两项的学生有(　 　)
A. 4名 B. 5名
C. 6名 D. 7名
7. (2025·湖南长沙高一检测)设集合A＝{n|n＝3k， k∈Z}，B＝{n|n＝4k， k∈Z}，C＝{n|n＝6k， k∈Z}，则(　 　)
A. A∩B＝C B. B∪C＝A
C. C A∩B D. B∩C＝A∩B
8. (多选)(2024·河南开封高一期中)设集合A＝{x|x2－4＝0}，B＝{y|y＝x2－4}，则(　 　)
A. A∩B＝ B. A∩B＝A
C. A∪B＝B D. A∪B＝{－2，2}
9. (多选)(2024·河南郑州模拟)对于R的两个非空子集A，B，定义运算A×B＝{(x， y)|x∈A，y∈B}，则(　 　)
A. A×B＝B×A
B. A×(B∩C)＝(A×B)∩(A×C)
C. 若A C，则(A×B) (C×B)
D. A×A表示一个正方形区域
10. 已知A＝{(x，y)|xy＝12}，B＝{(x，y)|x，y∈N，y＜x}，则A∩B＝　 　.
11. 已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为　 　.
12. (2025·贵州毕节高一检测)已知集合A＝{－2，－1，a}，B＝{3，a＋1}，若A∩B≠ ，则a的取值集合为　 　.
13. 已知集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x＜a}.
(1)若A∩B≠ ，求a的取值范围；
(2)若A∪B＝{x|x＜1}，求a的取值范围.
14. 已知集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋6＝0}，A∪B＝{2，3}，A∩B＝{3}，求a，b，c的值.
15. (2024·集美中学高一检测)设集合A，B，C均为非空集合，下列命题中，为真命题的是(　 　)
A. 若A∩B＝B∩C，则A＝C
B. 若A∪B＝B∪C，则A＝C
C. 若A∪B＝B∩C，则C B
D. 若A∩B＝B∪C，则C B
16. 已知集合A＝{x|x2＋4x－5＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2＋2a－2＝0}.
(1)若A∩B＝{1}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围.

展开更多......

收起↑