资源简介

1.3 练习2　全集、补集
1. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A满足 UA＝{0，1，3}，则A等于(　B　)
A. {0，2} B. {－1，2}
C. {－1，0，2} D. {0}
【解析】∵U＝{－1，0，1，2，3}， UA＝{0，1，3}，∴A＝{－1，2}.
2. (2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩( UB)等于(　B　)
A. {3} B. {1，6}
C. {5，6} D. {1，3}
【解析】 UB＝{1，5，6}，A∩( UB)＝{1，6}.
3. 设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1， 3， 7}，B＝{2， 3， 8}，则( UA)∩( UB)等于(　C　)
A.{1， 2， 7， 8} B. {4， 5， 6}
C. {0， 4， 5， 6} D. {0， 3， 4， 5， 6}
【解析】∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A∪B＝{1，2，3，7，8}，
∴( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{0，4，5，6}.
4. (2024·衢州中学高一)已知集合A＝{x|－2x＜6}， RB＝{x|x＞4}，则A∩B等于(　D　)
A. {x|x＜－3，或x＞4}
B. {x|－3＜x＜4}
C. {x|x＜－3}
D. {x|－3＜x≤4}
【解析】∵ RB＝{x|x＞4}，∴B＝{x|x≤4}.∵A＝{x|－2x＜6}＝{x|x＞－3}，
∴A∩B＝{x|－3＜x≤4}.
5. (2025·浙江阶段练习)设U＝R，已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是(　A　)
A. (－∞，0) B. (－∞，0]
C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)
【解析】由题设，可得 UA＝{x|x＜0}，∵( UA)∪B＝R，B＝{x|x＞a}，∴a＜0.
6. (2024·杭州十四中高一检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么下图中阴影部分表示的集合为(　D　)
A. {－1，4} B. {1，2，4}
C. {1，4} D. {－1，2，4}
【解析】由题图知，阴影部分为( RA)∩B，而 RA＝{x|x＜0，或x＞1}，且B＝{－1，1，2，4}，∴( RA)∩B＝{－1，2，4}.
7. (2025·山东青岛高一检测)已知全集U，集合M，N满足M N U，则下列结论中，正确的是 (　C　)
A. M∪N＝U
B. ( UM)∩( UN) ＝
C. M∩( UN)＝
D. ( UM)∪( UN)＝U
【解析】全集U，集合M，N满足M N U，绘制Venn图如图所示，
对于A，M∪N＝N，A错误；对于B，( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)＝ UN，B错误；对于C，M∩( UN)＝ ，C正确；对于D，( UM)∪( UN)＝ U(M∩N)＝ UM，D错误.
8. (多选)如图所示，U是全集，M，N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为(　BD　)
A. ( UM)∩( UN) B. ( UM)∩N
C. M∪( UN) D. N∩ U(M∩N)
【解析】根据题意可知，阴影中的元素属于集合N但不属于集合M，根据选项知，( UM)∩N，N∩ U(M∩N)符合要求.
9. (多选)(2024·唐山高一期中)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B ( RA)，则a的可能取值为(　BD　)
A. 0　 B. 1
C. 2 D.
【解析】∵A＝{x|0＜x＜a}，A为非空集合，∴ RA＝{x|x≤0，或x≥a}，且a＞0，而B＝{x|1＜x＜2}，B ( RA)，∴a≤1.综上，0＜a≤1，B，D正确，A，C错误.
10. (2024·上海高考)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则 UA＝{1，3，5}　.
【解析】∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，∴ UA＝{1，3，5}.
11. 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则( UA)∩( UB)＝　{x|x是直角三角形}　.
【解析】根据三角形的分类可知， UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}， UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，∴( UA)∩( UB)＝{x|x是直角三角形}.
12. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1，或x＜－2}，B＝{x|a≤x≤2a－1}，若( UA)∩B＝ ，则实数a的取值范围是　a＜1，或a＞1　.
【解析】∵A＝{x|x＞1，或x＜－2}，∴ UA＝{x|－2≤x≤1}.当a＞2a－1，即a＜1 时，B＝ ，满足题意；当a≤2a－1，即a≥1时，∵( UA)∩B＝ ，∴a＞1，或 2a－1＜－2，可得a＞1，∴实数a的取值范围是a＜1，或a＞1.
13. (2025·云南昆明高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}.
(1)若全集U＝R，求A∩B，( UA)∩B；
(2)若全集U＝A∪B，求A∩( UB).
解：(1)∵集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，∴A∩B＝{x|－1≤
x＜1}， UA＝{x|x＜－1，或x＞4}，∴( UA)∩B＝{x|x＜－1，或x＞5}.
(2)由A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，可得U＝A∪B＝{x|x≤4，或
x＞5}，则 UB＝{x|1≤x≤4}，∴A∩( UB)＝{x|1≤x≤4}.
14. 设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－2＝0}.
(1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{－3}，求A∪B.
解：(1)∵集合A中恰有一个元素，∴Δ＝16－4a＝0，解得a＝4.
(2)∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B，则4＋2b－2＝0，解得b＝－1.∵( UB)∩A＝{－3}，∴－3∈A，则9－12＋a＝0，解得a＝3，则A＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－1，－3}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}.检验可知( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{－3}成立，∴A∪B＝{－3，－1，2}.
15. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天的志愿者总人数最少为　29　.
【解析】记第一天、第二天、第三天参加的志愿者分别构成集合A，B，C，三天都参加的志愿者人数为x，第一天和第三天都参加的志愿者人数为x＋y，根据题意可作出Venn图如图所示.依题意必有x，y，3－x，14－y均为自然数，∴0≤x≤3，0≤y≤14，故这三天参加的不同志愿者的总人数为19＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y，故当y＝14时，总人数最少，最少为43－14＝29.
16. (2024·杭州高一期中) 定义1：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义2：集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：① 和X在Γ中；②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中.
(1)若族P＝{ ，X}，族Q＝{x|x X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑
(2)设有限集X为全集，证明： X(A1∩A2∩…∩An)＝( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*，n≥2).
(1)解：族P＝{ ，X}，族Q＝{x|x X}都是集合X的拓扑.
(2)证明：设x∈ X(A1∩A2∩…∩An)，则x (A1∩A2∩…∩An)，故存在整数i(1≤i≤n)，使得x Ai，∴x∈ XAi，得x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)].
设x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)]，则存在整数j(1≤j≤n)，使得x∈ XAj，故x Aj，
因此x (A1∩A2∩…∩An)，得x∈ X(A1∩A2∩…∩An)，故 X(A1∩A2∩…∩An)＝
( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*，n≥2).(共23张PPT)
三、集合的基本运算
练习2　全集、补集
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
必 备 知 识 练
1. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A满足 UA＝{0，1，
3}，则A等于(　　)
A. {0，2} B. {－1，2}
C. {－1，0，2} D. {0}
【解析】∵U＝{－1，0，1，2，3}， UA＝{0，1，3}，∴A＝{－1，2}.
B
2. (2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝
{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩( UB)等于(　　)
A. {3} B. {1，6}
C. {5，6} D. {1，3}
【解析】 UB＝{1，5，6}，A∩( UB)＝{1，6}.
B
3. 设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1， 3， 7}，B＝{2， 3，
8}，则( UA)∩( UB)等于(　　)
A.{1， 2， 7， 8} B. {4， 5， 6}
C. {0， 4， 5， 6} D. {0， 3， 4， 5， 6}
【解析】∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A∪B＝{1，2，3，7，8}，∴( UA)∩( UB)＝ U(A∪B)＝{0，4，5，6}.
C
4. (2024·衢州中学高一)已知集合A＝{x|－2x＜6}， RB＝{x|
x＞4}，则A∩B等于(　　)
A. {x|x＜－3，或x＞4}
B. {x|－3＜x＜4}
C. {x|x＜－3}
D. {x|－3＜x≤4}
【解析】∵ RB＝{x|x＞4}，∴B＝{x|x≤4}.∵A＝{x|－2x＜6}＝{x|x＞－3}，∴A∩B＝{x|－3＜x≤4}.
D
5. (2025·浙江阶段练习)设U＝R，已知集合A＝{x|x≥0}，B＝
{x|x＞a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，0) B. (－∞，0]
C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)
【解析】由题设，可得 UA＝{x|x＜0}，∵( UA)∪B＝R，B＝{x|x＞a}，∴a＜0.
A
6. (2024·杭州十四中高一检测)已知全集U＝R，
集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么
下图中阴影部分表示的集合为(　　)
A. {－1，4} B. {1，2，4}
C. {1，4} D. {－1，2，4}
【解析】由题图知，阴影部分为( RA)∩B，而 RA＝{x|x＜0，或x＞1}，且B＝{－1，1，2，4}，∴( RA)∩B＝{－1，2，4}.
D
7. (2025·山东青岛高一检测)已知全集U，集合M，N满足
M N U，则下列结论中，正确的是 (　　)
A. M∪N＝U
B. ( UM)∩( UN) ＝
C. M∩( UN)＝
D. ( UM)∪( UN)＝U
C
【解析】全集U，集合M，N满足M N U，绘制Venn图如图所示，
对于A，M∪N＝N，A错误；对于B，( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)＝ UN，B错误；对于C，M∩( UN)＝ ，C正确；对于D，( UM)∪( UN)＝ U(M∩N)＝ UM，D错误.
8. (多选)如图所示，U是全集，M，N是U的两
个子集，则图中的阴影部分可以表示为(　 　)
A. ( UM)∩( UN) B. ( UM)∩N
C. M∪( UN) D. N∩ U(M∩N)
【解析】根据题意可知，阴影中的元素属于集合N但不属于集合M，根据选项知，( UM)∩N，N∩ U(M∩N)符合要求.
BD
9. (多选)(2024·唐山高一期中)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B ( RA)，则a的可能取值为
(　 　)
A. 0　 B. 1
C. 2 D.
【解析】∵A＝{x|0＜x＜a}，A为非空集合，∴ RA＝{x|x≤0，或x≥a}，且a＞0，而B＝{x|1＜x＜2}，B ( RA)，∴a≤1.综上，0＜a≤1，B，D正确，A，C错误.
BD
10. (2024·上海高考)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝
{2，4}，则 UA＝_____________.
【解析】∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，∴ UA＝{1，3，5}.
{1，3，5}
11. 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则( UA)∩( UB)＝___________________.
【解析】根据三角形的分类可知， UA＝{x|x是直角三角形或钝角三角形}， UB＝{x|x是直角三角形或锐角三角形}，∴( UA)∩( UB)＝{x|x是直角三角形}.
{x|x是直角三角形}
12. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1，或x＜－2}，B＝
{x|a≤x≤2a－1}，若( UA)∩B＝ ，则实数a的取值范围是
_________________.
【解析】∵A＝{x|x＞1，或x＜－2}，∴ UA＝{x|－2≤x≤1}.当a＞2a－1，即a＜1 时，B＝ ，满足题意；当a≤2a－1，即a≥1时，∵( UA)∩B＝ ，∴a＞1，或 2a－1＜－2，可得a＞1，∴实数a的取值范围是a＜1，或a＞1.
a＜1，或a＞1
关 键 能 力 练
13. (2025·云南昆明高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}.
(1)若全集U＝R，求A∩B，( UA)∩B；
(2)若全集U＝A∪B，求A∩( UB).
解：(1)∵集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，∴A∩B＝{x|－1≤x＜1}， UA＝{x|x＜－1，或x＞4}，∴( UA)∩B＝{x|x＜－1，或x＞5}.
(2)由A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}，可得U＝A∪B＝{x|x≤4，或x＞5}，则 UB＝{x|1≤x≤4}，∴A∩( UB)＝{x|1≤x≤4}.
14. 设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－
2＝0}.
(1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{－3}，求A∪B.
解：(1)∵集合A中恰有一个元素，∴Δ＝16－4a＝0，解得a＝4.
(2)∵( UA)∩B＝{2}，∴2∈B，则4＋2b－2＝0，解得b＝－1.∵( UB)∩A＝{－3}，∴－3∈A，则9－12＋a＝0，解得a＝3，则A＝{x|x2＋4x＋3＝0}＝{－1，－3}，B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}.检验可知( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{－3}成立，∴A∪B＝{－3，－1，2}.
拓 展 突 破 练
15. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天的志愿者总人数最少为__________.
29
【解析】记第一天、第二天、第三天参加的
志愿者分别构成集合A，B，C，三天都参加
的志愿者人数为x，第一天和第三天都参加
的志愿者人数为x＋y，根据题意可作出Venn
图如图所示.依题意必有x，y，3－x，14－y
均为自然数，∴0≤x≤3，0≤y≤14，故这三天参加的不同志愿者的总人数为19＋(6＋x)＋(4－x)＋(14－y)＝43－y，故当y＝14时，总人数最少，最少为43－14＝29.
16. (2024·杭州高一期中) 定义1：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义2：集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：① 和X在Γ中；②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中.
(1)若族P＝{ ，X}，族Q＝{x|x X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑
(2)设有限集X为全集，证明： X(A1∩A2∩…∩An)＝( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*，n≥2).
(1)解：族P＝{ ，X}，族Q＝{x|x X}都是集合X的拓扑.
(2)证明：设x∈ X(A1∩A2∩…∩An)，则x (A1∩A2∩…∩An)，故存在整数i(1≤i≤n)，使得x Ai，∴x∈ XAi，得x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)].
设x∈[( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)]，则存在整数j(1≤j≤n)，使得x∈ XAj，故x Aj，
因此x (A1∩A2∩…∩An)，得x∈ X(A1∩A2∩…∩An)，故 X(A1∩A2∩…∩An)＝( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*，n≥2).1.3 练习2　全集、补集
1. 已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A满足 UA＝{0，1，3}，则A等于(　 　)
A. {0，2} B. {－1，2}
C. {－1，0，2} D. {0}
2. (2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩( UB)等于(　 　)
A. {3} B. {1，6}
C. {5，6} D. {1，3}
3. 设全集U＝{x∈N|x≤8}，集合A＝{1， 3， 7}，B＝{2， 3， 8}，则( UA)∩( UB)等于(　 　)
A.{1， 2， 7， 8} B. {4， 5， 6}
C. {0， 4， 5， 6} D. {0， 3， 4， 5， 6}
4. (2024·衢州中学高一)已知集合A＝{x|－2x＜6}， RB＝{x|x＞4}，则A∩B等于(　 　)
A. {x|x＜－3，或x＞4}
B. {x|－3＜x＜4}
C. {x|x＜－3}
D. {x|－3＜x≤4}
5. (2025·浙江阶段练习)设U＝R，已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x＞a}，且( UA)∪B＝R，则实数a的取值范围是(　 　)
A. (－∞，0) B. (－∞，0]
C. [0，＋∞) D. (0，＋∞)
6. (2024·杭州十四中高一检测)已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{－1，1，2，4}，那么下图中阴影部分表示的集合为(　 　)
A. {－1，4} B. {1，2，4}
C. {1，4} D. {－1，2，4}
7. (2025·山东青岛高一检测)已知全集U，集合M，N满足M N U，则下列结论中，正确的是 (　 　)
A. M∪N＝U
B. ( UM)∩( UN) ＝
C. M∩( UN)＝
D. ( UM)∪( UN)＝U
8. (多选)如图所示，U是全集，M，N是U的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为(　 　)
A. ( UM)∩( UN) B. ( UM)∩N
C. M∪( UN) D. N∩ U(M∩N)
9. (多选)(2024·唐山高一期中)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若A为非空集合，且B ( RA)，则a的可能取值为(　 　)
A. 0　 B. 1
C. 2 D.
10. (2024·上海高考)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则 UA＝ 　.
11. 设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，则( UA)∩( UB)＝　 　.
12. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞1，或x＜－2}，B＝{x|a≤x≤2a－1}，若( UA)∩B＝ ，则实数a的取值范围是　 　.
13. (2025·云南昆明高一检测)已知集合A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|x＜1，或x＞5}.
(1)若全集U＝R，求A∩B，( UA)∩B；
(2)若全集U＝A∪B，求A∩( UB).
14. 设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋4x＋a＝0}，B＝{x|x2＋bx－2＝0}.
(1)若集合A中恰有一个元素，求实数a的值；
(2)若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{－3}，求A∪B.
15. 某社区需要招募志愿者进行连续3天的消防安全宣传工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人，则这三天的志愿者总人数最少为　 　.
16. (2024·杭州高一期中) 定义1：通常，我们把一个以集合作为元素的集合称为族.定义2：集合X上的一个拓扑是以X的子集为元素的一个族Γ，它满足以下条件：① 和X在Γ中；②Γ的任意子集的元素的并集在Γ中；③Γ的任意有限子集的元素的交集在Γ中.
(1)若族P＝{ ，X}，族Q＝{x|x X}，判断族P与族Q是否为集合X的拓扑
(2)设有限集X为全集，证明： X(A1∩A2∩…∩An)＝( XA1)∪( XA2)∪…∪( XAn)(n∈N*，n≥2).

展开更多......

收起↑