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(共27张PPT)
四、充分条件与必要条件
练习2　充要条件
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
必 备 知 识 练
1. 设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意得，A∩B＝A A B，反之，A B A∩B＝A，故为充要条件.
C
2. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件.
B
3. (2025·山西大同高一检测)设x，y∈R，“x＝6，且y＝6”是
“x＋y＝12”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
A
【解析】当x＝6，且y＝6时，x＋y＝12，则“x＝6，且y＝6” “x＋y＝12”，另一方面，当x＋y＝12时，可取x＝5，
y＝7，则“x＋y＝12” / “x＝6，且y＝6”，因此，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的充分不必要条件.
4. 已知p：x≤－1，或x≥3，q：x＞5，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由{x|x＞5}是{x|x≤－1，或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件.
B
5. 已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)
A. {m|m≥8}
B. {m|m＞8}
C. {m|m＞－4}
D. {m|m≥－4}
【解析】由4x－m＜0，得x＜；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2. ∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，∴m＞8.
B
6. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一
个负根的充分不必要条件可以是(　　)
A. a＜0 B. a＞0
C. a＜－1 D. a＞1
【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴解得a＜0，∴一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是a＜－1.
C
7. (2025·贵州六盘水高一检测)《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人
也”的 (　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
【解析】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，∴“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件.
8. (多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　 　)
A. A B
B. B A
C. UA UB
D. UA UB
【解析】由A∩B＝A可知A B，反过来A B，则A∩B＝A，对于C来说，实际上也是A B.
AC
9. (多选)下列说法中，p是q的充要条件的有(　 　)
A. p：△ABC有两条边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形
B. p：x，y均为无理数，q：x＋y为无理数
C. p：|a＋b|＝|a|＋|b|，q：ab＞0
D. p：函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，q：a＋b＋c＝0
AD
【解析】对于A，在△ABC中，设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，若p成立，不妨设h1＝h2，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得AB＝AC，即q成立；若q成立，不妨设AB＝AC，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得h1＝h2，即p成立，A满足题意；对于B，当x＝1－，y＝1＋时，x＋y＝1－＋1＋＝2为有理数，此时p成立，q不成立，B不满足题意；对于C，当a＝b＝0时，p成立，q不成立，C不满足题意；对于D，若p成立，则当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，即q成立，当q成立时，显然p成立，D满足题意.
10. 已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝__________.
【解析】由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，∵p是q的充要条件，∴a－1＝－2，即a＝－1.
－1
11. (2025·上海高一检测)(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
【解析】由(a－b)2＋(b－c)2＝0得到即a＝b＝c，当a＝b＝c时，则a－b＝0，b－c＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的充要条件.
充要
12. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空：
(1)a，b都为0的必要条件是__________；
(2)a，b都不为0的充分条件是__________；
(3)a，b至少有一个为0的充要条件是__________.
①②③
④
①
【解析】对于①，ab＝0 a＝0，或b＝0，即a，b至少有一个为0；对于②，a＋b＝0 a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；对于③，a(a2＋b2)＝0 a＝0，b为任意实数；对于④，ab＞0 或即a，b同为正数或同为负数.综上可知，使a，b都为0的必要条件是①②③；使a，b都不为0的充分条件是④；使a，b至少有一个为0的充要条件是①.
关 键 能 力 练
13. 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a＞－1；
(4)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
解：(1)x－3＝0 (x－2)·(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 /x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似 / 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.
(3)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)＞0，且a≠0，得a＞－1，且a≠0，即p q；反之，当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q / p，故p是q的充分不必要条件.
(4)∵A∪B＝A A∩B＝B，∴p是q的充要条件.
14. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab).
证明：先证必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0，∵ab≠0，a2－ab＋b2＝b2＞0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
拓 展 突 破 练
15. 设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，
B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩( UB)的充要条件
是(　　)
A. m＞－1，n＜5
B. m＜－1，n＜5
C. m＞－1，n＞5
D. m＜－1，n＞5
A
【解析】要寻求P∈A∩( UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手. UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，A∩( UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}，①由P∈A∩( UB)可得，∴m＞－1，n＜5，∴m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩( UB)的必要条件.②当m＞－1，n＜5时，由解得即P(2，3)∈A∩( UB)，∴m＞－1，
n＜5是P(2，3)∈A∩( UB)的充分条件.
16. (2024·张家口一中高一检测)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，即此方程组无解，∴不存在实数m，使P是S的充要条件.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S P.
当S＝ 时，1－m＞1＋m，解得m＜0；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，
要使S P，则有解得m≤0，∴m＝0.
综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是m≤0.1.4 练习2　充要条件
1. 设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的(　C　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意得，A∩B＝A A B，反之，A B A∩B＝A，故为充要条件.
2. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件.
3. (2025·山西大同高一检测)设x，y∈R，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的(　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】当x＝6，且y＝6时，x＋y＝12，则“x＝6，且y＝6” “x＋y＝12”，另一方面，当x＋y＝12时，可取x＝5，y＝7，则“x＋y＝12” / “x＝6，且y＝6”，因此，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的充分不必要条件.
4. 已知p：x≤－1，或x≥3，q：x＞5，则p是q的(　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由{x|x＞5}是{x|x≤－1，或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件.
5. 已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　B　)
A. {m|m≥8}
B. {m|m＞8}
C. {m|m＞－4}
D. {m|m≥－4}
【解析】由4x－m＜0，得x＜；由1≤3－x≤4，得－1≤x≤2.∵p是q的一个必要不充分条件，∴＞2，∴m＞8.
6. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是(　C　)
A. a＜0 B. a＞0
C. a＜－1 D. a＞1
【解析】∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，∴解得a＜0，∴一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是a＜－1.
7. (2025·贵州六盘水高一检测)《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的 (　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必，∴“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件.
8. (多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　AC　)
A. A B
B. B A
C. UA UB
D. UA UB
【解析】由A∩B＝A可知A B，反过来A B，则A∩B＝A，对于C来说，实际上也是A B.
9. (多选)下列说法中，p是q的充要条件的有(　AD　)
A. p：△ABC有两条边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形
B. p：x，y均为无理数，q：x＋y为无理数
C. p：|a＋b|＝|a|＋|b|，q：ab＞0
D. p：函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，q：a＋b＋c＝0
【解析】对于A，在△ABC中，设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，若p成立，不妨设h1＝h2，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得AB＝AC，即q成立；若q成立，不妨设AB＝AC，则由S△ABC＝·h1·AB＝·h2·AC，得h1＝h2，即p成立，A满足题意；对于B，当x＝1－，y＝1＋时，x＋y＝1－＋1＋＝2为有理数，此时p成立，q不成立，B不满足题意；对于C，当a＝b＝0时，p成立，q不成立，C不满足题意；对于D，若p成立，则当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，即q成立，当q成立时，显然p成立，D满足题意.
10. 已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝　
－1　.
【解析】由题意得p：x≥－2，q：x≥a－1，∵p是q的充要条件，∴a－1＝－2，即a＝－1.
11. (2025·上海高一检测)(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的　充要　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
【解析】由(a－b)2＋(b－c)2＝0得到即a＝b＝c，当a＝b＝c时，则a－b＝0，b－c＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的充要条件.
12. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空：
(1)a，b都为0的必要条件是　①②③　；
(2)a，b都不为0的充分条件是　④　；
(3)a，b至少有一个为0的充要条件是　①　.
【解析】对于①，ab＝0 a＝0，或b＝0，即a，b至少有一个为0；对于②，a＋b＝0 a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；对于③，a(a2＋b2)＝0 a＝0，b为任意实数；对于④，ab＞0 或即a，b同为正数或同为负数.综上可知，使a，b都为0的必要条件是①②③；使a，b都不为0的充分条件是④；使a，b至少有一个为0的充要条件是①.
13. 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a＞－1；
(4)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
解：(1)x－3＝0 (x－2)·(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 /x－3＝0，故p是q的充分不必要条件.
(2)两个三角形相似 / 两个三角形全等，但两个三角形全等 两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件.
(3)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)＞0，且a≠0，得a＞－1，且a≠0，即p q；反之，当a＝0时，方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q / p，故p是q的充分不必要条件.
(4)∵A∪B＝A A∩B＝B，∴p是q的充要条件.
14. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab).
证明：先证必要性：∵a＋b＝1，∴b＝1－a，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.
再证充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)·(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0，∵ab≠0，a2－ab＋b2＝b2＞0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上所述，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
15. 设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩( UB)的充要条件是(　A　)
A. m＞－1，n＜5
B. m＜－1，n＜5
C. m＞－1，n＞5
D. m＜－1，n＞5
【解析】要寻求P∈A∩( UB)的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手. UB＝{(x，y)|x＋y－n＞0}，A∩( UB)＝{(x，y)|x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}，①由P∈A∩( UB)可得，∴m＞－1，n＜5，∴m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩( UB)的必要条件.②当m＞－1，n＜5时，由解得即P(2，3)∈A∩( UB)，∴m＞－1，n＜5是P(2，3)∈A∩( UB)的充分条件.
16. (2024·张家口一中高一检测)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：(1)要使x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，即此方程组无解，∴不存在实数m，使P是S的充要条件.
(2)要使x∈P是x∈S的必要条件，则S P.
当S＝ 时，1－m＞1＋m，解得m＜0；
当S≠ 时，1－m≤1＋m，解得m≥0，
要使S P，则有解得m≤0，∴m＝0.
综上，存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，m的取值范围是m≤0.1.4 练习2　充要条件
1. 设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A B”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3. (2025·山西大同高一检测)设x，y∈R，“x＝6，且y＝6”是“x＋y＝12”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 已知p：x≤－1，或x≥3，q：x＞5，则p是q的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 已知p：4x－m＜0，q：1≤3－x≤4，若p是q的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≥8}
B. {m|m＞8}
C. {m|m＞－4}
D. {m|m≥－4}
6. 关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件可以是(　 　)
A. a＜0 B. a＞0
C. a＜－1 D. a＞1
7. (2025·贵州六盘水高一检测)《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的 (　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. (多选)设U是全集，A，B是U的两个子集，则“A∩B＝A”的充要条件是(　 　)
A. A B
B. B A
C. UA UB
D. UA UB
9. (多选)下列说法中，p是q的充要条件的有(　 　)
A. p：△ABC有两条边上的高相等，q：△ABC是等腰三角形
B. p：x，y均为无理数，q：x＋y为无理数
C. p：|a＋b|＝|a|＋|b|，q：ab＞0
D. p：函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，0)，q：a＋b＋c＝0
10. 已知命题p：4－x≤6，q：x≥a－1，若p是q的充要条件，则实数a＝　
　.
11. (2025·上海高一检测)(a－b)2＋(b－c)2＝0是a＝b＝c的　 　条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
12. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出满足下列条件的式子，并用序号填空：
(1)a，b都为0的必要条件是　 　；
(2)a，b都不为0的充分条件是　 　；
(3)a，b至少有一个为0的充要条件是　 　.
13. 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答).
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)p：关于x的方程ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a＞－1；
(4)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B.
14. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
注：a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab).
15. 设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩( UB)的充要条件是(　 　)
A. m＞－1，n＜5
B. m＜－1，n＜5
C. m＞－1，n＞5
D. m＜－1，n＞5
16. (2024·张家口一中高一检测)已知P＝{x|1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件 若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

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