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五、全称量词与存在量词
练习2　全称量词命题和存在量词命题的否定
集合与常用逻辑用语
第一章
　高中数学 必修 第一册
必 备 知 识 练
1. (2024·杭州高级中学高一期中) 命题p： x∈N，x3＞x2的否定是(　　)
A. x∈N，x3≤x2 B. x N，x3≤x2
C. x∈N，x3≤x2 D. x∈N，x3＜x2
【解析】∵命题p： x∈N，x3＞x2，∴命题p的否定为“ x∈N，x3≤x2”.
C
2. (2024·河北保定部分高中高一联考) 命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是(　　)
A. 存在x∈Q，使得x＋不是无理数
B. 存在x Q，使得x＋不是无理数
C. 对任意x∈Q，都有x＋是无理数
D. 对任意x∈Q，都有x＋不是无理数
【解析】命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是“对任意x∈Q，都有x＋不是无理数”.
D
3. 设命题p：任意实数的平方都不小于0，则命题p的否定是
(　　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2＜0
C. x∈R，x2＜0 D. x∈R，x2＞0
【解析】命题p：任一实数的平方都不小于0，是全称量词命题，故命题p的否定为存在量词命题，即 x∈R，x2＜0.
C
4. 下列命题中，其否定中为真命题的是 (　　)
A. 有些实数的绝对值不是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个等边三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一个根
【解析】A的否定：所有实数的绝对值都是正数，假命题；B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题；C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.
B
5. (2024·杭州萧山中学高一检测)已知命题p： x＞0，x2＋2x
＋1＝x，则(　　)
A. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1＝x
B. p为假命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
C. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
D. p为假命题，命题p的否定： x≤0，x2＋2x＋1≠x
【解析】对于方程x2＋2x＋1＝x，即x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，∴方程无解，故p为假命题，命题p的否定： x＞0，
x2＋2x＋1≠x.
B
6. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为(　　)
A. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
【解析】根据含有量词的命题的否定的概念可知D正确.
D
7. 已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值
范围是(　　)
A. a＞1 B. a≥1
C. a＜1 D. a≤1
【解析】∵命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，∴ p： x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1，∴a的取值范围是a≥1.
B
8. (多选)关于命题的否定，下列说法中正确的有(　 　)
A. p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D. p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n＞100
【解析】“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：所有的三角形都不是正三角形，C错误.
ABD
9. (多选)命题p： x∈R，使，命题q： x∈(0，
＋∞)，有x2＜x3，则(　 　)
A. p的否定是假命题
B. q的否定是真命题
C. p是存在量词命题
D. q是全称量词命题
BCD
【解析】对于A，由，得方程组无解，即不存在x∈R，使，p是假命题，则p的否定为真命题，A错误；对于B，当x＝时，x2＝，x3＝，此时x2＞x3，即 x∈(0，＋∞)，使x2≥x3，∴命题q是假命题，则q的否定为真命题，B正确；命题p是存在量词命题，命题q是全称量词命题，C，D正确.
10. 命题“对于所有的实数x，都有x2－x＋1＝0”可用符号记
为_____________________，该命题的否定为______________
______________.
x∈R，x2－x＋1＝0
x∈R，x2
－x＋1≠0
11. 命题p是“对某些实数x，有x－a＞0，或x－b≤0，其中a，b是常数”.
(1)命题p的否定是___________________________________；
(2)当a，b满足条件__________时，命题p的否定为真.
【解析】(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0，且x－
b＞0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集为R.通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.
对任意实数x，有x－a≤0，且x－b＞0
b＜a
12. 已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是__________.
【解析】对任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2等价于(x1)min≥(x2)min，得0≥－m，∴m≥.
m≥
关 键 能 力 练
13. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：不论m取任何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等.
解：(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根，其否定形式是 p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根.当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，∴ p是真命题.
(2)这一命题的否定形式是 q：对所有实数x，都有x2＋x＋3＞0.利用配方法可以验证 q是一个真命题.
(3)这一命题的否定形式是 r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识得 r是一个假命题.
14. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1，命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0，若p的否定是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围.
解：∵p的否定是假命题，∴p是真命题，由“ x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1”为真命题，得a≥3.∵q是真命题，∴关于x的方程2x2＋5x＋a＝0有实数根，则Δ＝25－8a≥0，解得a≤.综上，实数a的取值范围是3≤a≤.
拓 展 突 破 练
15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致 __________ (填“是”或“否”)
是
【解析】∵命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，∴两位同学题中的m的范围是一致的.
16. (2024·东营一中高一检测)是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题.∵当x≥－时，x＋1≥，∴－5＜3－4m＜，解得＜m＜2，又m为整数，∴m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题.1.5 练习2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1. (2024·杭州高级中学高一期中) 命题p： x∈N，x3＞x2的否定是(　C　)
A. x∈N，x3≤x2 B. x N，x3≤x2
C. x∈N，x3≤x2 D. x∈N，x3＜x2
【解析】∵命题p： x∈N，x3＞x2，∴命题p的否定为“ x∈N，x3≤x2”.
2. (2024·河北保定部分高中高一联考) 命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是(　D　)
A. 存在x∈Q，使得x＋不是无理数
B. 存在x Q，使得x＋不是无理数
C. 对任意x∈Q，都有x＋是无理数
D. 对任意x∈Q，都有x＋不是无理数
【解析】命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是“对任意x∈Q，都有x＋不是无理数”.
3. 设命题p：任意实数的平方都不小于0，则命题p的否定是(　C　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2＜0
C. x∈R，x2＜0 D. x∈R，x2＞0
【解析】命题p：任一实数的平方都不小于0，是全称量词命题，故命题p的否定为存在量词命题，即 x∈R，x2＜0.
4. 下列命题中，其否定中为真命题的是 (　B　)
A. 有些实数的绝对值不是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个等边三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一个根
【解析】A的否定：所有实数的绝对值都是正数，假命题；B的否定：有些平行四边形是菱形，真命题；C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D的否定：3不是方程x2－9＝0的一个根，假命题.
5. (2024·杭州萧山中学高一检测)已知命题p： x＞0，x2＋2x＋1＝x，则(　B　)
A. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1＝x
B. p为假命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
C. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
D. p为假命题，命题p的否定： x≤0，x2＋2x＋1≠x
【解析】对于方程x2＋2x＋1＝x，即x2＋x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，∴方程无解，故p为假命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x.
6. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为(　D　)
A. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
【解析】根据含有量词的命题的否定的概念可知D正确.
7. 已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　B　)
A. a＞1 B. a≥1
C. a＜1 D. a≤1
【解析】∵命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，∴ p： x＞0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，∴1－a≤0，即a≥1，∴a的取值范围是a≥1.
8. (多选)关于命题的否定，下列说法中正确的有(　ABD　)
A. p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D. p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n＞100
【解析】“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：所有的三角形都不是正三角形，C错误.
9. (多选)命题p： x∈R，使，命题q： x∈(0，＋∞)，有x2＜x3，则(　BCD　)
A. p的否定是假命题
B. q的否定是真命题
C. p是存在量词命题
D. q是全称量词命题
【解析】对于A，由，得方程组无解，即不存在x∈R，使，p是假命题，则p的否定为真命题，A错误；对于B，当
x＝时，x2＝，x3＝，此时x2＞x3，即 x∈(0，＋∞)，使x2≥x3，∴命题q是假命题，则q的否定为真命题，B正确；命题p是存在量词命题，命题q是全称量词命题，C，D正确.
10. 命题“对于所有的实数x，都有x2－x＋1＝0”可用符号记为　 x∈R，x2－x＋1＝0　，该命题的否定为　 x∈R，x2－x＋1≠0　.
11. 命题p是“对某些实数x，有x－a＞0，或x－b≤0，其中a，b是常数”.
(1)命题p的否定是　对任意实数x，有x－a≤0，且x－b＞0　；
(2)当a，b满足条件　b＜a　时，命题p的否定为真.
【解析】(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0，且x－b＞0.
(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集为R.通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b＜a.
12. 已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是　m≥　.
【解析】对任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2等价于(x1)min≥(x2)min，得0≥－m，∴m≥.
13. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：不论m取任何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等.
解：(1)这一命题可以表述为p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根，其否定形式是 p：存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根.当Δ＝1＋4m＜0，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，∴ p是真命题.
(2)这一命题的否定形式是 q：对所有实数x，都有x2＋x＋3＞0.利用配方法可以验证 q是一个真命题.
(3)这一命题的否定形式是 r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识得 r是一个假命题.
14. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1，命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0，若p的否定是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围.
解：∵p的否定是假命题，∴p是真命题，由“ x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1”为真命题，得a≥3.∵q是真命题，∴关于x的方程2x2＋5x＋a＝0有实数根，则Δ＝25－8a≥0，解得a≤.综上，实数a的取值范围是3≤a≤.
15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致 　是　(填“是”或“否”)
【解析】∵命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”，而命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”为真命题，∴两位同学题中的m的范围是一致的.
16. (2024·东营一中高一检测)是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题.
∵当x≥－时，x＋1≥，∴－5＜3－4m＜，解得＜m＜2，又m为整数，
∴m＝1，故存在整数m＝1，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是
真命题.1.5 练习2　全称量词命题和存在量词命题的否定
1. (2024·杭州高级中学高一期中) 命题p： x∈N，x3＞x2的否定是(　 　)
A. x∈N，x3≤x2 B. x N，x3≤x2
C. x∈N，x3≤x2 D. x∈N，x3＜x2
2. (2024·河北保定部分高中高一联考) 命题“存在x∈Q，使得x＋是无理数”的否定是(　 　)
A. 存在x∈Q，使得x＋不是无理数
B. 存在x Q，使得x＋不是无理数
C. 对任意x∈Q，都有x＋是无理数
D. 对任意x∈Q，都有x＋不是无理数
3. 设命题p：任意实数的平方都不小于0，则命题p的否定是(　 　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2＜0
C. x∈R，x2＜0 D. x∈R，x2＞0
4. 下列命题中，其否定中为真命题的是 (　 　)
A. 有些实数的绝对值不是正数
B. 所有平行四边形都不是菱形
C. 任意两个等边三角形都是相似的
D. 3是方程x2－9＝0的一个根
5. (2024·杭州萧山中学高一检测)已知命题p： x＞0，x2＋2x＋1＝x，则(　 　)
A. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1＝x
B. p为假命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
C. p为真命题，命题p的否定： x＞0，x2＋2x＋1≠x
D. p为假命题，命题p的否定： x≤0，x2＋2x＋1≠x
6. 命题“ x∈R， n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为(　 　)
A. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
B. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
C. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
D. x∈R， n∈N*，使得n＜x2
7. 已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是(　 　)
A. a＞1 B. a≥1
C. a＜1 D. a≤1
8. (多选)关于命题的否定，下列说法中正确的有(　 　)
A. p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数
B. p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形
C. p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形
D. p： n∈N，2n≤100；p的否定： n∈N，2n＞100
9. (多选)命题p： x∈R，使，命题q： x∈(0，＋∞)，有x2＜x3，则(　 　)
A. p的否定是假命题
B. q的否定是真命题
C. p是存在量词命题
D. q是全称量词命题
10. 命题“对于所有的实数x，都有x2－x＋1＝0”可用符号记为　 　，该命题的否定为　 　.
11. 命题p是“对某些实数x，有x－a＞0，或x－b≤0，其中a，b是常数”.
(1)命题p的否定是　 　；
(2)当a，b满足条件　 　时，命题p的否定为真.
12. 已知任意0≤x1≤3，存在－m≤x2≤2，使得x1≥x2，则实数m的取值范围是　 　.
13. 写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：不论m取任何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋3≤0；
(3)r：等圆的面积相等，周长相等.
14. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1，命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0，若p的否定是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围.
15. 立德中学开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“ x∈R，x2＋2x＋m＞0”是真命题，求m的范围.你认为，两位同学题中m的范围是否一致 　 　(填“是”或“否”)
16. (2024·东营一中高一检测)是否存在整数m，使得命题“ x≥－，－5＜3－4m＜x＋1”是真命题 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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