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2.1 练习1　不等关系与不等式
1. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　B　)
A. v≤120(km/h)，或d≥10(m)
B.
C. v≤120(km/h)
D. d≥10(m)
【解析】最大限速与车间距是同时满足的，B正确.
2. 若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　A　)
A. m＞n
B. m≥n
C. m＜n
D. m≤n
【解析】m－n＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，因此
m＞n.
3. 已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)·(a＋3)，则(　B　)
A. M＞N
B. M≥N
C. M＜N
D. M≤N
【解析】M－N＝2a(a＋1)－(a＋1)(a＋3)＝(a＋1)(a－3)，∵a≥3，∴a＋1＞0，a－3≥0，∴(a＋1)(a－3)≥0，∴M≥N.
4. (2024·贵州遵义高一期中) 持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h，设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则x应满足的不等式为(　D　)
A. ＞1 B. ＜1
C. ＞1 D. ＜1
【解析】由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即＜1.
5. 开山爆破时，已知导火线燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外(含150 m)为安全区.为使导火线燃尽时人能够跑到安全区，导火线的长度x(单位：cm)应满足的不等式为(　D　)
A. 4×＜150
B. 4×＞150
C. 4×≤150
D. 4×≥150
【解析】由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人在此时间内跑的路程为 m，则应满足的不等式为4×≥150.
6. 在一次聚会上，四位好朋友按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口杯，如图所示，盛满饮料后他们约定：先各自饮杯中饮料的一半，设剩余饮料的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系是 (　A　)
A. h2＞h1＞h4
B. h1＞h2＞h3
C. h3＞h2＞h4
D. h2＞h4＞h1
【解析】根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4.
7. 若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　B　)
A. p＜q B. p≤q
C. p＞q D. p≥q
【解析】根据题意，得p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)·.∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－
q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q.
8. (多选)下面列出的几种不等关系中，正确的有(　BCD　)
A. x与2的和是非负数，该语句可表示为“x＋2＞0”
B. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则上述不等关系可表示为“a＋b＞c，b＋c＞a，且a＋c＞b”
C. 若某天的气温为t，最低气温为7 ℃，最高气温为13 ℃，则这天的气温范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”
D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人的工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000”
【解析】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元，又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤
20 000，D正确.
9. (多选)下列不等式中，恒成立的有(　ACD　)
A. a2＋3＞2a
B. x2＋y2＞xy
C. a2＋b2≥2(a－b－1)
D. a2＋b2≥2ab
【解析】对于A，∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2＞0，∴a2＋3＞2a，A恒成立；对于B，∵x2＋y2－xy＝y2≥0，∴x2＋y2≥xy，B不恒成立；对于C，
∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C恒成立；对于D，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D恒成立.
10. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　8(x＋19)＞2 200　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 ＞9　.
【解析】由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.
11. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为 　.
【解析】由题意可知另一段绳子的长度为(5－x)m.∵两段绳子的长度之差不小于1 m，∴即
12. 若a＜0，－1＜b＜0，则将ab，ab2，a按大小顺序排列为　ab＞ab2＞a　(用“＞”连接).
【解析】∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，1－b＞0，b－1＜0，b＋1＞0，∴ab－ab2＝ab(1－b)＞0，即ab＞ab2，ab2－a＝a(b2－1)＝a(b＋1)(b－1)＞0，即ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.
13. 已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立.
证明：(a2＋b2)2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－2a2b2＝(a2－b2)2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号.又a＞0，b＞0，∴(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立.
14. 有学生若干个，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间住不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得
解得＜x＜.
∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
15. 手机的屏幕的面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机的“屏占比”和升级前比(　C　)
A. 不变 B. 变小
C. 变大 D. 变化不确定
【解析】设原来手机的屏幕面积为b，整机面积为a，则“屏占比”为(a＞b)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加的相同数量为m(m＞0)，则升级后手机的“屏占比”为.∵＞0，∴该手机的“屏占比”和升级前比变大.
16. 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 (a2＋b2)＞ab　.
图1　　 图2
【解析】由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab.(共22张PPT)
一、等式性质与不等式性质
练习1　不等关系与不等式
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
必 备 知 识 练
1. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为
(　　)
A. v≤120(km/h)，或d≥10(m)
B.
C. v≤120(km/h)
D. d≥10(m)
【解析】最大限速与车间距是同时满足的，B正确.
B
2. 若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是
(　　)
A. m＞n
B. m≥n
C. m＜n
D. m≤n
【解析】m－n＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，因此m＞n.
A
3. 已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)·(a＋3)，则(　　)
A. M＞N
B. M≥N
C. M＜N
D. M≤N
【解析】M－N＝2a(a＋1)－(a＋1)(a＋3)＝(a＋1)(a－3)，∵a≥3，∴a＋1＞0，a－3≥0，∴(a＋1)(a－3)≥0，∴M≥N.
B
4. (2024·贵州遵义高一期中) 持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h，设需用摩托车运送的路段的平均速度为
x km/h，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则x应满足的不等式为(　　)
A. ＞1 B. ＜1
C. ＞1 D. ＜1
【解析】由题意，汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即＜1.
D
5. 开山爆破时，已知导火线燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开
的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外(含150 m)为安全区.为
使导火线燃尽时人能够跑到安全区，导火线的长度x(单位：cm)
应满足的不等式为(　　)
A. 4×＜150 B. 4×＞150
C. 4×≤150 D. 4×≥150
【解析】由题意知，导火索从点燃到燃尽所需时间为 s，人
在此时间内跑的路程为 m，则应满足的不等式为
4×≥150.
D
6. 在一次聚会上，四位好朋友按照各自的喜好选择了形状不同、
内空高度相等、杯口半径相等的圆口杯，如图所示，盛满饮料
后他们约定：先各自饮杯中饮料的一半，设剩余饮料的高度从
左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系是 (　　)
A. h2＞h1＞h4
B. h1＞h2＞h3
C. h3＞h2＞h4
D. h2＞h4＞h1
【解析】根据四个杯的形状分析易知h2＞h1＞h4，或h2＞h3＞h4.
A
7. 若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A. p＜q B. p≤q
C. p＞q D. p≥q
【解析】根据题意，得p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)·.∵a＜0，
b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q.
B
8. (多选)下面列出的几种不等关系中，正确的有(　 　)
A. x与2的和是非负数，该语句可表示为“x＋2＞0”
B. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则上述不等关系可表示为“a＋b＞c，b＋c＞a，且a＋c＞b”
C. 若某天的气温为t，最低气温为7 ℃，最高气温为13 ℃，则这天的气温范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”
D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人的工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000”
BCD
【解析】对于A，x与2的和是非负数，应表示为“x＋2≥0”，A错误；对于B，根据三角形的性质，两边之和大于第三边，B正确；对于C，最低温度为7 ℃，最高温度为13 ℃，则这天的温度范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”，C正确；对于D，请木工共需支付400x元，请瓦工共需支付500y元，可得共需支付工资(400x＋500y)元，又工人工资预算不超过20 000元，故400x＋500y≤20 000，D正确.
9. (多选)下列不等式中，恒成立的有(　 　)
A. a2＋3＞2a B. x2＋y2＞xy
C. a2＋b2≥2(a－b－1) D. a2＋b2≥2ab
【解析】对于A，∵a2＋3－2a＝(a－1)2＋2＞0，∴a2＋3＞2a，A恒成立；对于B，∵x2＋y2－xy＝y2≥0，∴x2＋y2≥xy，B不恒成立；对于C，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，C恒成立；对于D，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，D恒成立.
ACD
10. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为________________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用
不等式表示为______________.
【解析】由题意知，汽车原来每天行驶x km，8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞9.
8(x＋19)＞2 200
＞9
11. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为
_______________.
【解析】由题意可知另一段绳子的长度为(5－x)m.∵两段绳子的长度之差不小于1 m，∴即
12. 若a＜0，－1＜b＜0，则将ab，ab2，a按大小顺序排列为_______________(用“＞”连接).
【解析】∵a＜0，－1＜b＜0，∴ab＞0，1－b＞0，b－1＜0，
b＋1＞0，∴ab－ab2＝ab(1－b)＞0，即ab＞ab2，ab2－a＝
a(b2－1)＝a(b＋1)(b－1)＞0，即ab2＞a，∴ab＞ab2＞a.
ab＞ab2＞a
关 键 能 力 练
13. 已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立.
证明：(a2＋b2)2－4a2b2＝a4＋b4＋2a2b2－4a2b2＝a4＋b4－
2a2b2＝(a2－b2)2≥0，当且仅当a2＝b2时取等号.又a＞0，b＞0，∴(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立.
14. 有学生若干个，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间住不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
解：设宿舍有x间，则学生有(4x＋19)人，依题意，得解得＜x＜.
∵x∈N*，∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67，故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
拓 展 突 破 练
15. 手机的屏幕的面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机的“屏占比”和升级
前比(　　)
A. 不变 B. 变小
C. 变大 D. 变化不确定
C
【解析】设原来手机的屏幕面积为b，整机面积为a，则“屏占比”为(a＞b)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加的相同数量为m(m＞0)，则升级后手机的“屏占比”为.∵
＞0，∴该手机的“屏占比”和升级前比变大.
16. 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为
_________________.
(a2＋b2)＞ab
图1　
图2　
【解析】由题图可知，题图1广告牌的面积S1＝(a2＋b2)，题图2广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即(a2＋b2)＞ab.2.1 练习1　不等关系与不等式
1. 某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　 　)
A. v≤120(km/h)，或d≥10(m)
B.
C. v≤120(km/h)
D. d≥10(m)
2. 若m＝3x2－x＋1，n＝2x2＋x－1，则m与n的大小关系是(　 　)
A. m＞n
B. m≥n
C. m＜n
D. m≤n
3. 已知a≥3，设M＝2a(a＋1)，N＝(a＋1)·(a＋3)，则(　 　)
A. M＞N
B. M≥N
C. M＜N
D. M≤N
4. (2024·贵州遵义高一期中) 持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线.从物资集散地到灭火前线的路程为40 km，其中靠近灭火前线5 km的山路崎岖，需用摩托车运送，其他路段可用汽车运送.已知可用汽车运送的路段的平均速度为60 km/h，设需用摩托车运送的路段的平均速度为x km/h，为使物资能在1小时内运送到灭火前线，则x应满足的不等式为(　 　)
A. ＞1 B. ＜1
C. ＞1 D. ＜1
5. 开山爆破时，已知导火线燃烧的速度为每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，距爆破点150 m以外(含150 m)为安全区.为使导火线燃尽时人能够跑到安全区，导火线的长度x(单位：cm)应满足的不等式为(　 　)
A. 4×＜150
B. 4×＞150
C. 4×≤150
D. 4×≥150
6. 在一次聚会上，四位好朋友按照各自的喜好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口杯，如图所示，盛满饮料后他们约定：先各自饮杯中饮料的一半，设剩余饮料的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系是 (　 　)
A. h2＞h1＞h4
B. h1＞h2＞h3
C. h3＞h2＞h4
D. h2＞h4＞h1
7. 若a＜0，b＜0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为(　 　)
A. p＜q B. p≤q
C. p＞q D. p≥q
8. (多选)下面列出的几种不等关系中，正确的有(　 　)
A. x与2的和是非负数，该语句可表示为“x＋2＞0”
B. △ABC的两边之和大于第三边，记三边分别为a，b，c，则上述不等关系可表示为“a＋b＞c，b＋c＞a，且a＋c＞b”
C. 若某天的气温为t，最低气温为7 ℃，最高气温为13 ℃，则这天的气温范围可表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”
D. 完成一项装修工程，请木工需支付工资每人400元，请瓦工需支付工资每人500元，要求工人的工资预算不超过20 000元.设木工x人，瓦工y人，则上述问题用不等关系可表示为“400x＋500y≤20 000”
9. (多选)下列不等式中，恒成立的有(　 　)
A. a2＋3＞2a
B. x2＋y2＞xy
C. a2＋b2≥2(a－b－1)
D. a2＋b2≥2ab
10. 一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么8天内它的行程就超过2 200 km，用不等式表示为　 　；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为 　.
11. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为 　.
12. 若a＜0，－1＜b＜0，则将ab，ab2，a按大小顺序排列为　 　(用“＞”连接).
13. 已知a＞0，b＞0，求证：(a2＋b2)2≥4a2b2，当且仅当a＝b时，等号成立.
14. 有学生若干个，住若干间宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间住不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
15. 手机的屏幕的面积与整机面积的比值叫做手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在0~1之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机的“屏占比”和升级前比(　 　)
A. 不变 B. 变小
C. 变大 D. 变化不确定
16. 如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 　.
图1　　 图2

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