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2.2 练习1　利用基本不等式求最值
1. 不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　D　)
A. a＝4 B. a＝
C. a＝－ D. a＝±
【解析】该不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±.
2. 已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值是(　C　)
A. 3 B. 2
C. 2 D. 1
【解析】由于x＞0，y＞0，xy＝3，∴x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，∴x＋y的最小值为2.
3. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　D　)
A. 3 B. 3－2
C. －1 D. 3－2
【解析】∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，则3－3x－≤3－2.
4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值是(　C　)
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
【解析】(a＋b)＝4＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当 ，即a＝2b时，等号成立，∴的最小值是9.
5. 若a，b都是正数，则的最小值是(　C　)
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
【解析】∵a，b都是正数，∴＝5＋≥5＋2＝9(当且仅当b＝2a时，等号成立).
6. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值是(　B　)
A. 16 B. 9
C. 4 D. 36
【解析】(1＋x)(1＋2y)≤＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立.
7. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值是(　C　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
【解析】实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时，等号成立.
8. (多选)下列结论中，正确的有(　BC　)
A. x＋≥2
B. ≥2
C. ≤x2＋y2
D. 若x＜0，y＜0，则≤－2
【解析】对于A，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，同理当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝－时取等号，∴A错误；对于B，＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，∴B正确；对于C，∵－(x2＋y2)＝－(x－y)2≤0，∴≤x2＋y2，∴C正确；对于D，当x＜0，y＜0时，＞0，＞0，∴≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，∴D错误.
9. (多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中，恒成立的有(　ACD　)
A. ab≤1 B. ≤
C. a2＋b2≥2 D. ≥2
【解析】∵ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴A正确；
∵()2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴B错误；a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴C正确；，∵ab≤1，∴≥2，∴D正确.
10. (2024·河北保定部分高中高一联考) 已知a＞0，b＞0，若ab＝1，则9a＋b的最小值是　6　.
【解析】∵a＞0，b＞0且ab＝1，∴9a＋b≥2＝6，当且仅当9a＝b＝3时，等号成立.
11. 已知4x2＋y2－3xy－1＝0，则xy的最大值是　1　.
【解析】由题意0＝4x2＋y2－3xy－1≥4xy－3xy－1，当且仅当2x＝y＝±时取等号，故xy≤1，∴xy的最大值为1.
12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝的最大值是　2　.
【解析】令W＝，∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立，∴W≤2，即W的最大值为2.
13. 已知正数a，b满足a＋b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求的最小值.
解：(1)∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴由基本不等式得a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，即1≥2，∴ab≤.∵a，b是正数，∴ab＞0，∴ab的取值范围是0＜ab≤.
(2)∵正数a，b满足a＋b＝1，∴(a＋b)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，∴的最小值为18.
14. (2024·潍坊一中高一检测)已知a，b，c均为正数，证明：≥3.
证明：左边＝－1＋－1＋－1＝－3.∵a，b，c为正数，∴≥2(当且仅当a＝b时取等号)，≥2(当且仅当a＝c时取等号)，≥2(当且仅当b＝c时取等号).
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)，
∴－3≥3，即≥3.
15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于4，当这个直角三角形的周长取最大值时，其面积为　8　.
【解析】设该直角三角形的斜边为c＝4，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝32，∵2ab≤a2＋b2，∴a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤64，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝32，即a＝b＝4时，等号成立.∵a＞0，b＞0，∴a＋b≤8，∴a＋b的最大值为8，该直角三角形周长a＋b＋c≤8＋4，故这个直角三角形周长取最大值8＋4时，a＝b＝4，此时三角形的面积为×4×4＝8.
16. 是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＝1(x＞0，y＞0)，且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：∵＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋≥a＋b＋2＝()2，又x＋y的最小值为18，∴()2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8，或a＝8，b＝2满足条件.(共23张PPT)
二、基本不等式
练习1　利用基本不等式求最值
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
必 备 知 识 练
1. 不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)
A. a＝4 B. a＝
C. a＝－ D. a＝±
【解析】该不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±.
D
2. 已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值是(　　)
A. 3 B. 2
C. 2 D. 1
【解析】由于x＞0，y＞0，xy＝3，∴x＋y≥2＝2，当且仅当x＝y＝时，等号成立，∴x＋y的最小值为2.
C
3. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　)
A. 3 B. 3－2
C. －1 D. 3－2
【解析】∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，∴－≤－2，则3－3x－≤3－2.
D
4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值是(　　)
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
【解析】(a＋b)＝4＋＋1≥5＋2＝9，当且仅当 ，即a＝2b时，等号成立，∴的最小值是9.
C
5. 若a，b都是正数，则的最小值是(　　)
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
【解析】∵a，b都是正数，∴＝5＋≥
5＋2＝9(当且仅当b＝2a时，等号成立).
C
6. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值
是(　　)
A. 16 B. 9
C. 4 D. 36
【解析】(1＋x)(1＋2y)≤＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立.
B
7. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值是(　　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
【解析】实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时，等号成立.
C
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A. x＋≥2
B. ≥2
C. ≤x2＋y2
D. 若x＜0，y＜0，则≤－2
BC
【解析】对于A，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当
x＝时取等号，同理当x＜0时，x＋≤－2，当且仅当x＝
－时取等号，∴A错误；对于B，＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，∴B正确；对于C，∵－(x2＋y2)＝－(x－y)2≤0，∴≤x2＋y2，∴C正确；对于D，当x＜0，y＜0时，＞0，＞0，∴≥2，当且仅当x＝y时，等号成立，∴D错误.
9. (多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中，恒成立的
有(　 　)
A. ab≤1 B. ≤
C. a2＋b2≥2 D. ≥2
【解析】∵ab≤＝1，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴A正确；∵()2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴B错误；a2＋b2≥＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴C正确；，∵ab≤1，∴≥2，∴D正确.
ACD
10. (2024·河北保定部分高中高一联考) 已知a＞0，b＞0，若
ab＝1，则9a＋b的最小值是__________.
【解析】∵a＞0，b＞0且ab＝1，∴9a＋b≥2＝6，当且仅当9a＝b＝3时，等号成立.
6
11. 已知4x2＋y2－3xy－1＝0，则xy的最大值是__________.
【解析】由题意0＝4x2＋y2－3xy－1≥4xy－3xy－1，当且仅当2x＝y＝±时取等号，故xy≤1，∴xy的最大值为1.
1
12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝的最大值是__________.
【解析】令W＝，∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立，∴W≤2，即W的最大值为2.
2
关 键 能 力 练
13. 已知正数a，b满足a＋b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求的最小值.
解：(1)∵a，b是正数，且a＋b＝1，∴由基本不等式得a＋b≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，即1≥2，∴ab≤.∵a，b是正数，∴ab＞0，∴ab的取值范围是0＜ab≤.
(2)∵正数a，b满足a＋b＝1，∴(a＋b)＝10＋≥10＋2＝18，当且仅当，即a＝，b＝时取等号，∴的最小值为18.
14. (2024·潍坊一中高一检测)已知a，b，c均为正数，证明：≥3.
证明：左边＝－1＋－1＋－1＝－3.∵a，b，c为正数，∴≥2(当且仅当
a＝b时取等号)，≥2(当且仅当a＝c时取等号)，≥2(当且仅当b＝c时取等号).
从而≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)，
∴－3≥3，即≥3.
拓 展 突 破 练
15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于4，当这个直角三角形的周长取最
大值时，其面积为__________.
8
【解析】设该直角三角形的斜边为c＝4，直角边为a，b，则a2＋b2＝c2＝32，∵2ab≤a2＋b2，∴a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，即(a＋b)2≤64，当且仅当a＝b，且a2＋b2＝32，即a＝b＝4时，等号成立.∵a＞0，b＞0，∴a＋b≤8，∴a＋b的最大值为8，该直角三角形周长a＋b＋c≤8＋4，故这个直角三角形周长取最大值8＋4时，a＝b＝4，此时三角形的面积为×4×4＝8.
16. 是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＝1(x＞0，y＞0)，且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.
解：∵＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋≥a＋
b＋2＝()2，又x＋y的最小值为18，∴()2＝18.
由得或
故存在实数a＝2，b＝8，或a＝8，b＝2满足条件.2.2 练习1　利用基本不等式求最值
1. 不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　 　)
A. a＝4 B. a＝
C. a＝－ D. a＝±
2. 已知x＞0，y＞0，若xy＝3，则x＋y的最小值是(　 　)
A. 3 B. 2
C. 2 D. 1
3. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　 　)
A. 3 B. 3－2
C. －1 D. 3－2
4. 若正实数a，b满足a＋b＝1，则的最小值是(　 　)
A. 6 B. 8
C. 9 D. 10
5. 若a，b都是正数，则的最小值是(　 　)
A. 5 B. 7
C. 9 D. 13
6. 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则(1＋x)·(1＋2y)的最大值是(　 　)
A. 16 B. 9
C. 4 D. 36
7. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值是(　 　)
A. 8 B. 6
C. 4 D. 2
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A. x＋≥2
B. ≥2
C. ≤x2＋y2
D. 若x＜0，y＜0，则≤－2
9. (多选)若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式中，恒成立的有(　 　)
A. ab≤1 B. ≤
C. a2＋b2≥2 D. ≥2
10. (2024·河北保定部分高中高一联考) 已知a＞0，b＞0，若ab＝1，则9a＋b的最小值是　 　.
11. 已知4x2＋y2－3xy－1＝0，则xy的最大值是　 　.
12. 已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝的最大值是　 　.
13. 已知正数a，b满足a＋b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求的最小值.
14. (2024·潍坊一中高一检测)已知a，b，c均为正数，证明：≥3.
15. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高.根据记载，商高曾经和周公讨论过这个定理的有关问题.如果一个直角三角形的斜边长等于4，当这个直角三角形的周长取最大值时，其面积为　 　.
16. 是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＝1(x＞0，y＞0)，且x＋y的最小值为18.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.

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