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三、二次函数与一元二次方程、不等式
练习1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
必 备 知 识 练
1. 下列四个不等式中，解集为R的是(　　)
A. －x2＋x＋1≥0
B. x2－2x＋5＞0
C. x2＋6x＋10＞0
D. 2x2－3x＋4＜0
【解析】利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴该不等式的解集为R，其它可类似判断.
C
2. (2024·福建厦门高一期中) 不等式(x－1)·(x＋3)＞0的解集
为(　　)
A. {x|x＜－1，或x＞3}
B. {x|－3＜x＜1}
C. {x|x＞1，或x＜－3}
D. {x|－1＜x＜3}
【解析】解(x－1)(x＋3)＝0可得x＝－3，或x＝1，∴不等式
(x－1)(x＋3)＞0的解集为{x|x＞1，或x＜－3}.
C
3. 若a＞2，则关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0的解集为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由ax2－(2＋a)x＋2＞0，得(x－1)·(ax－2)＞0.∵a＞2，∴0＜＜1，∴原不等式的解集为 .
A
4. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a等于(　　)
A. 　 B.
C. D.
【解析】由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则
x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，可得a＝.
A
5. 若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，则k的取值
范围是(　　)
A. k＞ B. k＜，且k≠0
C. k≤，且k≠0 D. k＜
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0，且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤，且k≠0.
C
6. 若m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集为
(　　)
A. {x|x＜－n，或x＞m}
B. {x|－n＜x＜m}
C. {x|x＜－m，或x＞n}
D. {x|－m＜x＜n}
【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象得不等式的解集是{x|－n＜x＜m}.
B
7. 在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－
2)＜0的实数x的取值范围是(　　)
A. {x|0＜x＜2} B. {x|－2＜x＜1}
C. {x|x＜－2，或x＞1} D. {x|－1＜x＜2}
【解析】根据给出的定义得，x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－
2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x☉(x－2)＜0，则(x＋2)(x－
1)＜0，故不等式的解集是{x|－2＜x＜1}.
B
8. (多选)(2024·杭州重点中学高一期中) 已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则(　 　)
A. a＜0
B. c＜0
C. a＋b＋c＝0
D. a－b＋2c＞0
ACD
【解析】不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，故a＜0，且即对于A，a＜0，A正确；对于B， c＝－2a＞0，B错误；对于C，a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，C正确；对于D，a－b＋2c＝a－a＋2(－2a)＝－4a＞0，D正确.
9. (多选)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)·x－8＞0，则下列说法
中，正确的有(　 　)
A. 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}
B. 当a＞0时，不等式的解集为
C. 当a＝－时，不等式的解集为R
D. 当a＝－1时，不等式的解集为{x|2＜x＜4}
ABD
【解析】不等式ax2＋(2－4a)x－8＞0可化为(ax＋2)·(x－4)＞0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}，A正确；当a＞0时，不等式的解集为，B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8＜0，又Δ＝(－4)2－4××8＝0，∴不等式的解集为空集，C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8＜0，可得不等式的解集为{x|2＜x＜4}，D正确.
10. 不等式(x－1)2＜x＋5的解集为_______________.
【解析】原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)·(x－4)＜0，其解集为{x|－1＜x＜4}.
{x|－1＜x＜4}
11. 已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围是_______________.
【解析】由题意得，二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4的图象开口向上，又一个零点大于2，一个零点小于2，∴22＋2k＋k2＋k－4＜0，整理得k2＋3k＜0，解得－3＜k＜0，∴实数k的取值范围是{k|－3＜k＜0}.
{k|－3＜k＜0}
12. 已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集
为，则m的取值范围是_____________.
【解析】由题意知m＜0，∵不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m|m＜0}.
{m|m＜0}
关 键 能 力 练
13. 解下列不等式：
(1)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)；
(2)0≤x2－2x－3＜5.
解：(1)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
(2)由x2－2x－3≥0得x≤－1，或x≥3；由x2－2x－3＜5得
－2＜x＜4，∴－2＜x≤－1，或3≤x＜4，∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1，或3≤x＜4}.
14. (2024·河北唐山十县一中联盟高一期中)已知关于x的不等式kx2＋(k－2)x－2＜0.
(1)当k＝3时，求不等式的解集；
(2)当k＜0时，求不等式的解集.
解：(1)当k＝3时，不等式可化为3x2＋x－2＜0，即(x＋1)·(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，∴原不等式的解集为.
(2)不等式可化为(kx－2)(x＋1)＜0，∵k＜0，∴有(x＋
1)＞0，①当＝－1，即k＝－2时，不等式为(x＋1)2＞0，解得x≠－1；
②当＞－1，即k＜－2时，解得x＜－1，或x＞；
③当＜－1，即－2＜k＜0时，解得x＜，或x＞－1.
综上，当k＜－2时，不等式的解集为；当k＝－2时，不等式的解集为{x|x≠－1}；当－2＜k＜0时，不等式的解集为.
拓 展 突 破 练
15. (多选)若关于x的不等式x2＋(a－2)·x－2a＜0的解集中恰有两个整数，则a的值可能为(　　)
A. 　 B.
C. 0 D. 1
【解析】不等式x2＋(a－2)x－2a＜0 (x＋a)(x－2)＜0，显然a≠－2，当a＜－2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜－a}，由于解集中恰有两个整数，则4＜－a≤5，解得－5≤a＜－4；当a＞－2时，原不等式的解集为{x|－a＜x＜2}，由于解集中恰有两个整数，则－1≤－a＜0，解得0＜a≤1，因此a的取值范围是－5≤a＜－4，或0＜a≤1，显然A，C不可能，B，D可能.
BD
16. (2024·北京十一学校高一期中) 解关于x的不等式x2－2tx＋
1＞0.
解：Δ＝4t2－4＝4(t2－1)＝4(t－1)(t＋1)，当Δ＜0，即－1＜t＜1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为R；当Δ＝0时，t＝1，或t＝－1，当t＝1时，不等式即为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，可得x≠1，当t＝－1时，不等式即为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＞0，可得x≠－1；当Δ＞0，即t＜－1，或t＞1时，方程x2－2tx＋1＝0有两根x1＝t－，或x2＝t＋，此时不等式x2－2tx＋1＞0的解为x＜t－，或x＞t＋.
综上所述，当－1＜t＜1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为R；当t＝1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为{x|x≠1}；当t＝－1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为{x|x≠－1}；当t＜－1，或t＞1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为{x|x＜t－，或x＞t＋}.2.3 练习1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
1. 下列四个不等式中，解集为R的是(　C　)
A. －x2＋x＋1≥0
B. x2－2x＋5＞0
C. x2＋6x＋10＞0
D. 2x2－3x＋4＜0
【解析】利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴该不等式的解集为R，其它可类似判断.
2. (2024·福建厦门高一期中) 不等式(x－1)·(x＋3)＞0的解集为(　C　)
A. {x|x＜－1，或x＞3}
B. {x|－3＜x＜1}
C. {x|x＞1，或x＜－3}
D. {x|－1＜x＜3}
【解析】解(x－1)(x＋3)＝0可得x＝－3，或x＝1，∴不等式(x－1)(x＋3)＞0的解集为{x|x＞1，或x＜－3}.
3. 若a＞2，则关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0的解集为(　A　)
A.
B.
C.
D.
【解析】由ax2－(2＋a)x＋2＞0，得(x－1)·(ax－2)＞0.∵a＞2，∴0＜＜1，
∴原不等式的解集为 .
4. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a等于(　A　)
A. 　 B.
C. D.
【解析】由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，
x1x2＝－8a2.由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，
可得a＝.
5. 若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　C　)
A. k＞
B. k＜，且k≠0
C. k≤，且k≠0
D. k＜
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，∴k≠0，
且Δ＝(－1)2－4k≥0，解得k≤，且k≠0.
6. 若m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集为(　B　)
A. {x|x＜－n，或x＞m}
B. {x|－n＜x＜m}
C. {x|x＜－m，或x＞n}
D. {x|－m＜x＜n}
【解析】方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，∵m＋n＞0，∴m＞－n.结合函数y＝(m－x)·(n＋x)的图象得不等式的解集是{x|－n＜x＜m}.
7. 在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围是(　B　)
A. {x|0＜x＜2}
B. {x|－2＜x＜1}
C. {x|x＜－2，或x＞1}
D. {x|－1＜x＜2}
【解析】根据给出的定义得，x☉(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x☉(x－2)＜0，则(x＋2)(x－1)＜0，故不等式的解集是
{x|－2＜x＜1}.
8. (多选)(2024·杭州重点中学高一期中) 已知关于x的一元二次不等式ax2＋
bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则(　ACD　)
A. a＜0
B. c＜0
C. a＋b＋c＝0
D. a－b＋2c＞0
【解析】不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，故a＜0，且即对于A，a＜0，A正确；对于B， c＝－2a＞0，B错误；对于C，a＋b＋c＝a＋a＋(－2a)＝0，C正确；对于D，a－b＋2c＝
a－a＋2(－2a)＝－4a＞0，D正确.
9. (多选)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)·x－8＞0，则下列说法中，正确的有(　ABD　)
A. 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}
B. 当a＞0时，不等式的解集为
C. 当a＝－时，不等式的解集为R
D. 当a＝－1时，不等式的解集为{x|2＜x＜4}
【解析】不等式ax2＋(2－4a)x－8＞0可化为(ax＋2)·(x－4)＞0，当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}，A正确；当a＞0时，不等式的解集为，B正确；当a＝－时，不等式为x2－4x＋8＜0，又Δ＝(－4)2－4××8＝0，∴不等式的解集为空集，C错误；当a＝－1时，不等式为x2－6x＋8＜0，可得不等式的解集为{x|2＜x＜4}，D正确.
10. 不等式(x－1)2＜x＋5的解集为　{x|－1＜x＜4}　.
【解析】原不等式可化为x2－3x－4＜0，即(x＋1)·(x－4)＜0，其解集为
{x|－1＜x＜4}.
11. 已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围是　{k|－3＜k＜0}　.
【解析】由题意得，二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4的图象开口向上，又一个零点大于2，一个零点小于2，∴22＋2k＋k2＋k－4＜0，整理得k2＋3k＜0，解得－3＜k＜0，∴实数k的取值范围是{k|－3＜k＜0}.
12. 已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　{m|m＜0}　.
【解析】由题意知m＜0，∵不等式(mx－1)(x－2)＞0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m|m＜0}.
13. 解下列不等式：
(1)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)；
(2)0≤x2－2x－3＜5.
解：(1)由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2，
∴原不等式等价于9x2－12x＋4＞0.
解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝.
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为.
(2)由x2－2x－3≥0得x≤－1，或x≥3；由x2－2x－3＜5得－2＜x＜4，
∴－2＜x≤－1，或3≤x＜4，∴原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1，
或3≤x＜4}.
14. (2024·河北唐山十县一中联盟高一期中)已知关于x的不等式kx2＋(k－2)x－2＜0.
(1)当k＝3时，求不等式的解集；
(2)当k＜0时，求不等式的解集.
解：(1)当k＝3时，不等式可化为3x2＋x－2＜0，即(x＋1)·(3x－2)＜0，解得－1＜x＜，∴原不等式的解集为.
(2)不等式可化为(kx－2)(x＋1)＜0，∵k＜0，∴有(x＋1)＞0，①当＝－1，即k＝－2时，不等式为(x＋1)2＞0，解得x≠－1；
②当＞－1，即k＜－2时，解得x＜－1，或x＞；
③当＜－1，即－2＜k＜0时，解得x＜，或x＞－1.
综上，当k＜－2时，不等式的解集为；当k＝－2时，不等式的解集为{x|x≠－1}；当－2＜k＜0时，不等式的解集为
.
15. (多选)若关于x的不等式x2＋(a－2)·x－2a＜0的解集中恰有两个整数，则a的值可能为(　BD　)
A. 　 B.
C. 0 D. 1
【解析】不等式x2＋(a－2)x－2a＜0 (x＋a)(x－2)＜0，显然a≠－2，当a＜－2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜－a}，由于解集中恰有两个整数，则4＜－a≤5，解得－5≤a＜－4；当a＞－2时，原不等式的解集为{x|－a＜x＜2}，由于解集中恰有两个整数，则－1≤－a＜0，解得0＜a≤1，因此a的取值范围是－5≤a＜－4，或0＜a≤1，显然A，C不可能，B，D可能.
16. (2024·北京十一学校高一期中) 解关于x的不等式x2－2tx＋1＞0.
解：Δ＝4t2－4＝4(t2－1)＝4(t－1)(t＋1)，当Δ＜0，即－1＜t＜1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为R；当Δ＝0时，t＝1，或t＝－1，当t＝1时，不等式即为x2－2x＋1＝(x－1)2＞0，可得x≠1，当t＝－1时，不等式即为x2＋2x＋1＝(x＋1)2＞0，可得x≠－1；当Δ＞0，即t＜－1，或t＞1时，方程x2－2tx＋1＝0有两根x1＝t－，或x2＝t＋，此时不等式x2－2tx＋1＞0的解为x＜t－，或x＞t＋.
综上所述，当－1＜t＜1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为R；当t＝1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为{x|x≠1}；当t＝－1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为{x|x≠－1}；当t＜－1，或t＞1时，不等式x2－2tx＋1＞0的解集为
{x|x＜t－，或x＞t＋}.2.3 练习1　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
1. 下列四个不等式中，解集为R的是(　 　)
A. －x2＋x＋1≥0
B. x2－2x＋5＞0
C. x2＋6x＋10＞0
D. 2x2－3x＋4＜0
2. (2024·福建厦门高一期中) 不等式(x－1)·(x＋3)＞0的解集为(　 　)
A. {x|x＜－1，或x＞3}
B. {x|－3＜x＜1}
C. {x|x＞1，或x＜－3}
D. {x|－1＜x＜3}
3. 若a＞2，则关于x的不等式ax2－(2＋a)x＋2＞0的解集为(　 　)
A.
B.
C.
D.
4. 若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a等于(　 　)
A. 　 B.
C. D.
5. 若关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是(　 　)
A. k＞
B. k＜，且k≠0
C. k≤，且k≠0
D. k＜
6. 若m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解集为(　 　)
A. {x|x＜－n，或x＞m}
B. {x|－n＜x＜m}
C. {x|x＜－m，或x＞n}
D. {x|－m＜x＜n}
7. 在R上定义运算“☉”：a☉b＝ab＋2a＋b，则满足x☉(x－2)＜0的实数x的取值范围是(　 　)
A. {x|0＜x＜2}
B. {x|－2＜x＜1}
C. {x|x＜－2，或x＞1}
D. {x|－1＜x＜2}
8. (多选)(2024·杭州重点中学高一期中) 已知关于x的一元二次不等式ax2＋
bx＋c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则(　 　)
A. a＜0
B. c＜0
C. a＋b＋c＝0
D. a－b＋2c＞0
9. (多选)解关于x的不等式ax2＋(2－4a)·x－8＞0，则下列说法中，正确的有(　 　)
A. 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞4}
B. 当a＞0时，不等式的解集为
C. 当a＝－时，不等式的解集为R
D. 当a＝－1时，不等式的解集为{x|2＜x＜4}
10. 不等式(x－1)2＜x＋5的解集为　 　.
11. 已知关于x的二次函数y＝x2＋kx＋k2＋k－4有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2，则实数k的取值范围是　 　.
12. 已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是　 　.
13. 解下列不等式：
(1)4(2x2－2x＋1)＞x(4－x)；
(2)0≤x2－2x－3＜5.
14. (2024·河北唐山十县一中联盟高一期中)已知关于x的不等式kx2＋(k－2)x－2＜0.
(1)当k＝3时，求不等式的解集；
(2)当k＜0时，求不等式的解集.
15. (多选)若关于x的不等式x2＋(a－2)·x－2a＜0的解集中恰有两个整数，则a的值可能为(　 　)
A. 　 B.
C. 0 D. 1
16. (2024·北京十一学校高一期中) 解关于x的不等式x2－2tx＋1＞0.

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