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2.3 练习2　一元二次不等式的应用
1. (2024·安徽亳州二中高一期中)不等式≤0的解集为(　 　)
A. B.
C. D.
2. 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，集合B＝，则A∩B等于(　 　)
A. {x|－2＜x＜0} B. {x|1＜x＜2}
C. {x|0＜x＜1} D. R
3. 若关于x的不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　 　)
A. B.
C. D.
4. 某款汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得这款车的刹车距离大于40 m，则它刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　 　)
A. 76 km/h B. 77 km/h
C. 78 km/h D. 80 km/h
5. 若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　 　)
A. {x|x＜－2，或x＞1}
B. {x|1＜x＜2}
C. {x|x＜－1，或x＞2}
D. {x|－1＜x＜2}
6. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　 　)
A. {t|1≤t≤3} B. {t|3≤t≤5}
C. {t|2≤t≤4} D. {t|4≤t≤6}
7. 若关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为(　 　)
A. {x|－4＜x＜1，或x＞2}
B. {x|－2＜x＜1，或x＞4}
C. {x|x＜－2，或1＜x＜4}
D. {x|x＜－4，或1＜x＜2}
8. (多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，若每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可以为(　 　)
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
9. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论中，正确的有(　 　)
A. a＋b＝0 B. a＋b＋c＞0
C. c＞0 D. b＜0
10. 不等式≥0的解集为 　.
11. 若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝　 　.
12. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是　 　.
13. 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝3 m，AD＝2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内
14. (2024·珠海一中高一检测)某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若每件的售价降低x成(1成＝10%)，售出的商品数量就增加x成，但要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
15. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8|x|＋a≤0有6个整数解，则a的取值可能为(　 　)
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
16. (2024·舟山中学高一检测)某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经过多长时间A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间 (共27张PPT)
三、二次函数与一元二次方程、不等式
练习2　一元二次不等式的应用
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
必 备 知 识 练
1. (2024·安徽亳州二中高一期中)不等式≤0的解集为
(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由不等式≤0，可得解得
－＜x≤1.
C
2. 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，集合B＝，则A∩B等于(　　)
A. {x|－2＜x＜0} B. {x|1＜x＜2}
C. {x|0＜x＜1} D. R
【解析】∵集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，∴A＝{x|－2＜x＜1}，∵集合B＝，∴B＝{x|x＜0，或x＞1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜0}.
A
3. 若关于x的不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函
数y＝ax2－x－c的图象为(　　)
A. B. C. D.
【解析】∵不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，∴a＜0，排除C，D，又函数与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故B正确.
B
4. 某款汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得这款车的刹车距离大于40 m，则它刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　　)
A. 76 km/h B. 77 km/h
C. 78 km/h D. 80 km/h
【解析】根据题意，有s＝v＋v2＞40，移项整理，得v2＋8v－40×160＞0，又v＞0，解得v＞－4＋4≈76.1，∴这辆汽车刹车前的速度至少为77 km/h.
B
5. 若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不
等式＞0的解集为(　　)
A. {x|x＜－2，或x＞1} B. {x|1＜x＜2}
C. {x|x＜－1，或x＞2} D. {x|－1＜x＜2}
【解析】∵ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，∴a＞0，且a＝b，故＞0，等价为(x＋1)·(x－2)＞0，∴x＜－1，或
x＞2.
C
6. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400
元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　　)
A. {t|1≤t≤3} B. {t|3≤t≤5}
C. {t|2≤t≤4} D. {t|4≤t≤6}
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 400×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
B
7. 若关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，
则关于x的不等式＞0的解集为(　　)
A. {x|－4＜x＜1，或x＞2}
B. {x|－2＜x＜1，或x＞4}
C. {x|x＜－2，或1＜x＜4}
D. {x|x＜－4，或1＜x＜2}
B
【解析】∵关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，∴x2＋px＋q＝0的两根是－1或2，由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，∴＞0可转化为＞0，解得－2＜x＜1，或x＞4，∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞4}.
8. (多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以
120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，若每小时的
油耗不超过9 L，则速度x的值可以为(　 　)
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
ABC
【解析】由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，得＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为L.由题意得·≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，∴60≤x≤100.
9. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤
x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论中，正确的有(　 　)
A. a＋b＝0 B. a＋b＋c＞0
C. c＞0 D. b＜0
ABC
【解析】根据不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，可得a＜0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－1，2，由根与系数的关系得－＝－1＋2＝1，∴b＝－a，b＞0，A正确，D错误；由＝－2，a＜0，得c＞0，C正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，函数的零点为－1，2，∴当x＝1时，y＝a＋
b＋c＞0，B正确.
10. 不等式≥0的解集为
_______________________.
【解析】由即得≤x≤2，或x≥3.
11. 若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝__________.
【解析】由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0 (x＋1)(x－4)＞0，故a＝4.
4
12. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是________.
【解析】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，∴5x2－14x－3≥0，可得3≤x≤10，故x的最小值是3.
3
关 键 能 力 练
13. 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝3 m，AD＝2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内
解：设DN的长为x(x＞0)m，则AN的长为(x＋2)m.易知，∴AM＝，∴S矩形AMPN＝AN·AM＝.由S矩形AMPN＞32，得＞32.
又x＞0，∴3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜，或x＞6，即DN的长的取值范围是.
14. (2024·珠海一中高一检测)某商品每件的成本价为80元，售
价为100元，每天售出100件.若每件的售价降低x成(1成＝10%)，
售出的商品数量就增加x成，但要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，
并写出x的取值范围；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解：(1)由题意得y＝100·100.
∵售价不能低于成本价，∴100－80≥0，即0≤x≤2，∴y＝40(10－x)(25＋4x)，0≤x≤2.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，又0≤x≤2，
∴x的取值范围是.
拓 展 突 破 练
15. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8|x|＋a≤0有
6个整数解，则a的取值可能为(　 　)
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
CD
【解析】由x2－8|x|＋a≤0，得
a≤－x2＋8|x|，令y＝－x2＋
8|x|＝作出该
函数的图象如图所示.由图可知，
当12＜a≤15时，a≤－x2＋8|x|
恰有6个整数解，分别为－5，
－4，－3，3，4，5，又a∈Z，故a的可能取值为13，14，15.
16. (2024·舟山中学高一检测)某热带风暴中心B位于海港城市
A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以
40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经过多长时间A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间
解：如图所示，以A市为原点，
正东方向为x轴建立平面直角坐
标系.
∵AB＝400，∠BAx＝30°，
∴台风中心B的坐标为(200，
－200)，x h后台风中心B到达
点P(200，40x－200)处.由已
知，A市受台风影响时，有AP≤
350，即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式得3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)，故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.2.3 练习2　一元二次不等式的应用
1. (2024·安徽亳州二中高一期中)不等式≤0的解集为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】由不等式≤0，可得解得－＜x≤1.
2. 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，集合B＝，则A∩B等于(　A　)
A. {x|－2＜x＜0} B. {x|1＜x＜2}
C. {x|0＜x＜1} D. R
【解析】∵集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＜0}，∴A＝{x|－2＜x＜1}，∵集合B＝，∴B＝{x|x＜0，或x＞1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜0}.
3. 若关于x的不等式ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】∵不等式的解集为{x|－2＜x＜1}，∴a＜0，排除C，D，又函数与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故B正确.
4. 某款汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位：m)和刹车前的车速v(单位：km/h)之间有如下关系：s＝v＋v2.在一次交通事故中，测得这款车的刹车距离大于40 m，则它刹车前的车速至少为(精确到1 km/h)(　B　)
A. 76 km/h B. 77 km/h
C. 78 km/h D. 80 km/h
【解析】根据题意，有s＝v＋v2＞40，移项整理，得v2＋8v－40×160＞0，又v＞0，解得v＞－4＋4≈76.1，∴这辆汽车刹车前的速度至少为77 km/h.
5. 若关于x的不等式ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式＞0的解集为(　C　)
A. {x|x＜－2，或x＞1}
B. {x|1＜x＜2}
C. {x|x＜－1，或x＞2}
D. {x|－1＜x＜2}
【解析】∵ax－b＞0的解集为{x|x＞1}，∴a＞0，且a＝b，故＞0，等价为(x＋1)·(x－2)＞0，∴x＜－1，或x＞2.
6. 某地每年销售木材约20万立方米，每立方米的价格为2 400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是(　B　)
A. {t|1≤t≤3} B. {t|3≤t≤5}
C. {t|2≤t≤4} D. {t|4≤t≤6}
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝
2 400×t%＝60(8t－t2).令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.
7. 若关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为(　B　)
A. {x|－4＜x＜1，或x＞2}
B. {x|－2＜x＜1，或x＞4}
C. {x|x＜－2，或1＜x＜4}
D. {x|x＜－4，或1＜x＜2}
【解析】∵关于x的不等式x2＋px＋q＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞2}，∴x2＋px＋q＝0的两根是－1或2，由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，∴＞0可转化为＞0，解得－2＜x＜1，或x＞4，∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜1，或x＞4}.
8. (多选)某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，若每小时的油耗不超过9 L，则速度x的值可以为(　ABC　)
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
【解析】由汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，得＝11.5，解得k＝100，故每小时的油耗为L.由题意得·≤9，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，
∴60≤x≤100.
9. (多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，对于系数a，b，c，下列结论中，正确的有(　ABC　)
A. a＋b＝0 B. a＋b＋c＞0
C. c＞0 D. b＜0
【解析】根据不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，可得a＜0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为－1，2，由根与系数的关系得－＝－1＋2＝1，
∴b＝－a，b＞0，A正确，D错误；由＝－2，a＜0，得c＞0，C正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，函数的零点为－1，2，∴当x＝1时，
y＝a＋b＋c＞0，B正确.
10. 不等式≥0的解集为 　.
【解析】由
即得≤x≤2，或x≥3.
11. 若关于x的不等式＞0的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则实数a＝　4　.
【解析】由题意知，不等式的解集为{x|x＜－1，或x＞4}，则(x－a)(x＋1)＞0 (x＋1)(x－4)＞0，故a＝4.
12. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元.要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是　3　.
【解析】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0，又1≤x≤10，∴5x2－14x－3≥0，可得3≤x≤10，故x的最小值是3.
13. 某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示.已知AB＝3 m，AD＝2 m.要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则DN的长应在什么范围内
解：设DN的长为x(x＞0)m，则AN的长为(x＋2)m.易知，∴AM＝，∴S矩形AMPN＝AN·AM＝.由S矩形AMPN＞32，得＞32.
又x＞0，∴3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜，或x＞6，即DN的长的取值范围是.
14. (2024·珠海一中高一检测)某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若每件的售价降低x成(1成＝10%)，售出的商品数量就增加x成，但要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解：(1)由题意得y＝100·100.
∵售价不能低于成本价，∴100－80≥0，即0≤x≤2，∴y＝40(10－x)(25＋4x)，0≤x≤2.
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，又0≤x≤2，
∴x的取值范围是.
15. (多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－8|x|＋a≤0有6个整数解，则a的取值可能为(　CD　)
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
【解析】由x2－8|x|＋a≤0，得a≤－x2＋8|x|，令y＝－x2＋8|x|＝作出该函数的图象如图所示.由图可知，当12＜a≤15时，a≤－x2＋8|x|恰有6个整数解，分别为－5，－4，－3，3，4，5，又a∈Z，故a的可能取值为13，14，15.
16. (2024·舟山中学高一检测)某热带风暴中心B位于海港城市A南偏东60°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经过多长时间A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间
解：如图所示，以A市为原点，正东方向为x轴建立平面直角坐标系.
∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(200，－200)，x h后台风中心B到达点P(200，40x－200)处.由已知，A市受台风影响时，有AP≤350，即(200)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解不等式得3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)，故在3.75 h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.

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