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2.3 练习3　不等式“恒成立”“能成立”问题
1. 已知关于x的不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是 (　 　)
A. {a|－4≤a≤4}
B. {a|－4＜a＜4}
C. {a|a≤－4，或a≥4}
D. {a|a＜－4，或a＞4}
2. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≤－2，或m≥2}
B. {m|－2≤m≤2}
C. {m|m＜－2，或m＞2}
D. {m|－2＜m＜2}
3. 对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　 　)
A. {m|m≥2}
B. {m|0＜m≤2}
C. {m|0≤m≤2}
D. {m|0≤m≤4}
4. 若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　 　)
A.
B.
C.
D.
5. 已知p：2a＋1＜0，且q： x∈R，x2－(2a－1)x＋1＜0为真命题，则p是q的 (　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 若两个正实数x，y满足＝1，且关于x的不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　 　)
A. {m|－1＜m＜4}
B. {m|m＜0，或m＞3}
C. {m|－4＜m＜1}
D. {m|m＜－1，或m＞4}
7. 在R上定义运算：a b＝(a＋1)b，若存在x∈{x|1≤x≤2}，使得关于x的不等式(m－x) (m＋x)＜4成立，则实数m的取值范围是(　 　)
A. －2＜m＜2
B. －1＜m＜2
C. －3＜m＜2
D. 1＜m＜2
8. (多选)关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是(　 　)
A. a＜1 B. a≤1
C. a＜2 D. a＜0
9. (多选)若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为(　 　)
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
10. 若关于x的不等式x2＋(m－3)x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是　 　.
11. x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取值范围是 　.
12. 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是　 　.
13. 已知关于x的不等式2kx2＋kx－＜0.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
14. (2024·福州十五中高一期中) 已知函数y＝x2－3x＋b，不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜t}，b，t∈R.
(1)求b和t的值；
(2)若当1≤x≤4时，函数y＝x2－3x＋b的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围.
15. 若当1≤x≤4时，关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，则实数m的最小值是(　 　)
A. 9 B. 5
C. 6 D.
16. 已知不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围是　 　. (共26张PPT)
三、二次函数与一元二次方程、不等式
练习3　不等式“恒成立”“能成立”问题
　高中数学 必修 第一册
一元二次函数、方程和不等式
第二章
必 备 知 识 练
1. 已知关于x的不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值
范围是 (　　)
A. {a|－4≤a≤4}
B. {a|－4＜a＜4}
C. {a|a≤－4，或a≥4}
D. {a|a＜－4，或a＞4}
【解析】由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
A
2. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范
围是(　　)
A. {m|m≤－2，或m≥2} B. {m|－2≤m≤2}
C. {m|m＜－2，或m＞2} D. {m|－2＜m＜2}
【解析】∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝
－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，
∴Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2，或m≥2.
A
3. 对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　)
A. {m|m≥2}
B. {m|0＜m≤2}
C. {m|0≤m≤2}
D. {m|0≤m≤4}
C
【解析】令y＝，当m＝0时，函数y＝，符合题意；当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，则即解得0＜m≤2.综上，实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}.
4. 若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的
取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k＜0，且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k＜0.综上，－≤k≤0.
D
5. 已知p：2a＋1＜0，且q： x∈R，x2－(2a－1)x＋1＜0为真命题，则p是q的 (　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】2a＋1＜0 a＜－，即p：a＜－，又由“ x∈R，
x2－(2a－1)x＋1＜0”为真命题，得(2a－1)2－4＞0，即(2a＋1)(2a－3)＞0，解得a＜－，或a＞，即q：a＜－，或a＞，∴p是q的充分不必要条件.
A
6. 若两个正实数x，y满足＝1，且关于x的不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)
A. {m|－1＜m＜4}
B. {m|m＜0，或m＞3}
C. {m|－4＜m＜1}
D. {m|m＜－1，或m＞4}
D
【解析】∵正实数x，y满足＝1，∴x＋·
＝2＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4，由x＋＜m2－3m有解，可得m2－3m＞4，解得m＞4，或m＜－1.
7. 在R上定义运算：a b＝(a＋1)b，若存在x∈{x|1≤x≤2}，使得关于x的不等式(m－x) (m＋x)＜4成立，则实数m的取值范
围是(　　)
A. －2＜m＜2
B. －1＜m＜2
C. －3＜m＜2
D. 1＜m＜2
C
【解析】(m－x) (m＋x)＜4，即(m－x＋1)·(m＋x)＝m2－
x2＋m＋x＜4，则存在x∈{x|1≤x≤2}，使得不等式m2＋m＜
x2－x＋4成立，等价于m2＋m＜(x2－x＋4)max，1≤x≤2.由x2－
x＋4＝，可得当x＝2时，x2－x＋4取得最大值6，∴m2＋m＜6，解得－3＜m＜2.
8. (多选)关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是(　 　)
A. a＜1 B. a≤1
C. a＜2 D. a＜0
【解析】ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1，综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1，∴a＜1的一个必要不充分条件为B，C.
BC
9. (多选)若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为(　 　)
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
CD
【解析】∵x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，∴不等式≥m可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，即(3－m)x2＋
(2－m)x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意；当m≠3时，依题意得整理得解得∴m≤2.又m∈N*，∴m＝1或2.
10. 若关于x的不等式x2＋(m－3)x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是___________________.
【解析】x2＋(m－3)x＋m＜0无解，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
{m|1≤m≤9}
11. x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取
值范围是______________.
【解析】由不等式mx2－mx－1＜0，得m(x2－x)＜1，∵x∈{x|2≤x≤3}，∴x2－x＞0，∴m(x2－x)＜1可化为m＜，∵x2－x＝≤6，∴≥，∴m＜，即m的取值范围是.
12. 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，
则实数a的取值范围是_________________.
【解析】∵对任意的实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，∴当a－2＝0，即a＝2时，则有－4＜0恒成立，合乎题意；当a－2≠0，即a≠2时，则有解得－2＜a＜2.
综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.
－2＜a≤2
关 键 能 力 练
13. 已知关于x的不等式2kx2＋kx－＜0.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－＜0的解集为，则－和1是2kx2＋kx－＝0的两个实数根，且k＞0，由根与系数的关系得－×1＝，解得k＝.
(2)当k＝0时，－＜0恒成立，满足题意；当k≠0时，则有解得－3＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是(－3，0].
14. (2024·福州十五中高一期中) 已知函数y＝x2－3x＋b，不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜t}，b，t∈R.
(1)求b和t的值；
(2)若当1≤x≤4时，函数y＝x2－3x＋b的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围.
解：(1)∵不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜t}，∴1和t为方程x2－
3x＋b＝0 的两个实数根，
∴解得b＝t＝2.
(2)由题意知当1≤x≤4时，x2－3x＋2＞kx2恒成立，两边同除以x2得，k＜＋1.令n＝，则上述不等式等价于k＜2n2－3n＋1，≤n≤1，∴有k＜(2n2－3n＋1)min，令s＝2n2－3n＋1＝≤n≤1，∴当n＝时，smin＝－，∴实数k的取值范围是k＜－.
拓 展 突 破 练
15. 若当1≤x≤4时，关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，
则实数m的最小值是(　　)
A. 9 B. 5
C. 6 D.
【解析】∵当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，∴m＋1≥x＋有解，又x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即
x＝3时取等号，∴当1≤x≤4时，x＋的最小值为6，∴m＋1≥6，即m≥5，故m的最小值为5.
B
16. 已知不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
则实数λ的取值范围是___________________.
【解析】∵x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，
∴x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即关于x的不等式x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，∴(λ＋8)·(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.
{λ|－8≤λ≤4}2.3 练习3　不等式“恒成立”“能成立”问题
1. 已知关于x的不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是 (　A　)
A. {a|－4≤a≤4}
B. {a|－4＜a＜4}
C. {a|a≤－4，或a≥4}
D. {a|a＜－4，或a＞4}
【解析】由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
2. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是(　A　)
A. {m|m≤－2，或m≥2}
B. {m|－2≤m≤2}
C. {m|m＜－2，或m＞2}
D. {m|－2＜m＜2}
【解析】∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≤－2，或m≥2.
3. 对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　C　)
A. {m|m≥2}
B. {m|0＜m≤2}
C. {m|0≤m≤2}
D. {m|0≤m≤4}
【解析】令y＝，当m＝0时，函数y＝，符合题意；当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立，则即解得0＜m≤2.综上，实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}.
4. 若关于x的不等式kx2＋3kx＋k－2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　D　)
A.
B.
C.
D.
【解析】当k＝0时，－2≤0恒成立，符合题意；当k≠0时，需满足k＜0，且9k2－4k(k－2)＝5k2＋8k≤0，得－≤k＜0.综上，－≤k≤0.
5. 已知p：2a＋1＜0，且q： x∈R，x2－(2a－1)x＋1＜0为真命题，则p是q的 (　A　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】2a＋1＜0 a＜－，即p：a＜－，又由“ x∈R，x2－(2a－1)x＋1＜0”为真命题，得(2a－1)2－4＞0，即(2a＋1)(2a－3)＞0，解得a＜－，或a＞，即q：a＜－，或a＞，∴p是q的充分不必要条件.
6. 若两个正实数x，y满足＝1，且关于x的不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　D　)
A. {m|－1＜m＜4}
B. {m|m＜0，或m＞3}
C. {m|－4＜m＜1}
D. {m|m＜－1，或m＞4}
【解析】∵正实数x，y满足＝1，∴x＋＝2＋≥
2＋2＝4，当且仅当x＝2，y＝8时，x＋取得最小值4，由x＋＜m2－3m有解，可得m2－3m＞4，解得m＞4，或m＜－1.
7. 在R上定义运算：a b＝(a＋1)b，若存在x∈{x|1≤x≤2}，使得关于x的不等式(m－x) (m＋x)＜4成立，则实数m的取值范围是(　C　)
A. －2＜m＜2
B. －1＜m＜2
C. －3＜m＜2
D. 1＜m＜2
【解析】(m－x) (m＋x)＜4，即(m－x＋1)·(m＋x)＝m2－x2＋m＋x＜4，则存在x∈{x|1≤x≤2}，使得不等式m2＋m＜x2－x＋4成立，等价于m2＋m＜(x2－
x＋4)max，1≤x≤2.由x2－x＋4＝，可得当x＝2时，x2－x＋4取得最大值6，∴m2＋m＜6，解得－3＜m＜2.
8. (多选)关于x的不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是(　BC　)
A. a＜1 B. a≤1
C. a＜2 D. a＜0
【解析】ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由解得0＜a＜1，综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要条件为a＜1，∴a＜1的一个必要不充分条件为B，C.
9. (多选)若不等式≥m对任意实数x恒成立，则正整数m的值可能为(　CD　)
A. 3 B. 4
C. 1 D. 2
【解析】∵x2＋x＋1＞0对于任意实数x恒成立，∴不等式≥m可化为3x2＋2x＋2≥m(x2＋x＋1)，即(3－m)x2＋(2－m)x＋2－m≥0.当m＝3时，不等式化为x＋1≤0，不符合题意；当m≠3时，依题意得整理得解得∴m≤2.又m∈N*，∴m＝1或2.
10. 若关于x的不等式x2＋(m－3)x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是　{m|1≤m≤9}　.
【解析】x2＋(m－3)x＋m＜0无解，则Δ＝(m－3)2－4m＝m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9.
11. x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1＜0恒成立，则m的取值范围是 　.
【解析】由不等式mx2－mx－1＜0，得m(x2－x)＜1，∵x∈{x|2≤x≤3}，∴x2－x＞0，∴m(x2－x)＜1可化为m＜，∵x2－x＝≤6，∴≥，∴m＜，即m的取值范围是.
12. 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是　－2＜a≤2　.
【解析】∵对任意的实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，∴当
a－2＝0，即a＝2时，则有－4＜0恒成立，合乎题意；当a－2≠0，即a≠2时，则有解得－2＜a＜2.
综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.
13. 已知关于x的不等式2kx2＋kx－＜0.
(1)若不等式的解集为，求实数k的值；
(2)若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.
解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－＜0的解集为，则－和1是
2kx2＋kx－＝0的两个实数根，且k＞0，由根与系数的关系得－×1＝，
解得k＝.
(2)当k＝0时，－＜0恒成立，满足题意；当k≠0时，则有解得－3＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是(－3，0].
14. (2024·福州十五中高一期中) 已知函数y＝x2－3x＋b，不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜t}，b，t∈R.
(1)求b和t的值；
(2)若当1≤x≤4时，函数y＝x2－3x＋b的图象恒在y＝kx2图象的上方，求实数k的取值范围.
解：(1)∵不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜t}，∴1和t为方程x2－3x＋b＝0 的两个实数根，
∴解得b＝t＝2.
(2)由题意知当1≤x≤4时，x2－3x＋2＞kx2恒成立，两边同除以x2得，k＜＋1.令n＝，则上述不等式等价于k＜2n2－3n＋1，≤n≤1，∴有k＜(2n2－3n＋1)min，令s＝2n2－3n＋1＝≤n≤1，∴当n＝时，smin＝－，∴实数k的取值范围是k＜－.
15. 若当1≤x≤4时，关于x的不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，则实数m的最小值是(　B　)
A. 9 B. 5
C. 6 D.
【解析】∵当1≤x≤4时，不等式x2－(m＋1)x＋9≤0有解，∴m＋1≥x＋有解，又x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取等号，∴当1≤x≤4时，
x＋的最小值为6，∴m＋1≥6，即m≥5，故m的最小值为5.
16. 已知不等式x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围是　{λ|－8≤λ≤4}　.
【解析】∵x2＋8y2≥λy(x＋y)对于任意的x，y∈R恒成立，∴x2＋8y2－λy(x＋y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即关于x的不等式x2－λyx＋(8－λ)y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2y2＋4(λ－8)y2＝y2(λ2＋4λ－32)≤0，
∴(λ＋8)·(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.

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