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一、函数的概念及其表示
练习1　函数的概念(一)
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 下列关于函数y＝f(x)的说法，正确的是(　　)
①y是x的函数；
②x是y的函数；
③对于不同的x，y也不同；
④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A. ①④ B. ②③
C. ①③ D. ②④
【解析】易知①④正确，②错误；根据函数的定义知，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故③错误.
A
2. 下列图形中，不能作为函数图象的是(　　)
C
A. B. C. D.
【解析】C中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.
3. (2024·福州六校高一联考) 函数f(x)＝的定义域为(　　)
A. {x|x≥1}
B. {x|x＞1}
C. {x|1≤x＜2}
D. {x|x≥1，且x≠2}
【解析】由f(x)＝，得解得x≥1，且x≠2，
∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1，且x≠2}.
D
4. 下列对应关系中，属于从集合M到集合N的函数的是(　　)
A. M＝R，N＝{x∈R|x＞0}，f：x→|x|
B. M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|
C. M＝{x∈R|x＞0}，N＝R，f：x→x2
D. M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
【解析】对于A，当集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.
C
5. 已知函数f(x)＝x2－2 026x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　　)
A. 2 026 B. －2 026
C. 0 D. 10 020
【解析】由f(m)＝f(n)知m，n关于函数y＝x2－2 026x的图象的对称轴对称，故m＋n＝2 026，f(2 026)＝0.
C
6. 已知集合A＝{x|x≥4}，函数f(x)＝的定义域为集合
B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是(　　)
A. {a|－2＜a＜2} B. {a|a＞2}
C. {a|a＜2} D. {a|a≤2}
【解析】由f(x)＝得2－x＋a＞0，即x＜a＋2，∴B＝{x|x＜a＋2}.∵A∩B＝ ，∴a＋2≤4，解得a≤2，∴实数a的取值范围是{a|a≤2}.
D
7. 若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么
a＝(　　)
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
【解析】∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0.又a为正数，∴a＝1.
A
8. (多选)(2024·河南开封高一期中) 集合A，B与对应关系f如图所示，则f：A→B为 从集合A到集合B的函数的是(　 　)
AC
A. B. C. D.
【解析】集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应，A是函数；集合A中存在数3在集合B中没有对应的，B不是函数；集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应，C是函数；集合A中存在数5在集合B中有2个数与之对应，D不是函数.
9. (多选)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的
是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.若记圆周率π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…小数点后面第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为y＝f(n).设此函数的定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法中正确的是(　 　)
A. －2 A
B. 3.14∈B
C. f(4)＝5
D. B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
【解析】根据函数的定义可知，定义域为N*，值域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，f(4)＝5.
ACD
10. 若f(x)＝，则f(1)＝_________.
【解析】f(1)＝.
11. 已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函
数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为______________.
【解析】∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，
∴x＜5.又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，∴x＞，
∴此函数的定义域为.
12. 已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝__________，
函数g(x)的定义域为_______________________.
【解析】g(x)＝f(x－3)＝，由得x≥3，且x≠4.
{x|x≥3，且x≠4}
关 键 能 力 练
13. 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是{x|x≠0}.
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
14. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10(1＋x)2(0＜x＜1)描述.
解：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2022年的观赏人数为10万人次，观赏人数的年平均增长率为x(0＜x＜1)，预计2024年的观赏人数为y万人次，那么y＝10(1＋x)2，0＜x＜1.(答案不唯一)
拓 展 突 破 练
15. 定义域为{x|x＞1}的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x，则f(3)＝__________.
【解析】∵对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立，
∴f(3)＝2f.∵当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x，∴f＝2－，∴f(3)＝2f＝1.
1
16. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)，f，f(3)，f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f之间有什么关系 请证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 024)＋f的值.
解：(1)∵f(x)＝＝1－，∴f(2)＝1－，f＝
1－，f(3)＝1－，f＝1－.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.证明如下：
f(x)＋f＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2 024)＋f＝1，∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 024)＋f＝2 023.3.1 练习1　函数的概念(一)
1. 下列关于函数y＝f(x)的说法，正确的是(　A　)
①y是x的函数；
②x是y的函数；
③对于不同的x，y也不同；
④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A. ①④ B. ②③
C. ①③ D. ②④
【解析】易知①④正确，②错误；根据函数的定义知，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)＝1，故③错误.
2. 下列图形中，不能作为函数图象的是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】C中，当x取小于或等于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义.
3. (2024·福州六校高一联考) 函数f(x)＝的定义域为(　D　)
A. {x|x≥1}
B. {x|x＞1}
C. {x|1≤x＜2}
D. {x|x≥1，且x≠2}
【解析】由f(x)＝，得解得x≥1，且x≠2，∴函数f(x)＝的定义域为{x|x≥1，且x≠2}.
4. 下列对应关系中，属于从集合M到集合N的函数的是(　C　)
A. M＝R，N＝{x∈R|x＞0}，f：x→|x|
B. M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|
C. M＝{x∈R|x＞0}，N＝R，f：x→x2
D. M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
【解析】对于A，当集合M中x＝0时，|x|＝0，但集合N中没有0；对于B，当集合M中x＝1时，|x－1|＝0，但集合N中没有0；对于D，当集合M中x为负数时，集合N中没有元素与之对应；分析知C中对应关系是集合M到集合N的函数.
5. 已知函数f(x)＝x2－2 026x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　C　)
A. 2 026 B. －2 026
C. 0 D. 10 020
【解析】由f(m)＝f(n)知m，n关于函数y＝x2－2 026x的图象的对称轴对称，故m＋n＝2 026，f(2 026)＝0.
6. 已知集合A＝{x|x≥4}，函数f(x)＝的定义域为集合B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是(　D　)
A. {a|－2＜a＜2}
B. {a|a＞2}
C. {a|a＜2}
D. {a|a≤2}
【解析】由f(x)＝得2－x＋a＞0，即x＜a＋2，∴B＝{x|x＜a＋2}.∵A∩
B＝ ，∴a＋2≤4，解得a≤2，∴实数a的取值范围是{a|a≤2}.
7. 若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a＝(　A　)
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
【解析】∵f(x)＝ax2－1，∴f(－1)＝a－1，f(f(－1))＝f(a－1)＝a·(a－1)2－1＝－1，∴a(a－1)2＝0.又a为正数，∴a＝1.
8. (多选)(2024·河南开封高一期中) 集合A，B与对应关系f如图所示，则f：A→B为 从集合A到集合B的函数的是(　AC　)
A. B.
C. D.
【解析】集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应，A是函数；集合A中存在数3在集合B中没有对应的，B不是函数；集合A中任何一个数在集合B中都有唯一一个数与之对应，C是函数；集合A中存在数5在集合B中有2个数与之对应，D不是函数.
9. (多选)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.若记圆周率π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…小数点后面第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为y＝f(n).设此函数的定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法中正确的是(　ACD　)
A. －2 A
B. 3.14∈B
C. f(4)＝5
D. B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
【解析】根据函数的定义可知，定义域为N*，值域为{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，f(4)＝5.
10. 若f(x)＝，则f(1)＝ 　.
【解析】f(1)＝.
11. 已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为 　.
【解析】∵△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，∴x＜5.又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，∴x＞，∴此函数的定义域为.
12. 已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝ 　，函数g(x)的定义域为　{x|x≥3，且x≠4}　.
【解析】g(x)＝f(x－3)＝，由得x≥3，且x≠4.
13. 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是{x|x≠0}.
(2)f(－1)＝－1＋＝－2，f(2)＝2＋.
(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋.
14. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10(1＋x)2(0＜x＜1)描述.
解：某地“桃花节”观赏人数逐年增加，设2022年的观赏人数为10万人次，观赏人数的年平均增长率为x(0＜x＜1)，预计2024年的观赏人数为y万人次，那么y＝10(1＋x)2，0＜x＜1.(答案不唯一)
15. 定义域为{x|x＞1}的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x，则f(3)＝　1　.
【解析】∵对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立，∴f(3)＝2f.∵当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x，∴f＝2－，∴f(3)＝2f＝1.
16. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)，f，f(3)，f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f之间有什么关系 请证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 024)＋f的值.
解：(1)∵f(x)＝＝1－，∴f(2)＝1－，f＝1－，f(3)＝
1－，f＝1－.
(2)由(1)中求得的结果发现f(x)＋f＝1.证明如下：
f(x)＋f＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f＝1，∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，f(4)＋f＝1，…，f(2 024)＋f＝1，∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 024)＋f＝2 023.3.1 练习1　函数的概念(一)
1. 下列关于函数y＝f(x)的说法，正确的是(　 　)
①y是x的函数；
②x是y的函数；
③对于不同的x，y也不同；
④f(a)表示当x＝a时，f(x)的函数值是一个常数.
A. ①④ B. ②③
C. ①③ D. ②④
2. 下列图形中，不能作为函数图象的是(　 　)
A. B.
C. D.
3. (2024·福州六校高一联考) 函数f(x)＝的定义域为(　 　)
A. {x|x≥1}
B. {x|x＞1}
C. {x|1≤x＜2}
D. {x|x≥1，且x≠2}
4. 下列对应关系中，属于从集合M到集合N的函数的是(　 　)
A. M＝R，N＝{x∈R|x＞0}，f：x→|x|
B. M＝N，N＝N*，f：x→|x－1|
C. M＝{x∈R|x＞0}，N＝R，f：x→x2
D. M＝R，N＝{x∈R|x≥0}，f：x→
5. 已知函数f(x)＝x2－2 026x，若f(m)＝f(n)，m≠n，则f(m＋n)等于(　 　)
A. 2 026 B. －2 026
C. 0 D. 10 020
6. 已知集合A＝{x|x≥4}，函数f(x)＝的定义域为集合B，若A∩B＝ ，则实数a的取值范围是(　 　)
A. {a|－2＜a＜2}
B. {a|a＞2}
C. {a|a＜2}
D. {a|a≤2}
7. 若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正数，且f(f(－1))＝－1，那么a＝(　 　)
A. 1 B. 0
C. －1 D. 2
8. (多选)(2024·河南开封高一期中) 集合A，B与对应关系f如图所示，则f：A→B为 从集合A到集合B的函数的是(　 　)
A. B.
C. D.
9. (多选)在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字.若记圆周率π＝3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88…小数点后面第n位上的数字为y，则y是关于n的函数，记为y＝f(n).设此函数的定义域为A，值域为B，则关于此函数，下列说法中正确的是(　 　)
A. －2 A
B. 3.14∈B
C. f(4)＝5
D. B＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
10. 若f(x)＝，则f(1)＝ 　.
11. 已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，则此函数的定义域为 　.
12. 已知函数f(x)＝，g(x)＝f(x－3)，则g(x)＝ 　，函数g(x)的定义域为　 　.
13. 已知函数f(x)＝x＋.
(1)求f(x)的定义域；
(2)求f(－1)，f(2)的值；
(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值.
14. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝10(1＋x)2(0＜x＜1)描述.
15. 定义域为{x|x＞1}的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x∈(1，＋∞)恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)当x∈(1，2]时，f(x)＝2－x，则f(3)＝　 　.
16. 已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)，f，f(3)，f的值；
(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x)与f之间有什么关系 请证明你的发现；
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 024)＋f的值.

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