资源简介

(共26张PPT)
一、函数的概念及其表示
练习2　函数的概念(二)
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 下列区间中，与集合{x|x＜－2，或x≥0}相对应的是(　　)
A. (－2，0)
B. (－∞，－2]∪[0，＋∞)
C. (－∞，－2)∪[0，＋∞)
D. (－∞，－2]∪(0，＋∞)
【解析】x＜－2可以表示为x∈(－∞，－2)，x≥0可以表示为x∈[0，＋∞).
C
2. 下列各组函数中，属于同一个函数的是(　　)
A. y＝x＋1与y＝
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x＋1)2与y＝x2
【解析】A，C中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同.
B
3. 已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　　)
A. (－∞，1] B. [1，＋∞)
C. (0，＋∞) D. (0，1]
【解析】∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴f(x)的值域为(0，1].
D
4. 已知函数f(x)的定义域为[－2，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－
3)的定义域为(　　)
A. [1， 2) B. (1， 2)
C. (2， 3) D. [2，3)
【解析】由题意知解得1≤x＜2.
A
5. 若函数f(x)＝(x≠2)的值域为集合P，则下列元素中，
不属于P的是(　　)
A. 2 B. －2
C. －1 D. －3
【解析】f(x)＝＝－3－，∵≠0，∴f(x)≠－3，∴f(x)的值域为{y|y≠－3}，即P＝{y|y≠－3}.
D
6. 若函数y＝f(x)的定义域是[－1， 3]，则函数g(x)＝的
定义域为(　　)
A. [0， 2] B. [－3， 5]
C. [－3，－2]∪(2， 5] D. (－2，2]
【解析】已知函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，要使函数g(x)有意义，则解得0≤x≤2.
A
7. 已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定
义域为(　　)
A.
B. [－3，3]
C. [－1，5]
D. 以上都不对
【解析】由题意知－1≤x≤2，∴－3≤－2x＋1≤3，∴y＝f(x)的定义域为[－3，3].
B
8. (多选)下列函数中，值域为[0， 4]的是(　 　)
A. f(x)＝x－1，x∈[1， 5]
B. f(x)＝－x2＋4
C. f(x)＝
D. f(x)＝x＋－2(x＞0)
AC
【解析】当x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，∴函数f(x)＝x－1，x∈[1， 5]的值域是[0， 4]，A正确；∵－x2≤0，∴－x2＋4≤4，∴函数值域是(－∞， 4]，B错误；∵－x2≤0，∴16－x2≤16，又16－x2≥0，∴0≤≤4，即函数值域为[0， 4]，C正确；∵x＞0，∴x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞)，D错误.
9. (多选)(2024·广东执信中学高一月考)若某函数的定义域与值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函
数中，属于“[0，1]交汇函数”的是(　 　)
A. y＝
B. y＝2－x
C. y＝
D. y＝－|x|
AB
【解析】由“[a，b]交汇函数”的定义可知“[0，1]交汇函数”的定义域与值域的交集为[0，1].对于A，y＝的定义域
D＝{x|x≤1}，值域B＝{y|y≥0}，则A∩B＝[0，1]，A正确；对于B，y＝2－x的定义域D＝{x|x≥0}，令t＝≥0，则y＝
2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，故函数y＝2－x的值域B＝{x|x≤1}，则A∩B＝[0，1]，B正确；对于C，y＝，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴0＜≤1，
故函数y＝的定义域D＝R，值域B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(0，1]，C错误；对于D，y＝－|x|的定义域D＝{x|－1≤x≤1}，y2＝1－x2＋x2－2|x|＝1－2，∵－1≤x≤1，∴0≤x2(1－x2)≤，则0≤y2≤1，∴－1≤y≤1，故y＝－|x|的值域B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝[－1，1]，D错误.
10. 若函数f(x)的定义域为[2a－1， a＋1]，值域为[a＋3， 4a]，
则a的取值范围是__________.
【解析】由区间的定义知 1＜a＜2.
(1， 2)
11. 函数y＝(1≤x≤3)的值域为___________.
【解析】∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，∴≤≤1，∴≤≤8，∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为.
12. 若函数f(x)和g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和
g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)＝x2＋2，请写出一个与f(x)是“同象函数”的函数：g(x)＝_____________________.
【解析】f (x)的定义域为R，∵x2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).若g(x)＝＋2，则g(x)的定义域为[0，＋∞)，∵≥0，∴＋2≥2，∴g(x)的值域为[2，＋∞)，∴f(x)与g(x)的值域相同，定义域不同，∴f(x)和g(x)是“同象函数”
＋2(答案不唯一)
关 键 能 力 练
13. 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝x－.
解：(1)令t＝x2－4x＋6，得t＝(x－2)2＋2，故t∈[2，＋∞)，
∴函数的值域为[，＋∞).
(2)∵函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，∴函数的值域为{y|y≠5}.
(3)要使有意义，只需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，设f(t)＝t2－
1－t＝，又t≥0，∴f(t)≥－，∴原函数的值域为
.
14. (2024·珠海一中高一检测)函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求k的取值范围；
(2)当k＝－1时，求f(x)的值域.
解：(1)由题意得，2kx2＋kx＋＞0对x∈R恒成立，当k＝0时，满足题意；当k≠0时，则解得0＜k＜3.综上可知，k的取值范围是[0，3).
(2)当k＝－1时，令y＝－2x2－x＋＝－2≤，
故0＜≤，则f(x)的值域为[，＋∞).
拓 展 突 破 练
15. 函数y＝(x＞1)的值域为____________.
【解析】∵当x＞1时，函数y＝＝(x－1)－2＋≥2－2＝0，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为
[0，＋∞).
[0，＋∞)
16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数y＝3－2x的图象的稳定点；
(2)若函数y＝的图象有两个关于原点对称的稳定点，求a的值及函数的图象的稳定点；
(3)已知函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－4)(a≠0)，若对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围.
解：(1)令3－2x＝x，得x＝1，故函数y＝3－2x的图象的稳定点为(1，1).
(2)设点(x0，x0)是稳定点，则x0＝，即2＋(a－3)x0－
18＝0，由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数，故(a－3)2－4×2×(－18)＞0，－＝0，解得a＝3.由2－18＝0，得x0＝±3，则稳定点为(－3，－3)，(3，3).
(3)对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，即关于x的方程ax2＋(b＋1)x＋(b－4)＝x恒有两个不相等的实数根，即关于x的方程ax2＋bx＋(b－4)＝0恒有两个不相等的实数根，则Δ1＝b2－4a(b－4)＞0恒成立，即关于b的方程b2－4ab＋16a＞0恒成立，∴Δ2＝16a2－4×16a＜0，解得0＜a＜4.3.1 练习2　函数的概念(二)
1. 下列区间中，与集合{x|x＜－2，或x≥0}相对应的是(　 　)
A. (－2，0)
B. (－∞，－2]∪[0，＋∞)
C. (－∞，－2)∪[0，＋∞)
D. (－∞，－2]∪(0，＋∞)
2. 下列各组函数中，属于同一个函数的是(　 　)
A. y＝x＋1与y＝
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x＋1)2与y＝x2
3. 已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　 　)
A. (－∞，1] B. [1，＋∞)
C. (0，＋∞) D. (0，1]
4. 已知函数f(x)的定义域为[－2，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－3)的定义域为(　 　)
A. [1， 2) B. (1， 2)
C. (2， 3) D. [2，3)
5. 若函数f(x)＝(x≠2)的值域为集合P，则下列元素中，不属于P的是(　 　)
A. 2 B. －2
C. －1 D. －3
6. 若函数y＝f(x)的定义域是[－1， 3]，则函数g(x)＝的定义域为(　 　)
A. [0， 2]
B. [－3， 5]
C. [－3，－2]∪(2， 5]
D. (－2，2]
7. 已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域为(　 　)
A.
B. [－3，3]
C. [－1，5]
D. 以上都不对
8. (多选)下列函数中，值域为[0， 4]的是(　 　)
A. f(x)＝x－1，x∈[1， 5]
B. f(x)＝－x2＋4
C. f(x)＝
D. f(x)＝x＋－2(x＞0)
9. (多选)(2024·广东执信中学高一月考)若某函数的定义域与值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数中，属于“[0，1]交汇函数”的是(　 　)
A. y＝
B. y＝2－x
C. y＝
D. y＝－|x|
10. 若函数f(x)的定义域为[2a－1， a＋1]，值域为[a＋3， 4a]，则a的取值范围是　 　.
11. 函数y＝(1≤x≤3)的值域为 　.
12. 若函数f(x)和g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)＝x2＋2，请写出一个与f(x)是“同象函数”的函数：g(x)＝ 　.
13. 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝x－.
14. (2024·珠海一中高一检测)函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求k的取值范围；
(2)当k＝－1时，求f(x)的值域.
15. 函数y＝(x＞1)的值域为　 　.
16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数y＝3－2x的图象的稳定点；
(2)若函数y＝的图象有两个关于原点对称的稳定点，求a的值及函数的图象的稳定点；
(3)已知函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－4)(a≠0)，若对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围.3.1 练习2　函数的概念(二)
1. 下列区间中，与集合{x|x＜－2，或x≥0}相对应的是(　C　)
A. (－2，0)
B. (－∞，－2]∪[0，＋∞)
C. (－∞，－2)∪[0，＋∞)
D. (－∞，－2]∪(0，＋∞)
【解析】x＜－2可以表示为x∈(－∞，－2)，x≥0可以表示为x∈[0，＋∞).
2. 下列各组函数中，属于同一个函数的是(　B　)
A. y＝x＋1与y＝
B. y＝x2＋1与s＝t2＋1
C. y＝2x与y＝2x(x≥0)
D. y＝(x＋1)2与y＝x2
【解析】A，C中两函数的定义域不同，D中两函数的对应关系不同.
3. 已知函数f(x)＝，则f(x)的值域为(　D　)
A. (－∞，1] B. [1，＋∞)
C. (0，＋∞) D. (0，1]
【解析】∵x2＋1≥1，∴0＜≤1，∴f(x)的值域为(0，1].
4. 已知函数f(x)的定义域为[－2，1)，则函数g(x)＝f＋f(x－3)的定义域为(　A　)
A. [1， 2) B. (1， 2)
C. (2， 3) D. [2，3)
【解析】由题意知解得1≤x＜2.
5. 若函数f(x)＝(x≠2)的值域为集合P，则下列元素中，不属于P的是(　D　)
A. 2 B. －2
C. －1 D. －3
【解析】f(x)＝＝－3－，∵≠0，∴f(x)≠－3，
∴f(x)的值域为{y|y≠－3}，即P＝{y|y≠－3}.
6. 若函数y＝f(x)的定义域是[－1， 3]，则函数g(x)＝的定义域为(　A　)
A. [0， 2]
B. [－3， 5]
C. [－3，－2]∪(2， 5]
D. (－2，2]
【解析】已知函数y＝f(x)的定义域是[－1，3]，要使函数g(x)有意义，则解得0≤x≤2.
7. 已知函数y＝f(－2x＋1)的定义域是[－1，2]，则y＝f(x)的定义域为(　B　)
A.
B. [－3，3]
C. [－1，5]
D. 以上都不对
【解析】由题意知－1≤x≤2，∴－3≤－2x＋1≤3，∴y＝f(x)的定义域为[－3，3].
8. (多选)下列函数中，值域为[0， 4]的是(　AC　)
A. f(x)＝x－1，x∈[1， 5]
B. f(x)＝－x2＋4
C. f(x)＝
D. f(x)＝x＋－2(x＞0)
【解析】当x∈[1，5]时，x－1∈[0，4]，∴函数f(x)＝x－1，x∈[1， 5]的值域是[0， 4]，A正确；∵－x2≤0，∴－x2＋4≤4，∴函数值域是(－∞， 4]，B错误；∵－x2≤0，∴16－x2≤16，又16－x2≥0，∴0≤≤4，即函数值域为[0， 4]，C正确；∵x＞0，∴x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号)，∴x＋－2≥0，故函数值域为[0，＋∞)，D错误.
9. (多选)(2024·广东执信中学高一月考)若某函数的定义域与值域的交集是[a，b]，则称该函数为“[a，b]交汇函数”.下列函数中，属于“[0，1]交汇函数”的是(　AB　)
A. y＝
B. y＝2－x
C. y＝
D. y＝－|x|
【解析】由“[a，b]交汇函数”的定义可知“[0，1]交汇函数”的定义域与值域的交集为[0，1].对于A，y＝的定义域D＝{x|x≤1}，值域B＝{y|y≥0}，则A∩B＝[0，1]，A正确；对于B，y＝2－x的定义域D＝{x|x≥0}，令t＝≥0，则y＝2t－t2＝－(t－1)2＋1≤1，故函数y＝2－x的值域B＝{x|x≤1}，则A∩B＝[0，1]，B正确；对于C，y＝，∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋1≥1，∴0＜≤1，故函数y＝的定义域D＝R，值域B＝{x|0＜x≤1}，则A∩B＝(0，1]，C错误；对于D，y＝－|x|的定义域D＝{x|－1≤x≤1}，y2＝1－x2＋x2－2|x|＝1－2，∵－1≤x≤1，∴0≤x2(1－x2)≤，则0≤y2≤1，∴－1≤y≤1，故y＝－|x|的值域B＝{x|－1≤x≤1}，则A∩B＝[－1，1]，D错误.
10. 若函数f(x)的定义域为[2a－1， a＋1]，值域为[a＋3， 4a]，则a的取值范围是　(1， 2)　.
【解析】由区间的定义知 1＜a＜2.
11. 函数y＝(1≤x≤3)的值域为 　.
【解析】∵1≤x≤3，∴1≤x2≤9，∴≤≤1，∴≤≤8，∴函数y＝(1≤x≤3)的值域为.
12. 若函数f(x)和g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f(x)和g(x)是“同象函数”.已知函数f(x)＝x2＋2，请写出一个与f(x)是“同象函数”的函数：g(x)＝ ＋2(答案不唯一)　.
【解析】f (x)的定义域为R，∵x2＋2≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞).若g(x)＝
＋2，则g(x)的定义域为[0，＋∞)，∵≥0，∴＋2≥2，∴g(x)的值域为[2，＋∞)，∴f(x)与g(x)的值域相同，定义域不同，∴f(x)和g(x)是“同象函数”
13. 求下列函数的值域：
(1)y＝；(2)y＝；
(3)y＝x－.
解：(1)令t＝x2－4x＋6，得t＝(x－2)2＋2，故t∈[2，＋∞)，∴函数的值域为[，＋∞).
(2)∵函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，∴函数的值域为{y|y≠5}.
(3)要使有意义，只需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}.设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，设f(t)＝t2－1－t＝，又t≥0，∴f(t)≥－，∴原函数的值域为.
14. (2024·珠海一中高一检测)函数f(x)＝.
(1)若f(x)的定义域为R，求k的取值范围；
(2)当k＝－1时，求f(x)的值域.
解：(1)由题意得，2kx2＋kx＋＞0对x∈R恒成立，当k＝0时，满足题意；当k≠0时，则解得0＜k＜3.综上可知，k的取值范围是[0，3).
(2)当k＝－1时，令y＝－2x2－x＋＝－2≤，故0＜≤，则f(x)的值域为[，＋∞).
15. 函数y＝(x＞1)的值域为　[0，＋∞)　.
【解析】∵当x＞1时，函数y＝＝(x－1)－2＋≥2－2＝0，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，∴y≥0，即函数的值域为[0， ＋∞).
16. (2024·辽宁大连滨城高中联盟高一月考)函数f(x)的图象上横坐标与纵坐标相等的点称为这个函数的图象的稳定点.
(1)求函数y＝3－2x的图象的稳定点；
(2)若函数y＝的图象有两个关于原点对称的稳定点，求a的值及函数的图象的稳定点；
(3)已知函数y＝ax2＋(b＋1)x＋(b－4)(a≠0)，若对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，求a的取值范围.
解：(1)令3－2x＝x，得x＝1，故函数y＝3－2x的图象的稳定点为(1，1).
(2)设点(x0，x0)是稳定点，则x0＝，即2＋(a－3)x0－18＝0，由题意知该方程有两个根，且这两个根互为相反数，故(a－3)2－4×2×(－18)＞0，－＝0，解得a＝3.由2－18＝0，得x0＝±3，则稳定点为(－3，－3)，(3，3).
(3)对任意实数b，函数的图象恒有两个相异的稳定点，即关于x的方程ax2＋(b＋1)x＋(b－4)＝x恒有两个不相等的实数根，即关于x的方程ax2＋bx＋(b－4)＝0恒有两个不相等的实数根，则Δ1＝b2－4a(b－4)＞0恒成立，即关于b的方程b2－4ab＋16a＞0恒成立，∴Δ2＝16a2－4×16a＜0，解得0＜a＜4.

展开更多......

收起↑