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3.1 练习3　函数的表示法
1. 已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　 　)
A. π2 B. π
C. D. 不能确定
2. 已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于(　 　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
3. (2024·广东阳江高一期中) 函数f(2x＋1)＝x2－3x＋1，则f(3)等于(　 　)
A. －1 B. 2
C. －2 D. 2
4. 小明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中，与这一过程吻合得最好的是(　 　)
A. B.
C. D.
5. 已知函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　 　)
A. {－1，0，3}
B. {0，1，2，3}
C. {y|－1≤y≤3}
D. {y|0≤y≤3}
6. 设f(x)＝，则f[f(x)]等于(　 　)
A. (x≠0，且x≠1)
B. (x≠0)
C. (x≠0，且x≠1)
D. (x≠0)
7. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的本质：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出，则f等于(　 　)
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f(x) 1 2 3
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)＝有意义
B. 函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
C. 函数是其定义域到值域的对应关系
D. 函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线
9. (多选)(2024·苏州高一期中) 将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f(t)的大致图象如图所示，则该几何图形可以是(　 　)
A. B.
C. D.
10. 已知二次函数f(x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f(x)的解析式为　 　.
11. 已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则函数F(x)的解析式为　 　.
12. 已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则函数f(x)的解析式为　 　.
13. 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝的长x(x∈N*)的函数关系.
14. (1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(4)已知f(x)是定义在R上的函数，f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求函数f(x)的解析式.
15. 已知f1(x)＝，对于一切正整数n，都有(x)＝f1[fn(x)]，若f3(x0)＝f6(x0)，则f28(x0) ＝　 　.
16. 已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1).若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.(共26张PPT)
一、函数的概念及其表示
练习3　函数的表示法
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　　)
A. π2 B. π
C. D. 不能确定
【解析】∵π2∈R，∴f(π2)＝π.
B
2. 已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如
图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))
等于(　　)
B
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【解析】由题图知g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2.
3. (2024·广东阳江高一期中) 函数f(2x＋1)＝x2－3x＋1，则f(3)
等于(　　)
A. －1 B. 2
C. －2 D. 2
【解析】方法一　令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝1－3＋1＝－1.
方法二　设2x＋1＝t，则x＝，f(t)＝－3×＋1＝t2－2t＋，即f(x)＝x2－2x＋，∴f(3)＝－6＋＝－1.
A
4. 小明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中，与这一过程吻合得最好的是
(　　)
D
A. B. C. D.
【解析】由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至距离为0，只有D符合题意.
5. 已知函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为
(　　)
A. {－1，0，3} B. {0，1，2，3}
C. {y|－1≤y≤3} D. {y|0≤y≤3}
【解析】当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝
x2－2x的值域为{－1，0，3}.
A
6. 设f(x)＝，则f[f(x)]等于(　　)
A. (x≠0，且x≠1) B. (x≠0)
C. (x≠0，且x≠1) D. (x≠0)
【解析】f[f(x)]＝(x≠0，且x≠1).
A
7. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的本质：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.
已知函数f(x)由下表给出，则f等于(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】∵∈(－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f(10).又10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3.
D
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f(x) 1 2 3
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)＝有意义
B. 函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
C. 函数是其定义域到值域的对应关系
D. 函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线
【解析】对于A，函数f(x)的定义域需满足x≥2，且x≤1，不存在，A错误；对于B，函数y＝2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的，B错误；对于C，函数是其定义域到值域的对应关系，C正确；对于D，函数y＝x2，x≥0的图象是抛物线的一部分，D正确.
CD
9. (多选)(2024·苏州高一期中) 将某几何图形
置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫
过，将该几何图形分成两部分，其中位于直
线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f(t)的大
致图象如图所示，则该几何图形可以是(　 　)
BC
A. B. C. D.
【解析】由已知图象可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小.对于A，由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A错误；对于B，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小，B正确；对于C，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小，C正确；对于D，首先面积S的增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越大，D错误.
10. 已知二次函数f(x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，
则函数f(x)的解析式为_______________________.
【解析】由题意可设f(x)＝a(x＋2)2＋3，又f(－3)＝2，
∴a(－3＋2)2＋3＝2，∴a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝
－x2－4x－1.
f(x)＝－x2－4x－1
11. 已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则函数F(x)的解析式为___________________.
【解析】设f(x)＝bx(b≠0)，g(x)＝(a≠0，x≠0)，则解得因此F(x)＝3x＋(x≠0).
F(x)＝3x＋(x≠0)
12. 已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则函数f(x)的解析式为
____________________.
【解析】用3－x代替原式中的x，得f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝
f(3－x)＋2f(x)＝(3－x)2＝x2－6x＋9.由消去f(3－x)得－3f(x)＝－x2＋12x－18，∴f(x)＝x2－4x＋6.
f(x)＝x2－4x＋6
关 键 能 力 练
13. 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝的长x(x∈N*)的函数关系.
解：这个函数的定义域为{x|1≤x＜10，x∈N*}.
方法一(解析法)　S＝，整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x＜10，x∈N*}.
方法二(列表法)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
方法三(图象法)
14. (1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(4)已知f(x)是定义在R上的函数，f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求函数f(x)的解析式.
解：(1)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴解得∴f(x)＝x2－
x＋1.
(2)方法一(换元法)　令t＝＋2， 则x＝(t－2)2，t≥2，故f(t)＝(t－2)2＋4(t－2)＝t2－4，t≥2，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－4(x≥2).
方法二(配凑法)　f(＋2)＝x＋4＝x＋4＋4－4＝(＋2)2－4.∵＋2≥2，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－4(x≥2).
(3)∵f(x)＋3f(－x)＝2x2－4x，∴f(－x)＋3f(x)＝2(－x)2－
4(－x)＝2x2＋4x，两式联立消去f(－x)，可得f(x)＝x2＋2x.
(4)令y＝x，则f(x－x)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，∴f(x)＝
x2＋x＋1.
拓 展 突 破 练
15. 已知f1(x)＝，对于一切正整数n，都有(x)＝
f1[fn(x)]，若f3(x0)＝f6(x0)，则f28(x0) ＝____________.
【解析】由f1(x)＝，得f2(x)＝＝x，∴f3(x)＝，f4(x)＝x，f5(x)＝，f6(x)＝x，…，∴f28(x)＝x.由f3(x0)＝f6(x0)得＝x0，解得x0＝－1±，∴f28(x0)＝x0＝－1±.
－1±
16. 已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1).若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：
f(x)＝x2－x＋(x－1)2＋1的对称轴为直线x＝1，顶点为
(1，1)且开口向上.∵m＞1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3，或m＝1(舍去)，∴存在实数m＝3满足条件.3.1 练习3　函数的表示法
1. 已知f(x)＝π(x∈R)，则f(π2)等于(　B　)
A. π2 B. π
C. D. 不能确定
【解析】∵π2∈R，∴f(π2)＝π.
2. 已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))等于(　B　)
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
【解析】由题图知g(2)＝1，∴f(g(2))＝f(1)＝2.
3. (2024·广东阳江高一期中) 函数f(2x＋1)＝x2－3x＋1，则f(3)等于(　A　)
A. －1 B. 2
C. －2 D. 2
【解析】方法一　令2x＋1＝3，得x＝1，则f(3)＝1－3＋1＝－1.
方法二　设2x＋1＝t，则x＝，f(t)＝－3×＋1＝t2－2t＋，即f(x)＝x2－2x＋，∴f(3)＝－6＋＝－1.
4. 小明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家.下列图象中，与这一过程吻合得最好的是(　D　)
A. B.
C. D.
【解析】由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至距离为0，只有D符合题意.
5. 已知函数y＝x2－2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　A　)
A. {－1，0，3}
B. {0，1，2，3}
C. {y|－1≤y≤3}
D. {y|0≤y≤3}
【解析】当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1，0，3}.
6. 设f(x)＝，则f[f(x)]等于(　A　)
A. (x≠0，且x≠1)
B. (x≠0)
C. (x≠0，且x≠1)
D. (x≠0)
【解析】f[f(x)]＝(x≠0，且x≠1).
7. 德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的本质：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，都有一个确定的y与之对应，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其他形式.已知函数f(x)由下表给出，则f等于(　D　)
x x≤1 1＜x＜2 x≥2
f(x) 1 2 3
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】∵∈(－∞，1]，∴f＝1，则10f＝10，∴f＝f(10).又10∈[2，＋∞)，∴f(10)＝3.
8. (多选)下列说法中，正确的有(　CD　)
A. 函数f(x)＝有意义
B. 函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线
C. 函数是其定义域到值域的对应关系
D. 函数y＝x2(x≥0)的图象是一条曲线
【解析】对于A，函数f(x)的定义域需满足x≥2，且x≤1，不存在，A错误；对于B，函数y＝2x(x∈N)的图象是由离散的点组成的，B错误；对于C，函数是其定义域到值域的对应关系，C正确；对于D，函数y＝x2，x≥0的图象是抛物线的一部分，D正确.
9. (多选)(2024·苏州高一期中) 将某几何图形置于坐标系xOy中，直线l：x＝t从左向右扫过，将该几何图形分成两部分，其中位于直线l左侧部分的面积为S，若函数S＝f(t)的大致图象如图所示，则该几何图形可以是(　BC　)
A. B.
C. D.
【解析】由已知图象可知面积S的增速经历三种变化，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小.对于A，由圆的性质可知，面积S的增速先越来越大，后越来越小，A错误；对于B，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小，B正确；对于C，首先面积S的增速越来越大，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越小，C正确；对于D，首先面积S的增速越来越小，之后面积S匀速增加，最后面积S的增速越来越大，D错误.
10. 已知二次函数f(x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f(x)的解析式为　f(x)＝－x2－4x－1　.
【解析】由题意可设f(x)＝a(x＋2)2＋3，又f(－3)＝2，∴a(－3＋2)2＋3＝2，
∴a＝－1，∴f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
11. 已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则函数F(x)的解析式为　F(x)＝3x＋(x≠0)　.
【解析】设f(x)＝bx(b≠0)，g(x)＝(a≠0，x≠0)，则解得因此F(x)＝3x＋(x≠0).
12. 已知函数f(x)满足f(x)＋2f(3－x)＝x2，则函数f(x)的解析式为　f(x)＝x2－4x＋6　.
【解析】用3－x代替原式中的x，得f(3－x)＋2f[3－(3－x)]＝f(3－x)＋2f(x)＝
(3－x)2＝x2－6x＋9.由消去f(3－x)得－3f(x)＝
－x2＋12x－18，∴f(x)＝x2－4x＋6.
13. 将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形.试用函数的三种表示法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝的长x(x∈N*)的函数关系.
解：这个函数的定义域为{x|1≤x＜10，x∈N*}.
方法一(解析法)　S＝，整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x＜10，x∈N*}.
方法二(列表法)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
S
方法三(图象法)
14. (1)已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，且f(x＋1)－f(x)＝2x，求函数f(x)的解析式；
(2)已知f(＋2)＝x＋4，求函数f(x)的解析式；
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋3f(－x)＝2x2－4x，求函数f(x)的解析式；
(4)已知f(x)是定义在R上的函数，f(0)＝1，并且对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求函数f(x)的解析式.
解：(1)由题意设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝1，∴c＝1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，
∴解得∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)方法一(换元法)　令t＝＋2， 则x＝(t－2)2，t≥2，故f(t)＝(t－2)2＋4(t－
2)＝t2－4，t≥2，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－4(x≥2).
方法二(配凑法)　f(＋2)＝x＋4＝x＋4＋4－4＝(＋2)2－4.∵＋2≥2，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－4(x≥2).
(3)∵f(x)＋3f(－x)＝2x2－4x，∴f(－x)＋3f(x)＝2(－x)2－4(－x)＝2x2＋4x，两式联立消去f(－x)，可得f(x)＝x2＋2x.
(4)令y＝x，则f(x－x)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，∴f(x)＝x2＋x＋1.
15. 已知f1(x)＝，对于一切正整数n，都有(x)＝f1[fn(x)]，若f3(x0)＝f6(x0)，则f28(x0) ＝　－1±　.
【解析】由f1(x)＝，得f2(x)＝＝x，∴f3(x)＝，f4(x)＝x，f5(x)＝，f6(x)＝x，…，∴f28(x)＝x.由f3(x0)＝f6(x0)得＝x0，解得x0＝－1±，∴f28(x0)＝x0＝－1±.
16. 已知函数f(x)＝x2－x＋，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m＞1).若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：
f(x)＝x2－x＋(x－1)2＋1的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，1)且开口向上.∵m＞1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有m2－m＋＝m，即m2－4m＋3＝0，∴m＝3，或m＝1(舍去)，∴存在实数m＝3满足条件.

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