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3.1练习4　分段函数
1. 函数f(x)＝|x－1|的图象是(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】由题得f(x)＝B正确.
2. 已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　A　)
A. －3 B. 0
C. －1 D. 2
【解析】∵f(x)＝∴f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1，
∴f(f(2))＝f(－1)＝－1－2＝－3.
3. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　A　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【解析】∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，2a＝－2，∴a＝－1，舍去；当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
4. 函数y＝的值域为(　D　)
A. R
B. [0，＋∞)
C. [0， 3]
D. {y|0≤y≤2，或y＝3}
【解析】易得函数的值域为{y|0≤y≤2，或y＝3}.
5. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　B　)
A. － B.
C. － D.
【解析】由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝∴f
－1＝－，∴f＝f＝－＋1＝.
6. (2025·安徽亳州高一期中)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥(x－1)2的解集为(　C　)
A. [0，3] B. [－1，3]
C. [0，2] D. [－1，2]
【解析】原不等式等价于或解得0≤x≤2.
7. 设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　D　)
A. |x|＝x|sgn x| B. |x|＝xsgn|x|
C. |x|＝|x|sgn x D. |x|＝xsgn x
【解析】方法一　取特殊值进行判断，不妨令x＝－5，可知A，B，C都错误，D正确.
方法二　对于A，右边＝x|sgn x|＝而左边＝|x|＝A错误.易判断B，C错误.对于D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝D正确.
8. (多选)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论中，正确的是(　BC　)
A. D(x)的值域为[0，1]
B. D(x)的定义域为R
C. D(x＋1)＝D(x)
D. D(x)的图象经过点
【解析】对于A，F(x)的值域为{0，1}，A错误；对于B，F(x)的定义域为R，B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故F(x＋1)＝F(x)成立，C正确；对于D，∵F＝1，∴F(x)的图象经过点，D错误.
9. (多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法中，正确的是(　ABC　)
A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱
B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加0.7元
【解析】对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱，A正确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正确；对于C，当打车距离为3 km以上时，甲每千米增加的费用为＝1(元)，乙每千米增加的费用为(元)，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加1元，D错误.
10. 已知狄利克雷函数D(x)＝则D[D()]＝　1　.
【解析】∵狄利克雷函数D(x)＝∴D[D()]＝D(0)＝1.
11. (2025·临沂高一期中)函数f(x)＝[x]的函数值为不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，0)时，函数f(x)的解析式为　f(x)＝　.
【解析】当x∈(－2.5，－2)时，f(x)＝－3；当x∈[－2，－1)时，f(x)＝－2；当x∈[－1，0)时，f(x)＝－1.综上，f(x)＝
12. 某市为鼓励居民节约用水，作出了如下规定：每户每月的用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某家庭某月缴水费16m元，则该家庭这个月的实际用水量为　13　立方米.
【解析】每户每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式为y＝m＞0，由y＝16m，可得x＞10.因此2mx－10m＝16m，解得x＝13.
13. (2024·苏州大学附中高一月考) 已知函数f(x)＝2＋(－2＜x≤3).
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)请写出该函数的值域(不需要写解答过程).
　　
答案图
解：(1)当2≤x≤3时，f(x)＝2＋＝1；当－2＜x＜2时，f(x)＝2＋＝3－x，∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的值域为[1，5).
14. (2024·浙江温州十校联合体高一联考) 已知f(x)＝
(1)若f(a)＝，求a的值；
(2)若f[f(k)]＝，求k的值.
解：(1)当a＞0时，由f(a)＝a＋2＝， 得a＝；当a≤0时，由f(a)＝a2＝，解得a＝(舍)，或a＝－，∴a＝，或a＝－.
(2)令f(k)＝t，则f(t)＝.当t＞0时，由f(t)＝t＋2＝，得t＝，∴f(k)＝.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝，得k＝－(舍)；当k≤0时，由f(k)＝k2＝，解得k＝－，或k＝(舍).当t≤0时，由f(t)＝t2＝，解得t＝(舍)，或t＝－.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝－，得k＝－(舍)；当k≤0时，f(k)＝k2＝－无实数解.
综上所述，k＝－.
15. (2025·邢台质检联盟高一月考)已知函数f(x)＝则当f(a)＞f时，a的取值范围是 ∪(1，＋∞)　.
【解析】当a＜0时，f(a)＝0，－＞0，f＞0，原不等式显然不成立；当a＝0时，f(0)＝0，原不等式不成立；当a＞0时，要使得f(a)＞f，有两种情况：第一种情况，当－≥0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，可得a＞－≥0，解得＜a≤；第二种情况，当－＜0时，则f(a)＝a2－a＝a(a－1)＞0，解得a＞1.综上，a的取值范围是∪(1，＋∞).
16. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N三点共线时其面积为零)，求点M第一次到达点A前，y＝f(t)的解析式，并画出y＝f(t)的图象.
解：根据题意，当0≤t≤1时，△AMN的面积为f(t)＝·2t·t＝t2；
当1＜t≤2时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[t－(2t－2)]＝2－t；
当2＜t≤3时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[(2t－4)－(t－2)]＝t－2；
当3＜t≤4时，△AMN的面积为f(t)＝×[2－(2t－6)]×[2－(t－2)]＝(4－t)2，
∴f(t)＝其图象如图所示.(共30张PPT)
一、函数的概念及其表示
练习4　分段函数
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 函数f(x)＝|x－1|的图象是(　　)
B
A. B. C. D.
【解析】由题得f(x)＝B正确.
2. 已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　　)
A. －3 B. 0
C. －1 D. 2
【解析】∵f(x)＝∴f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－
2＝－1，∴f(f(2))＝f(－1)＝－1－2＝－3.
A
3. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值
为(　　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
【解析】∵f(a)＋f(1)＝0，∴f(a)＝－f(1)＝－2，当a＞0时，
2a＝－2，∴a＝－1，舍去；当a≤0时，a＋1＝－2，∴a＝－3.
A
4. 函数y＝的值域为(　　)
A. R
B. [0，＋∞)
C. [0， 3]
D. {y|0≤y≤2，或y＝3}
【解析】易得函数的值域为{y|0≤y≤2，或y＝3}.
D
5. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则
f等于(　　)
A. － B.
C. － D.
B
【解析】由图可知，函数f(x)的解析式为f(x)＝∴f－1＝－，∴f＝
f＝－＋1＝.
6. (2025·安徽亳州高一期中)已知函数f(x)＝
则不等式f(x)≥(x－1)2的解集为(　　)
A. [0，3] B. [－1，3]
C. [0，2] D. [－1，2]
【解析】原不等式等价于或解得0≤x≤2.
C
7. 设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　　)
A. |x|＝x|sgn x| B. |x|＝xsgn|x|
C. |x|＝|x|sgn x D. |x|＝xsgn x
D
【解析】方法一　取特殊值进行判断，不妨令x＝－5，可知A，B，C都错误，D正确.
方法二　对于A，右边＝x|sgn x|＝而左边＝|x|＝A错误.易判断B，C错误.对于D，右边＝xsgn x＝而左边＝|x|＝D正确.
8. (多选)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论
中，正确的是(　 　)
A. D(x)的值域为[0，1]
B. D(x)的定义域为R
C. D(x＋1)＝D(x)
D. D(x)的图象经过点
BC
【解析】对于A，F(x)的值域为{0，1}，A错误；对于B，F(x)的定义域为R，B正确；对于C，当x是有理数时，x＋1也为有理数，当x是无理数时，x＋1也为无理数，故F(x＋1)＝F(x)成立，C正确；对于D，∵F＝1，∴F(x)的图象经过点，D错误.
9. (多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，
现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支
付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所
示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更
省钱
B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加0.7元
ABC
【解析】对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱，A正确；对于B，当打车距离为10 km时，由题图可知，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，B正确；对于C，当打车距离为3 km以上时，甲每千米增加的费用为＝1(元)，乙每千米增加的费用为(元)，故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，C正确；对于D，由题图可知，甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加1元，D错误.
10. 已知狄利克雷函数D(x)＝则D[D()]＝
__________.
【解析】∵狄利克雷函数D(x)＝
∴D[D()]＝D(0)＝1.
1
11. (2025·临沂高一期中)函数f(x)＝[x]的函数值为不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，0)时，函
数f(x)的解析式为________________________________.
f(x)＝
【解析】当x∈(－2.5，－2)时，f(x)＝－3；当x∈[－2，－1)时，f(x)＝－2；当x∈[－1，0)时，f(x)＝－1.综上，f(x)＝
12. 某市为鼓励居民节约用水，作出了如下规定：每户每月的
用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过
10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某家庭某月缴水
费16m元，则该家庭这个月的实际用水量为________立方米.
【解析】每户每月应缴水费y与实际用水量x满足的函数关系式为y＝m＞0，由y＝16m，可得x＞10.因此2mx－10m＝16m，解得x＝13.
13
关 键 能 力 练
13. (2024·苏州大学附中高一月考) 已知函
数f(x)＝2＋(－2＜x≤3).
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函
数的图象；
(3)请写出该函数的值域(不需要写解答过程).
解：(1)当2≤x≤3时，f(x)＝2＋＝1；当－2＜x＜2时，f(x)＝2＋＝3－x，∴f(x)＝
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)f(x)的值域为[1，5).
14. (2024·浙江温州十校联合体高一联考) 已知f(x)＝
(1)若f(a)＝，求a的值；
(2)若f[f(k)]＝，求k的值.
解：(1)当a＞0时，由f(a)＝a＋2＝， 得a＝；当a≤0时，由f(a)＝a2＝，解得a＝(舍)，或a＝－，∴a＝，或a＝－.
(2)令f(k)＝t，则f(t)＝.当t＞0时，由f(t)＝t＋2＝，得t＝，∴f(k)＝.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝，得k＝－(舍)；当k≤0时，由f(k)＝k2＝，解得k＝－，或k＝(舍).当t≤0时，由
f(t)＝t2＝，解得t＝(舍)，或t＝－.当k＞0时，由f(k)＝k＋2＝－，得k＝－(舍)；当k≤0时，f(k)＝k2＝－无实数解.
综上，k＝－.
拓 展 突 破 练
15. (2025·邢台质检联盟高一月考)已知函数f(x)＝
则当f(a)＞f时，a的取值范围是
__________________.
∪(1，＋∞)
【解析】当a＜0时，f(a)＝0，－＞0，f＞0，原不等式显然不成立；当a＝0时，f(0)＝0，原不等式不成立；当
a＞0时，要使得f(a)＞f，有两种情况：第一种情况，当－≥0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，可得a＞－≥0，解得＜a≤；第二种情况，当－＜0时，则f(a)＝
a2－a＝a(a－1)＞0，解得a＞1.综上，a的取值范围是∪(1，＋∞).
16. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，
点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以
每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上
运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，
以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N三点共线时其面积为零)，求点M第一次到达点A前，y＝f(t)的解析式，并画出y＝f(t)的图象.
解：根据题意，当0≤t≤1时，△AMN的面积为f(t)＝·2t·
t＝t2；
当1＜t≤2时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[t－(2t－2)]＝2－t；
当2＜t≤3时，△AMN的面积为f(t)＝×2×[(2t－4)－(t－2)]＝
t－2；
当3＜t≤4时，△AMN的面积为f(t)＝×[2－(2t－6)]×[2－(t－2)]＝(4－t)2，
∴f(t)＝其图象如图所示.3.1练习4　分段函数
1. 函数f(x)＝|x－1|的图象是(　 　)
A. B.
C. D.
2. 已知函数f(x)＝则f(f(2))等于(　 　)
A. －3 B. 0
C. －1 D. 2
3. 已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为(　 　)
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
4. 函数y＝的值域为(　 　)
A. R
B. [0，＋∞)
C. [0， 3]
D. {y|0≤y≤2，或y＝3}
5. 已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
6. (2025·安徽亳州高一期中)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥(x－1)2的解集为(　 　)
A. [0，3] B. [－1，3]
C. [0，2] D. [－1，2]
7. 设x∈R，定义符号函数sgn x＝则(　 　)
A. |x|＝x|sgn x| B. |x|＝xsgn|x|
C. |x|＝|x|sgn x D. |x|＝xsgn x
8. (多选)已知狄利克雷函数D(x)＝则下列结论中，正确的是(　 　)
A. D(x)的值域为[0，1]
B. D(x)的定义域为R
C. D(x＋1)＝D(x)
D. D(x)的图象经过点
9. (多选)某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y与打车里程x的函数关系大致如图所示，则下列说法中，正确的是(　 　)
A. 当打车距离为8 km时，乘客选择甲方案更省钱
B. 当打车距离为10 km时，乘客选择甲、乙方案均可
C. 当打车距离为3 km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D. 甲方案打车距离在3 km内(含3 km)付费5元，大于3 km时每增加1千米，费用增加0.7元
10. 已知狄利克雷函数D(x)＝则D[D()]＝　 　.
11. (2025·临沂高一期中)函数f(x)＝[x]的函数值为不超过x的最大整数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.当x∈(－2.5，0)时，函数f(x)的解析式为　 12. 某市为鼓励居民节约用水，作出了如下规定：每户每月的用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费.某家庭某月缴水费16m元，则该家庭这个月的实际用水量为　 　立方米.
13. (2024·苏州大学附中高一月考) 已知函数f(x)＝2＋(－2＜x≤3).
(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)请写出该函数的值域(不需要写解答过程).
　　
14. (2024·浙江温州十校联合体高一联考) 已知f(x)＝
(1)若f(a)＝，求a的值；
(2)若f[f(k)]＝，求k的值.
15. (2025·邢台质检联盟高一月考)已知函数f(x)＝则当f(a)＞f时，a的取值范围是 　.
16. 如图所示，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位长度的速度在正方形ABCD的边上运动.点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N三点共线时其面积为零)，求点M第一次到达点A前，y＝f(t)的解析式，并画出y＝f(t)的图象.

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