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二、函数的基本性质
练习1　函数的单调性
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 函数f(x)＝在R上(　　)
A. 是减函数 B. 是增函数
C. 先减后增 D. 先增后减
【解析】画出该分段函数的图象如图所示，由图象知，该函数在R上是增函数.
B
2. (2024·河北沧州高一期中) 如图所示为函数
y＝f(x)的图象，其定义域为[－2，＋∞)，则函
数f(x)的单调递减区间是(　　)
A. [－1，0)
B. [1，＋∞)
C. [－1，0)，[1，＋∞)
D. [－1，0)∪[1，＋∞)
【解析】由图可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞).
C
3. 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0成立，则(　　)
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)在R上是减函数
C. 函数f(x)先增后减
D. 函数f(x)先减后增
【解析】由＞0知f(a)－f(b)与a－b同号，即当a＜b时，f(a)＜f(b)，当a＞b时，f(a)＞f(b)，∴f(x)在R上是增函数.
A
4. 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递
减区间是(　　)
A. (－∞， 0] B. [0， 1)
C. [1，＋∞) D. [－1， 0]
B
【解析】g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1).
5. (2024·江苏连云港高一期中) 已知函数f(x)＝x2－2mx＋1在
(－∞，1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
【解析】∵函数f(x)＝x2－2mx＋1在(－∞，1)上单调递减，
f(x)＝x2－2mx＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞).
D
6. 已知定义在[0，＋∞)上的减函数f(x)，若f(2a－1)＞f，则
a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】根据题意，f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
若f(2a－1)＞f，则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为.
D
7. (2024·山东泰安一中高一期中) 若实数a＞0，函数f(x)＝在R上是单调函数，则a的取值范围
是 (　　)
A. (0，4] B. [1，2]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
C
【解析】∵实数a＞0，函数f(x)＝在R上是单调函数，∴f(x)在R上单调递增，∴解得1≤a≤4，∴a的取值范围是
[1，4].
8. (多选)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意
的x1，x2∈[a， b](x1≠x2)，下列结论中，正确的有(　 　)
A. ＞0
B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. 若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D. ＜0
【解析】∵f(x)在[a，b]上单调递增，∴对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B正确，D错误；C中，若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，∴C错误.
AB
9. (多选)下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)，都有
＜0”的有(　　)
A. f(x)＝|x－1|
B. f(x)＝－3x＋1
C. f(x)＝x2＋4x＋3
D. f(x)＝
BD
【解析】由题意得y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝|x－1|在(1，＋∞)上单调递增，A错误；对于B，f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，B正确；对于C，f(x)＝x2＋4x＋3的图象的对称轴方程为x＝－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；对于D，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，D正确.
10. 函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是__________________.
【解析】y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图所示.由图象可知，其单调递增区间为[－1， 1]，[3，＋∞).
[－1， 1]，[3，＋∞)
11. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在
[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)＜f(2)，则实数m的取值范围是__________.
【解析】∵f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)
上单调递增，∴－＝1，∴a＝－2.作出函数f(x)的
图象如图所示.∵f(m＋2)＜f(2)，f(0)＝f(2)，∴0＜
m＋2＜2，∴－2＜m＜0，则实数m的取值范围是(－2， 0).
(－2， 0)
12. (2024·北京延庆区高一期中) 已知f(x)＝
①若a＝0，则f(－1)＝__________；
②若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围是_______________.
－1
(－∞，－8]∪{0}
【解析】①若a＝0，则f(x)＝由－1≤0，得
f(－1)＝－(－1)2＝－1.②若f(x)在R上单调递增，则解得a≤－8，或a＝0，则a的取值范围是(－∞，－8]∪{0}.
关 键 能 力 练
13. 已知函数g(x)＝ax＋满足g(1)＝g(4)＝5.
(1)求a，b的值；
(2)用单调性定义证明：g(x)在(2，＋∞)上单调递增.
(1)解：∵函数g(x)＝ax＋，且g(1)＝g(4)＝5，
∴a＋b＝5，4a＋＝5，解得a＝1，b＝4.
(2)证明：由(1)知，g(x)＝x＋，任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，有g(x1)－g(x2)＝x1＋.∵x1，x2∈(2，＋∞)，∴x1x2＞0，x1x2－4＞0.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2)，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增.
14. 已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2， 2)，且满足f(－2m＋3)＞f(m2)，求m的取值范围.
解：(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1＞x2＞－2，则f(x1)－f(x2)＝，∵x1＞x2＞－2，∴x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－
x1＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递减.
(2)由(1)可知，当x∈(－2， 2)时，函数f(x)是减函数，∴由
f(－2m＋3)＞f(m2)得，解得1＜m＜，∴m的取值范围为(1， ).
拓 展 突 破 练
15. 若函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则
满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　　)
A. (3， ＋∞) B. (－∞， 3)
C. [2， 3) D. [0， 3)
【解析】∵f(2)＝－1，f(2x－4)＞－1，∴f(2x－4)＞f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴即2≤x＜3.
C
16. (2024·北京育才中学高一月考)设函数f(x)同时满足以下条件：①定义域为R；②f(0)＝1；③ x1，x2∈R，当x1≠x2时，＜0.试写出一个函数解析式：f(x)＝_____________ __________.
【解析】由③，不妨设x1＜x2，即x2－x1＞0，都有＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴由题意可知f(x)是定义域为R的减函数，且满足f(0)＝1，不妨设一次函数y＝－x＋b满足题意，则1＝－0＋b，即b＝1，函数解析式可为f(x)＝－x＋1(答案不唯一).
－x＋1(答案
不唯一)3.2 练习1　函数的单调性
1. 函数f(x)＝在R上(　 　)
A. 是减函数 B. 是增函数
C. 先减后增 D. 先增后减
2. (2024·河北沧州高一期中) 如图所示为函数y＝f(x)的图象，其定义域为[－2，＋∞)，则函数f(x)的单调递减区间是(　 　)
A. [－1，0)
B. [1，＋∞)
C. [－1，0)，[1，＋∞)
D. [－1，0)∪[1，＋∞)
3. 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0成立，则(　 　)
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)在R上是减函数
C. 函数f(x)先增后减
D. 函数f(x)先减后增
4. 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　 　)
A. (－∞， 0] B. [0， 1)
C. [1，＋∞) D. [－1， 0]
5. (2024·江苏连云港高一期中) 已知函数f(x)＝x2－2mx＋1在(－∞，1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　 　)
A. (－∞，－1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
6. 已知定义在[0，＋∞)上的减函数f(x)，若f(2a－1)＞f，则a的取值范围是(　 　)
A.
B.
C.
D.
7. (2024·山东泰安一中高一期中) 若实数a＞0，函数f(x)＝在R上是单调函数，则a的取值范围是 (　 　)
A. (0，4] B. [1，2]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
8. (多选)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a， b](x1≠x2)，下列结论中，正确的有(　 　)
A. ＞0
B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. 若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D. ＜0
9. (多选)下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)，都有＜0”的有(　 　)
A. f(x)＝|x－1|
B. f(x)＝－3x＋1
C. f(x)＝x2＋4x＋3
D. f(x)＝
10. 函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是　 　.
11. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)＜f(2)，则实数m的取值范围是　 　.
12. (2024·北京延庆区高一期中) 已知f(x)＝
①若a＝0，则f(－1)＝　 　；
②若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围是　 　.
13. 已知函数g(x)＝ax＋满足g(1)＝g(4)＝5.
(1)求a，b的值；
(2)用单调性定义证明：g(x)在(2，＋∞)上单调递增.
14. 已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2， 2)，且满足f(－2m＋3)＞f(m2)，求m的取值范围.
15. 若函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　 　)
A. (3， ＋∞) B. (－∞， 3)
C. [2， 3) D. [0， 3)
16. (2024·北京育才中学高一月考)设函数f(x)同时满足以下条件：①定义域为R；②f(0)＝1；③ x1，x2∈R，当x1≠x2时，＜0.试写出一个函数解析式：f(x)＝　 　. 3.2 练习1　函数的单调性
1. 函数f(x)＝在R上(　B　)
A. 是减函数 B. 是增函数
C. 先减后增 D. 先增后减
【解析】画出该分段函数的图象如图所示，由图象知，该函数在R上是增函数.
2. (2024·河北沧州高一期中) 如图所示为函数y＝f(x)的图象，其定义域为[－2，＋∞)，则函数f(x)的单调递减区间是(　C　)
A. [－1，0)
B. [1，＋∞)
C. [－1，0)，[1，＋∞)
D. [－1，0)∪[1，＋∞)
【解析】由图可知，f(x)的单调递减区间为[－1，0)，[1，＋∞).
3. 若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有＞0成立，则(　A　)
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)在R上是减函数
C. 函数f(x)先增后减
D. 函数f(x)先减后增
【解析】由＞0知f(a)－f(b)与a－b同号，即当a＜b时，f(a)＜f(b)，
当a＞b时，f(a)＞f(b)，∴f(x)在R上是增函数.
4. 设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是(　B　)
A. (－∞， 0] B. [0， 1)
C. [1，＋∞) D. [－1， 0]
【解析】g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1).
5. (2024·江苏连云港高一期中) 已知函数f(x)＝x2－2mx＋1在(－∞，1)上单调递减，则实数m的取值范围是(　D　)
A. (－∞，－1) B. (－1，＋∞)
C. (－∞，1] D. [1，＋∞)
【解析】∵函数f(x)＝x2－2mx＋1在(－∞，1)上单调递减，f(x)＝x2－2mx＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝m，∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，＋∞).
6. 已知定义在[0，＋∞)上的减函数f(x)，若f(2a－1)＞f，则a的取值范围是(　D　)
A.
B.
C.
D.
【解析】根据题意，f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，若f(2a－1)＞f，则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为.
7. (2024·山东泰安一中高一期中) 若实数a＞0，函数f(x)＝在R上是单调函数，则a的取值范围是 (　C　)
A. (0，4] B. [1，2]
C. [1，4] D. [2，＋∞)
【解析】∵实数a＞0，函数f(x)＝在R上是单调函数，∴f(x)在R上单调递增，∴解得1≤a≤4，∴a的取值范围是[1，4].
8. (多选)如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a， b](x1≠x2)，下列结论中，正确的有(　AB　)
A. ＞0
B. (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C. 若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D. ＜0
【解析】∵f(x)在[a，b]上单调递增，∴对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B正确，D错误；C中，若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，∴C错误.
9. (多选)下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)，都有＜0”的有(　BD　)
A. f(x)＝|x－1|
B. f(x)＝－3x＋1
C. f(x)＝x2＋4x＋3
D. f(x)＝
【解析】由题意得y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减.对于A，f(x)＝|x－1|在(1，＋∞)上单调递增，A错误；对于B，f(x)＝－3x＋1在(0，＋∞)上单调递减，B正确；对于C，f(x)＝x2＋4x＋3的图象的对称轴方程为x＝－2，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C错误；对于D，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，D正确.
10. 函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是　[－1， 1]，[3，＋∞)　.
【解析】y＝|x2－2x－3|＝|(x－1)2－4|，作出该函数的图象，如图所示.由图象可知，其单调递增区间为[－1， 1]，[3，＋∞).
11. 已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)＜f(2)，则实数m的取值范围是　(－2， 0)　.
【解析】∵f(x)在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴－＝1，∴a＝－2.作出函数f(x)的图象如图所示.∵f(m＋2)＜f(2)，f(0)＝f(2)，∴0＜m＋2＜2，∴－2＜m＜0，则实数m的取值范围是(－2， 0).
12. (2024·北京延庆区高一期中) 已知f(x)＝
①若a＝0，则f(－1)＝　－1　；
②若f(x)在R上单调递增，则a的取值范围是　(－∞，－8]∪{0}　.
【解析】①若a＝0，则f(x)＝由－1≤0，得f(－1)＝－(－1)2＝－1.②若f(x)在R上单调递增，则解得a≤－8，或a＝0，则a的取值范围是(－∞，－8]∪{0}.
13. 已知函数g(x)＝ax＋满足g(1)＝g(4)＝5.
(1)求a，b的值；
(2)用单调性定义证明：g(x)在(2，＋∞)上单调递增.
(1)解：∵函数g(x)＝ax＋，且g(1)＝g(4)＝5，
∴a＋b＝5，4a＋＝5，解得a＝1，b＝4.
(2)证明：由(1)知，g(x)＝x＋，任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，有g(x1)－g(x2)＝x1＋.∵x1，x2∈(2，＋∞)，∴x1x2＞0，x1x2－4＞0.∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴g(x1)－g(x2)＜0，即g(x1)＜g(x2)，∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增.
14. 已知函数f(x)＝.
(1)判断并证明函数f(x)在(－2，＋∞)上的单调性；
(2)若函数f(x)的定义域为(－2， 2)，且满足f(－2m＋3)＞f(m2)，求m的取值范围.
解：(1)f(x)＝＝3＋，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减，证明如下：设x1＞
x2＞－2，则f(x1)－f(x2)＝，∵x1＞x2＞－2，∴x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0，∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递减.
(2)由(1)可知，当x∈(－2， 2)时，函数f(x)是减函数，∴由f(－2m＋3)＞f(m2)得，解得1＜m＜，∴m的取值范围为(1， ).
15. 若函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)＞－1的实数x的取值范围是(　C　)
A. (3， ＋∞) B. (－∞， 3)
C. [2， 3) D. [0， 3)
【解析】∵f(2)＝－1，f(2x－4)＞－1，∴f(2x－4)＞f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递减，∴即2≤x＜3.
16. (2024·北京育才中学高一月考)设函数f(x)同时满足以下条件：①定义域为R；②f(0)＝1；③ x1，x2∈R，当x1≠x2时，＜0.试写出一个函数解析式：f(x)＝　－x＋1(答案不唯一)　.
【解析】由③，不妨设x1＜x2，即x2－x1＞0，都有＜0，即f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，∴由题意可知f(x)是定义域为R的减函数，且满足f(0)＝1，不妨设一次函数y＝－x＋b满足题意，则1＝－0＋b，即b＝1，函数解析式可为f(x)＝－x＋1(答案不唯一).

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