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3.2 练习2　函数的最大(小)值
1. 下列函数中，在[1， 4]上最大值为3的是(　A　)
A. y＝＋2 B. y＝3x－2
C. y＝x2 D. y＝1－x
【解析】B，C在[1， 4]上均单调递增，A，D在[1， 4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.
2. 函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　C　)
A. [0， 3] B. [1， 4]
C. [0， 6] D. [0， 4]
【解析】∵函数y＝x＋在区间[0，4]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f(4)＝6，∴f(x)在[0， 4]上的值域为[0， 6].
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)
A. B. －
C. 或－ D. 0
【解析】当a＞0时，由题意得4a＋1－1＝2，则a＝；当a＜0时，由题意得
1－(4a＋1)＝2，则a＝－.综上，a＝±.
4. 函数f(x)＝的最大值是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝≥，∴≤，f(x)的最大值为.
5. 已知f(x)是定义在[0， 1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)”是“函数f(x)在[0，1]上单调递减”的 (　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】若函数f(x)在[0，1]上单调递减，由单调性的定义可知，函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)，故必要性成立；若函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)，则函数f(x)在[0，1]上不一定具有单调性，比如函数f(x)＝，故充分性不
成立.
6. 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋16万元，每件商品的售价为28元，假设每月所生产的商品能全部售完，记当月生产商品所获得的总利润为w(x)万元，单件的平均利润为万元，则下列说法中，正确的是 (　D　)
A. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为144万元
B. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为160万元
C. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为24元
D. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元
【解析】由题意可得w(x)＝28x－C(x)＝－x2＋24x－16＝－(x－12)2＋128，故当x＝12时，w(x)取得最大值128.＝24－≤24－2＝16，当且仅当x＝4时，等号成立，故当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为128万元；当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元.
7. (2024·杭州高一期中)已知函数f(x)＝的最小值为f(1)，则a的取值范围是(　A　)
A. [1，5]
B. (5，＋∞)
C. (0，5)
D. (－∞，1)∪(5，＋∞)
【解析】∵函数f(x)的最小值为f(1)，∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则a≥1，f(1)＝3－2a.当x＞1时，由基本不等式可得f(x)＝x＋－3a≥2－3a＝8－3a，当且仅当x＝4时，等号成立.由题意可得3－2a≤8－3a，解得a≤5.综上，a的取值范围是[1，5].
8. (多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)(　BD　)
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象.当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)无最小值.
9. (多选)已知函数f(x)＝，则该函数(　AD　)
A. 最大值为
B. 最大值为
C. 没有最小值
D. 在区间(1， 2)上单调递增
【解析】f(x)＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立， x1，x2∈，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)在上单调递减且值域为；当1＜x1＜x2＜2时，有1－＞0，故f(x1)＜f(x2)，即函数f(x)在(1， 2)上单调递增且值域为，∴函数f(x)的最大值为，A，D正确.
10. 已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为　1　.
【解析】由题意得，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋，
∵解得0＜x＜6，∴当x＝1时，S取得最大值.
11. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为　2　.
【解析】设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a)＝(a－2)2＋2，
∴f(a)min＝f(2)＝2， ∴M≤2，∴Mmax＝2.
12. 已知a＞0，x1，x2为方程x2＋2x＋a＝0的两个实数根，则的最大值为　－2　.
【解析】由题意可知解得0＜a≤1，且故＝－.∵f(a)＝－在(0，1]上单调递增，∴当a＝1时，f(a)＝－取得最大值－2，∴的最大值为－2.
13. (2024·深圳中学高一检测)已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0， ＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最值.
解：(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝.
∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＞0，x2－x1＞0，(x1x2)2＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递减.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1， 3]上单调递减，∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝2；当x＝3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(3)＝.
14. 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品的销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P(单位：元)，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.
解：(1)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题中表格可得解得
∴y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，且销售单价不低于进价，∴30≤x≤54，故所求函数解析式为y＝
－3x＋162，x∈[30， 54].
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30， 54]，∴当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润.
15. (2024·效实中学高一检测)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，若对任意的x1∈[－1， 2]，都存在x0∈[－1， 2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是 　.
【解析】∵函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上，其对称轴方程为x＝1，∴当x∈[－1， 2]时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，最大值为f(－1)＝3，则此时f(x)的取值范围为[－1， 3].∵g(x)＝ax＋2(a＞0)在[－1， 2]上单调递增，∴当x∈[－1， 2]时，g(x)的最小值为g(－1)＝－a＋2，最大值为g(2)＝2a＋2，此时g(x)的取值范围为[－a＋2， 2a＋2].∵对任意的x1∈[－1， 2]，都存在x0∈[－1， 2]，使得g(x1)＝f(x0)，
∴解得0＜a≤.
16. (2024·山东日照高一期末) 设MI表示函数f(x)＝在闭区间I上的最大值.若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是　[4－2，1]　.
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，f(x)的图象的对称轴为直线x＝4，且f(4)＝f(0)＝f(8)＝1.令f(x)＝0，得x＝4±2.当a＞8时，M[0，a]＝f(a)，M[a，2a]＝f(2a)，依题意得f(a)≥2f(2a)，∵函数f(x)在[4＋2，＋∞)上单调递增，4＋2＜a＜2a，∴0＜f(a)＜f(2a)，矛盾，故a＞8不满足题意；当a≤8时，M[0，a]＝1，依题意得1≥2M[a，2a]，即M[a，2a]≤.令f(x)＝，解得x1＝4－2，x2＝2，x3＝6，x4＝4＋2，则①a≥4－2，且2a≤2，解得4－2≤a≤1；②a≥6，且2a≤4＋2，无解.综上，4－2≤a≤1.(共28张PPT)
二、函数的基本性质
练习2　函数的最大(小)值
函数的概念与性质
第三章
　高中数学 必修 第一册
必 备 知 识 练
1. 下列函数中，在[1， 4]上最大值为3的是(　　)
A. y＝＋2 B. y＝3x－2
C. y＝x2 D. y＝1－x
【解析】B，C在[1， 4]上均单调递增，A，D在[1， 4]上均单调递减，代入端点值，即可求得最值.
A
2. 函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　)
A. [0， 3] B. [1， 4]
C. [0， 6] D. [0， 4]
【解析】∵函数y＝x＋在区间[0，4]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f(4)＝6，∴f(x)在[0， 4]上的值域为[0， 6].
C
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　　)
A. B. －
C. 或－ D. 0
【解析】当a＞0时，由题意得4a＋1－1＝2，则a＝；当a＜0时，由题意得1－(4a＋1)＝2，则a＝－.综上，a＝±.
C
4. 函数f(x)＝的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝≥，∴≤，f(x)的最大值为.
C
5. 已知f(x)是定义在[0， 1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]
上的最大值为f(0)”是“函数f(x)在[0，1]上单调递减”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
【解析】若函数f(x)在[0，1]上单调递减，由单调性的定义可知，函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)，故必要性成立；若函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)，则函数f(x)在[0，1]上不一定具有单调性，比如函数f(x)＝，故充分性不成立.
6. 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋16万元，每件商品的售价为28元，假设每月所生产的商品能全部售完，记当月生产商品所获得的总利润为w(x)万元，单
件的平均利润为万元，则下列说法中，正确的是 (　　)
A. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为144万元
B. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为160万元
C. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为24元
D. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元
D
【解析】由题意可得w(x)＝28x－C(x)＝－x2＋24x－16＝－(x－12)2＋128，故当x＝12时，w(x)取得最大值128.＝24－≤24－2＝16，当且仅当x＝4时，等号成立，故当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为128万元；当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元.
7. (2024·杭州高一期中)已知函数f(x)＝
的最小值为f(1)，则a的取值范围是(　　)
A. [1，5]
B. (5，＋∞)
C. (0，5)
D. (－∞，1)∪(5，＋∞)
A
【解析】∵函数f(x)的最小值为f(1)，∴函数f(x)在(－∞，1]上单调递减，则a≥1，f(1)＝3－2a.当x＞1时，由基本不等式可得
f(x)＝x＋－3a≥2－3a＝8－3a，当且仅当x＝4时，等号成立.由题意可得3－2a≤8－3a，解得a≤5.综上，a的取值范围是[1，5].
8. (多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小
者，则f(x)(　 　)
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数
y＝2－x2，y＝x的图象，如图所示.根据题意，
图中实线部分即为函数f(x)的图象.当x＝1时，
f(x)取得最大值，且f(x)max＝1，由图象知f(x)
无最小值.
BD
9. (多选)已知函数f(x)＝，则该函数(　 　)
A. 最大值为
B. 最大值为
C. 没有最小值
D. 在区间(1， 2)上单调递增
AD
【解析】f(x)＝＝1＋x＋≥1＋2＝3，当且仅当
x＝1时，等号成立， x1，x2∈，且x1＜x2，则f(x1)－
f(x2)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·，x1－x2＜0，当≤x1＜x2＜1时，有1－＜0，故f(x1)＞f(x2)，即函数f(x)在
上单调递减且值域为；当1＜x1＜x2＜2时，有
1－＞0，故f(x1)＜f(x2)，即函数f(x)在(1， 2)上单调递增且值域为，∴函数f(x)的最大值为，A，D正确.
10. 已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为__________.
【解析】由题意得，S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12＝－(x－1)2＋，∵解得0＜x＜6，∴当x＝1时，S取得最大值.
1
11. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为__________.
【解析】设f(a)＝a2－4a＋6，f(a)≥M，即f(a)min≥M.而f(a)＝
(a－2)2＋2， ∴f(a)min＝f(2)＝2， ∴M≤2，∴Mmax＝2.
2
12. 已知a＞0，x1，x2为方程x2＋2x＋a＝0的两个实数根，则
的最大值为__________.
【解析】由题意可知解得0＜a≤1，且故＝－.∵f(a)＝－在(0，1]上单调递增，∴当a＝1时，f(a)＝－取得最大值－2，∴的最大值为－2.
－2
关 键 能 力 练
13. (2024·深圳中学高一检测)已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0， ＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最值.
解：(1)函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减.证明如下：
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝.
∵x2＞x1＞0，∴x1＋x2＞0，x2－x1＞0，(x1x2)2＞0，∴f(x1)－
f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴函数f(x)在区间(0， ＋∞)上单调递减.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1， 3]上单调递减，∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)＝2；当x＝3时，函数f(x)取得最小值，最小值为f(3)＝.
14. 某商场经营一批进价为每件30元的
商品，在市场试销中发现，该商品的销
售单价x(不低于进价，单位：元)与日销
售量y(单位：件)之间有如下关系：
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P(单位：元)，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.
x 45 50
y 27 12
解：(1)∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，由题中表格可得解得
∴y＝f(x)＝－3x＋162.
又y≥0，且销售单价不低于进价，∴30≤x≤54，故所求函数解析式为y＝－3x＋162，x∈[30， 54].
(2)由题意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4 860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30， 54]，∴当x＝42时，Pmax＝432，即当销售单价为42元时，能获得最大的日销售利润.
拓 展 突 破 练
15. (2024·效实中学高一检测)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，若对任意的x1∈[－1， 2]，都存在x0∈[－1， 2]，
使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是___________.
【解析】∵函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上，其对称轴方程为x＝1，∴当x∈[－1， 2]时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，最大值为f(－1)＝3，则此时f(x)的取值范围为[－1， 3].∵g(x)＝ax＋2(a＞0)在[－1， 2]上单调递增，∴当x∈[－1， 2]时，g(x)的最小值为g(－1)＝－a＋2，最大值为g(2)＝2a＋2，此时g(x)的取值范围为[－a＋2， 2a＋2].∵对任意的x1∈[－1， 2]，都存在x0∈[－1， 2]，使得g(x1)＝f(x0)，∴解得0＜a≤.
16. (2024·山东日照高一期末) 设MI表示函数f(x)＝
在闭区间I上的最大值.若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实
数a的取值范围是_____________.
[4－2，1]
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
f(x)的图象的对称轴为直线x＝4，且
f(4)＝f(0)＝f(8)＝1.令f(x)＝0，得x＝
4±2.当a＞8时，M[0，a]＝f(a)，
M[a，2a]＝f(2a)，依题意得f(a)≥2f(2a)，
∵函数f(x)在[4＋2，＋∞)上单调递增，
4＋2＜a＜2a，∴0＜f(a)＜f(2a)，矛盾，故a＞8不满足题意；当a≤8时，M[0，a]＝1，依题意得1≥2M[a，2a]，即M[a，2a]≤.令f(x)＝，解得x1＝4－2，x2＝2，x3＝6，x4＝4＋2，则①a≥4－2，且2a≤2，解得4－2≤a≤1；②a≥6，且2a≤4＋2，无解.综上，4－2≤a≤1.3.2 练习2　函数的最大(小)值
1. 下列函数中，在[1， 4]上最大值为3的是(　 　)
A. y＝＋2 B. y＝3x－2
C. y＝x2 D. y＝1－x
2. 函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　 　)
A. [0， 3] B. [1， 4]
C. [0， 6] D. [0， 4]
3. 若函数y＝ax2＋1在[－1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　 　)
A. B. －
C. 或－ D. 0
4. 函数f(x)＝的最大值是(　 　)
A. B.
C. D.
5. 已知f(x)是定义在[0， 1]上的函数，那么“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(0)”是“函数f(x)在[0，1]上单调递减”的 (　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋16万元，每件商品的售价为28元，假设每月所生产的商品能全部售完，记当月生产商品所获得的总利润为w(x)万元，单件的平均利润为万元，则下列说法中，正确的是 (　 　)
A. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为144万元
B. 当一个月生产12万件时，当月的总利润最大，为160万元
C. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为24元
D. 当一个月生产4万件时，当月的单件平均利润最大，为16元
7. (2024·杭州高一期中)已知函数f(x)＝的最小值为f(1)，则a的取值范围是(　 　)
A. [1，5]
B. (5，＋∞)
C. (0，5)
D. (－∞，1)∪(5，＋∞)
8. (多选)若x∈R，f(x)是y＝2－x2，y＝x这两个函数中的较小者，则f(x)(　 　)
A. 最大值为2 B. 最大值为1
C. 最小值为－1 D. 无最小值
9. (多选)已知函数f(x)＝，则该函数(　 　)
A. 最大值为
B. 最大值为
C. 没有最小值
D. 在区间(1， 2)上单调递增
10. 已知长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时，面积S最大，此时x的值为　 　.
11. 对于函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于a∈R，a2－4a＋6的下确界为　 　.
12. 已知a＞0，x1，x2为方程x2＋2x＋a＝0的两个实数根，则的最大值为　 　.
13. (2024·深圳中学高一检测)已知函数f(x)＝＋1.
(1)判断函数f(x)在区间(0， ＋∞)上的单调性并证明；
(2)求f(x)在[1，3]上的最值.
14. 某商场经营一批进价为每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品的销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：
x 45 50
y 27 12
(1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数的定义域)；
(2)若日销售利润为P(单位：元)，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，能获得最大的日销售利润.
15. (2024·效实中学高一检测)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a＞0)，若对任意的x1∈[－1， 2]，都存在x0∈[－1， 2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是 　.
16. (2024·山东日照高一期末) 设MI表示函数f(x)＝在闭区间I上的最大值.若正实数a满足M[0，a]≥2M[a，2a]，则正实数a的取值范围是　 　.

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