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3.2 练习3　函数的奇偶性
1. 若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　 　)
A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　 　)
A. y＝x3 B. y＝|x|＋1
C. y＝－x2＋1 D. y＝2x＋1
3. 函数f(x)＝的图象关于(　 　)
A. y轴对称 B. x轴对称
C. 坐标原点对称 D. 直线y＝x对称
4. 如图所示，这是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论中，正确的是(　 　)
A. f(－2)－f(6)＝0
B. f(－2)－f(6)＜0
C. f(－2)＋f(6)＜0
D. f(－2)－f(6)＞0
5. (2024·山东德州高一期中) 若函数f(x)＝是定义在(－2a＋2，0)∪(0，a)上的偶函数，则f(1)的值为(　 　)
A. － B. 3
C. D. 51
6. 函数f(x)＝的图象大致是(　 　)
A. B.
C. D.
7. 设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则h(－1)的值为(　 　)
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B. 图象关于y轴对称的函数是偶函数
C. 奇函数的图象一定过坐标原点
D. 偶函数的图象一定与y轴相交
9. (多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. y＝f(x)g(x)为奇函数
B. y＝|f(x)|g(x)为偶函数
C. y＝f(x)|g(x)|为偶函数
D. y＝|f(x)g(x)|为偶函数
10. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝　 　.
11. (2024·路桥中学高一检测)已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是　 　.
12. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝　 　.
13. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
14. (2024·苏州中学高一检测)设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)小鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗 请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间.
15. 已知实数x，y满足(x－1)3＋2 024(x－1)＝－2，(y－1)3＋2 024(y－1)＝2，则x＋y＝　 　.
16. 已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论 (不必证明)(共26张PPT)
二、函数的基本性质
练习3　函数的奇偶性
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　)
A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.
C
2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)
A. y＝x3 B. y＝|x|＋1
C. y＝－x2＋1 D. y＝2x＋1
【解析】排除法.偶函数只有B，C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，B正确.
B
3. 函数f(x)＝的图象关于(　　)
A. y轴对称 B. x轴对称
C. 坐标原点对称 D. 直线y＝x对称
【解析】∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}，且f(－x)＝＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，A正确.
A
4. 如图所示，这是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信
息，下列结论中，正确的是(　　)
A. f(－2)－f(6)＝0
B. f(－2)－f(6)＜0
C. f(－2)＋f(6)＜0
D. f(－2)－f(6)＞0
【解析】由题图可知，f(2)＜f(6)，又f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)＜0.
B
5. (2024·山东德州高一期中) 若函数f(x)＝
是定义在(－2a＋2，0)∪(0，a)上的偶函数，则f(1)的值为(　　)
A. － B. 3
C. D. 51
B
【解析】由题意，定义域(－2a＋2，0)∪(0，a)关于原点对称，则－2a＋2＝－a，解得a＝2，则f(x)＝，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即恒成立，解得b＝1，则f(x)＝＝2x2＋1，x∈(－2，0)∪(0，2)，∴f(1)＝2×12＋1＝3，B正确.
6. 函数f(x)＝的图象大致是(　　)
B
A. B.
C. D.
【解析】函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，由
f(－x)＝－＝－f(x)，可得f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，可排除C；当x＞0时，f(x)＞0，可排除A，D.
7. 设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则h(－1)的值
为(　　)
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
【解析】由函数f(x)＝可得f(1)＝1＋1＝2，
∵函数f(x)为奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝－2，又由f(－1)＝h(－1)，即h(－1)＝－2，可得h(－1)＝－4，A正确.
A
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B. 图象关于y轴对称的函数是偶函数
C. 奇函数的图象一定过坐标原点
D. 偶函数的图象一定与y轴相交
【解析】由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，C错误；对于D，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，
＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，D错误.
AB
9. (多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，
g(x)是偶函数，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. y＝f(x)g(x)为奇函数 B. y＝|f(x)|g(x)为偶函数
C. y＝f(x)|g(x)|为偶函数 D. y＝|f(x)g(x)|为偶函数
【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴y＝|f(x)|为偶函数，y＝|g(x)|为偶函数，∴y＝f(x)g(x)为奇函数，y＝|f(x)|g(x)为偶函数，y＝f(x)|g(x)|为奇函数，y＝|f(x)g(x)|为偶函数，A，B，D
正确.
ABD
10. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)
－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝__________.
【解析】在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.
1
11. (2024·路桥中学高一检测)已知函数f(x)是
定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x＞0
时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是
_______________________.
【解析】∵当0＜x≤3时，函数单调递增，由图象可知1＜f(x)≤3，由于函数f(x)是奇函数，∴当－3≤x＜0时，－3≤
f(x)＜－1.
[－3，－1)∪(1， 3]
12. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝______.
【解析】∵函数f(x)＝的定义域为{x|x≠1，且x≠a}，且f(x)为奇函数，∴a＝－1，∴f(x)＝，又f(－x)＝－f(x)，∴＝－，∴b＝0，故a＋b＝－1.
－1
关 键 能 力 练
13. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝
－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
14. (2024·苏州中学高一检测)设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)小鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗 请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间.
解：(1)我同意小鹏同学的观点.理由如下：
假设f(x)是奇函数，则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0，即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，∴f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如下，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞).
拓 展 突 破 练
15. 已知实数x，y满足(x－1)3＋2 024(x－1)＝－2，(y－1)3＋
2 024(y－1)＝2，则x＋y＝__________.
【解析】由(x－1)3＋2 024(x－1)＝－2，(y－1)3＋2 024(y－1)＝2，令f(t)＝t3＋2 024t，则f(x－1)＝－f(y－1)，易知f(t)的定义域为R，又f(－t)＝(－t)3＋2 024(－t)＝－(t3＋2 024t)＝－f(t)，∴f(t)为奇函数，故x－1＝－(y－1)，则x＋y＝2.
2
16. 已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论 (不必证明)
解：(1)由题意知函数g(x)与h(x)的定义域均为R.∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数.
(2)g(x)＋h(x)＝＝f(x).
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.3.2 练习3　函数的奇偶性
1. 若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　C　)
A. 0 B. －1
C. 1 D. 2
【解析】∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.
2. 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　B　)
A. y＝x3 B. y＝|x|＋1
C. y＝－x2＋1 D. y＝2x＋1
【解析】排除法.偶函数只有B，C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数，B正确.
3. 函数f(x)＝的图象关于(　A　)
A. y轴对称 B. x轴对称
C. 坐标原点对称 D. 直线y＝x对称
【解析】∵函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}，且f(－x)＝＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，A正确.
4. 如图所示，这是偶函数y＝f(x)的局部图象，根据图象所给信息，下列结论中，正确的是(　B　)
A. f(－2)－f(6)＝0
B. f(－2)－f(6)＜0
C. f(－2)＋f(6)＜0
D. f(－2)－f(6)＞0
【解析】由题图可知，f(2)＜f(6)，又f(x)为偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(－2)－f(6)＜0.
5. (2024·山东德州高一期中) 若函数f(x)＝是定义在(－2a＋2，0)∪(0，a)上的偶函数，则f(1)的值为(　B　)
A. － B. 3
C. D. 51
【解析】由题意，定义域(－2a＋2，0)∪(0，a)关于原点对称，则－2a＋2＝－a，解得a＝2，则f(x)＝，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即恒成立，解得b＝1，则f(x)＝＝2x2＋1，x∈(－2，0)∪(0，2)，∴f(1)＝2×12＋1＝3，B正确.
6. 函数f(x)＝的图象大致是(　B　)
A. B.
C. D.
【解析】函数f(x)＝的定义域为R，关于原点对称，由f(－x)＝－＝
－f(x)，可得f(x)为奇函数，则函数f(x)的图象关于原点对称，可排除C；当x＞0时，f(x)＞0，可排除A，D.
7. 设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则h(－1)的值为(　A　)
A. －4 B. －2
C. 2 D. 4
【解析】由函数f(x)＝可得f(1)＝1＋1＝2，∵函数f(x)为奇函数，可得f(－1)＝－f(1)＝－2，又由f(－1)＝h(－1)，即h(－1)＝－2，可得
h(－1)＝－4，A正确.
8. (多选)下列说法中，正确的有(　AB　)
A. 图象关于坐标原点对称的函数是奇函数
B. 图象关于y轴对称的函数是偶函数
C. 奇函数的图象一定过坐标原点
D. 偶函数的图象一定与y轴相交
【解析】由奇函数、偶函数的性质，知A，B说法正确；对于C，如f(x)＝，
x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，C错误；对于D，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交，D错误.
9. (多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. y＝f(x)g(x)为奇函数
B. y＝|f(x)|g(x)为偶函数
C. y＝f(x)|g(x)|为偶函数
D. y＝|f(x)g(x)|为偶函数
【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴y＝|f(x)|为偶函数，y＝|g(x)|为偶函数，∴y＝f(x)g(x)为奇函数，y＝|f(x)|g(x)为偶函数，y＝f(x)|g(x)|为奇函数，y＝|f(x)g(x)|为偶函数，A，B，D正确.
10. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝　1　.
【解析】在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.
11. (2024·路桥中学高一检测)已知函数f(x)是定义在[－3，0)∪(0，3]上的奇函数，当x＞0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是　[－3，－1)∪(1， 3]　.
【解析】∵当0＜x≤3时，函数单调递增，由图象可知1＜f(x)≤3，由于函数f(x)是奇函数，∴当－3≤x＜0时，－3≤f(x)＜－1.
12. 已知函数f(x)＝是奇函数，则a＋b＝　－1　.
【解析】∵函数f(x)＝的定义域为{x|x≠1，且x≠a}，且f(x)为奇函数，∴a＝－1，∴f(x)＝，又f(－x)＝－f(x)，∴＝－，∴b＝0，故a＋b＝－1.
13. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x5；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝.
解：(1)函数的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.∵f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
14. (2024·苏州中学高一检测)设函数f(x)＝x2－2|x－a|＋3，x∈R.
(1)小鹏同学认为，无论a取何值，f(x)都不可能是奇函数.你同意他的观点吗 请说明你的理由；
(2)若f(x)是偶函数，求a的值；
(3)在(2)的情况下，画出y＝f(x)的图象并指出其单调递增区间.
解：(1)我同意小鹏同学的观点.理由如下：
假设f(x)是奇函数，则由f(a)＝a2＋3，f(－a)＝a2－4|a|＋3，可得f(a)＋f(－a)＝0，即a2－2|a|＋3＝0，显然a2－2|a|＋3＝0无解，∴f(x)不可能是奇函数.
(2)若f(x)为偶函数，则有f(a)＝f(－a)，即a2＋3＝a2－4|a|＋3，解得a＝0.经验证，此时f(x)＝x2－2|x|＋3是偶函数.
(3)由(2)知f(x)＝x2－2|x|＋3，其图象如下，由图可得，其单调递增区间是(－1，0)和(1，＋∞).
15. 已知实数x，y满足(x－1)3＋2 024(x－1)＝－2，(y－1)3＋2 024(y－1)＝2，则x＋y＝　2　.
【解析】由(x－1)3＋2 024(x－1)＝－2，(y－1)3＋2 024(y－1)＝2，令f(t)＝t3＋2 024t，则f(x－1)＝－f(y－1)，易知f(t)的定义域为R，又f(－t)＝(－t)3＋2 024(－t)＝－(t3＋2 024t)＝－f(t)，∴f(t)为奇函数，故x－1＝－(y－1)，则x＋y＝2.
16. 已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)＝，h(x)＝.
(1)试判断g(x)与h(x)的奇偶性；
(2)试判断g(x)，h(x)与f(x)的关系；
(3)由此你能猜想出什么样的结论 (不必证明)
解：(1)由题意知函数g(x)与h(x)的定义域均为R.∵g(－x)＝＝g(x)，h(－x)＝＝－h(x)，∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数.
(2)g(x)＋h(x)＝＝f(x).
(3)如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.

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