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3.3 幂函数
1. 若幂函数f(x)＝xm的图象过点(2，)，则实数m等于(　D　)
A. 2 B. 3
C. －1 D.
【解析】∵幂函数f(x)＝xm的图象过点(2，)，∴f(2)＝2m＝，故m＝，D正确.
2. (2024·吉林四平高一期中) 已知幂函数f(x)的图象经过点(－3，－27)，则f的值为(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】设幂函数f(x)＝xα，则(－3)α＝－27，解得α＝3，∴f(x)＝x3，故f，C正确.
3. 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中，正确的是(　A　)
A. n＜m＜0 B. m＜n＜0
C. n＞m＞0 D. m＞n＞0
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
4. (2024·哈尔滨三中高一期中) 若y＝(m2－m－1)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　D　)
A. ―1或2 B. 1或―2
C. 1 D. ―1
【解析】∵y＝(m2－m－1)是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1，或m＝2.当m＝－1时，y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当m＝2时，y＝x0＝1在(0，＋∞)上不单调，不满足题意.
5. 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】对于A，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；对于B，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；对于D，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
6. 已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列选项中，正确的是(　C　)
A. f(a)＜f(b)＜f＜f
B. f＜f＜f(b)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f＜f
D. f＜f(a)＜f＜f(b)
【解析】∵函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，且0＜a＜b＜1＜，
∴f(a)＜f(b)＜f＜ f.
7. (2024·吉林一中高一月考) 已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(　B　)
A. (－∞，－5)∪(1，＋∞)
B. (－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. (－1，5)
D. (－5，1)
【解析】∵函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)为幂函数，∴a2－2a－2＝1，解得
a＝3，或a＝－1，又幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝3，此时f(x)＝x3在R上是增函数.∵f(x＋5)＜f(x2－3x)，∴x＋5＜x2－3x，解得x＞5，或x＜－1，∴不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(－∞，－1)∪(5，＋∞)，B正确.
8. (多选)下列结论中，正确的有(　AD　)
A. 幂函数的图象不可能在第四象限内
B. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线
C. 当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D. 当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小
【解析】当幂函数图象上的点横坐标为正数时，其纵坐标始终不为负数，故幂函数的图象不可能在第四象限内，A正确；当n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，B错误；y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，
＋∞)上单调递增，C错误；幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x增大而减小，D正确.
9. (多选)(2024·青岛高一期中) 下列关于幂函数f(x)＝xa的说法，错误的有(　AB　)
A. 当a＝－1时，函数f(x)在其定义域上为减函数
B. 当a＝0时，函数f(x)不是幂函数
C. 当a＝2时，函数f(x)是偶函数
D. 当a＝3时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点
【解析】对于A，当a＝－1时，f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在整个定义域上不单调，A错误；对于B，当a＝0时，f(x)＝x0也是幂函数，B错误；对于C，当a＝2时，f(x)＝x2，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；对于D，当a＝3时，f(x)＝x3单调递增，
且f(0)＝0，∴函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点，D正确.
10. 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝　－2　.
【解析】幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，则2α＝8，解得α＝3.若f(x0)＝－8，则＝－8，解得x0＝－2.
11. (2024·湛江高一期中) 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α＝　3　.
【解析】由题意得α2－α＋＝1，解得α＝，或α＝3.当α＝时，f(x)＝的图象不经过第三象限，不符合题意；当α＝3时，f(x)＝x3的图象经过第三象限，符合题意，故α＝3.
12. 郭老师在黑板上写出了一个函数f(x)，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③在(0，＋∞)上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出一个这样的函数：f(x)＝　x－2(答案不唯一)　.
【解析】由题意可得f(x)＝x－2满足②③，不满足①，符合题意.
13. 比较下列各组数的大小：
(1)5.3－5和5.4－5；(2)－8－3和－；
(3)和.
解：(1)函数y＝x－5在(0，＋∞)上单调递减，∵5.3＜5.4，∴5.3－5＞5.4－5.
(2)－8－3＝－，函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，∵，∴，∴－8－3＜－.
(3)，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，
∵，∴，即.
14. 已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的.
(1)求实数k的值；
(2)若存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，求实数a，b的值.
解：(1)∵f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)为幂函数，∴k2－k－1＝1，解得k＝－1，或
k＝2，又f(x)在区间(0，＋∞)内的函数图象是上升的，∴k＞0，∴k＝2.
(2)∵存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，且f(x)＝x2，∴即∵a＜b，∴a＝0，b＝1.
15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中) 设函数φ(x)的定义域为D，如果存在区间[a，b]∈D，使得φ(x)在[a，b]上的取值范围是[a，b]且单调，则称[a，b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝ 　；
(2)若函数φ(x)＝2f(x＋1)－k存在保值区间，则实数k的取值范围是　[1，2)　.
【解析】(1)∵幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增，
∴解得p＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.
(2)函数φ(x)＝2－k在[－1，＋∞)上是增函数，若存在保值区间[a，b](a≥－1)，则即φ(x)＝x，也就是方程2－k＝x在[－1，＋∞)上有两个不等的实根，令＝t≥0，则x＝t2－1，∴t2－2t－1＋k＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根，令g(t)＝t2－2t－1＋k，则即解得1≤k＜2，故实数k的取值范围是[1，2).
16. 已知幂函数f(x)＝(k∈N*)满足f(2)＜f(3).
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)对于幂函数f(x)＝(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)，因此2－k＞0，解得
k＜2.∵k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x.
(2)由(1)知，g(x)＝1＋(m－1)x，当m＞1时，函数g(x)为增函数，故最大值为g(1)＝m＝5.当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，故最大值为g(0)＝1≠5，不成立.当m＝1时，g(x)＝1，不合题意.综上，m＝5.(共28张PPT)
三、幂函数
　高中数学 必修 第一册
函数的概念与性质
第三章
必 备 知 识 练
1. 若幂函数f(x)＝xm的图象过点(2，)，则实数m等于(　　)
A. 2 B. 3
C. －1 D.
【解析】∵幂函数f(x)＝xm的图象过点(2，)，∴f(2)＝2m＝，故m＝，D正确.
D
2. (2024·吉林四平高一期中) 已知幂函数f(x)的图象经过点
(－3，－27)，则f的值为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】设幂函数f(x)＝xα，则(－3)α＝－27，解得α＝3，
∴f(x)＝x3，故f，C正确.
C
3. 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和
y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中，
正确的是(　　)
A. n＜m＜0 B. m＜n＜0
C. n＞m＞0 D. m＞n＞0
【解析】由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，
n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
A
4. (2024·哈尔滨三中高一期中) 若y＝(m2－m－1)是幂
函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　)
A. ―1或2 B. 1或―2
C. 1 D. ―1
【解析】∵y＝(m2－m－1)是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝－1，或m＝2.当m＝－1时，y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，满足题意；当m＝2时，y＝x0＝1在(0，＋∞)上不单调，不满足题意.
D
5. 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是
(　　)
C
A. B. C. D.
【解析】对于A，幂函数的指数a＜0，则函数y＝ax－应为减函数，A错误；对于B，幂函数的指数a＞1，则函数y＝ax－应为增函数，B错误；对于D，幂函数的指数a＜0，则－＞0，函数y＝ax－与y轴交点的纵坐标应为正，D错误.
6. 已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列选项中，正确的
是(　　)
A. f(a)＜f(b)＜f＜f
B. f＜f＜f(b)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f＜f
D. f＜f(a)＜f＜f(b)
【解析】∵函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，且0＜a＜b＜1＜，∴f(a)＜f(b)＜f＜ f.
C
7. (2024·吉林一中高一月考) 已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa
(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的
解集为(　　)
A. (－∞，－5)∪(1，＋∞)
B. (－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. (－1，5)
D. (－5，1)
B
【解析】∵函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)为幂函数，∴a2－
2a－2＝1，解得a＝3，或a＝－1，又幂函数f(x)＝(a2－2a－
2) xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝3，此时f(x)＝x3在R上是增函数.∵f(x＋5)＜f(x2－3x)，∴x＋5＜x2－3x，解得x＞5，或x＜－1，∴不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(－∞，
－1) ∪(5，＋∞)，B正确.
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A. 幂函数的图象不可能在第四象限内
B. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线
C. 当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D. 当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小
【解析】当幂函数图象上的点横坐标为正数时，其纵坐标始终不为负数，故幂函数的图象不可能在第四象限内，A正确；当
n＝0时，y＝xn中x≠0，故其图象是去掉点(0，1)的一条直线，B错误；y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，C错误；幂函数y＝xn，当n＜0时，在第一象限内函数值随x增大而减小，D正确.
AD
9. (多选)(2024·青岛高一期中) 下列关于幂函数f(x)＝xa的说法，
错误的有(　 　)
A. 当a＝－1时，函数f(x)在其定义域上为减函数
B. 当a＝0时，函数f(x)不是幂函数
C. 当a＝2时，函数f(x)是偶函数
D. 当a＝3时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点
AB
【解析】对于A，当a＝－1时，f(x)＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在整个定义域上不单调，A错误；对于B，当
a＝0时，f(x)＝x0也是幂函数，B错误；对于C，当a＝2时，
f(x)＝x2，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)是偶函数，C正确；对于D，当a＝3时，f(x)＝x3单调递增，且
f(0)＝0，∴函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点，D正确.
10. 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则
x0＝__________.
【解析】幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，则2α＝8，解得α＝3.若f(x0)＝－8，则＝－8，解得x0＝－2.
－2
11. (2024·湛江高一期中) 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α＝__________.
【解析】由题意得α2－α＋＝1，解得α＝，或α＝3.当α＝时，f(x)＝的图象不经过第三象限，不符合题意；当α＝3时，f(x)＝x3的图象经过第三象限，符合题意，故α＝3.
3
12. 郭老师在黑板上写出了一个函数f(x)，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③在(0，＋∞)上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出
一个这样的函数：f(x)＝__________________.
【解析】由题意可得f(x)＝x－2满足②③，不满足①，符合题意.
x－2(答案不唯一)
关 键 能 力 练
13. 比较下列各组数的大小：
(1)5.3－5和5.4－5；(2)－8－3和－；
(3)和.
解：(1)函数y＝x－5在(0，＋∞)上单调递减，∵5.3＜5.4，
∴5.3－5＞5.4－5.
(2)－8－3＝－，函数y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，∵，∴，∴－8－3＜－.
(3)，函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，∵，
∴，即.
14. 已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的.
(1)求实数k的值；
(2)若存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，求实数a，b的值.
解：(1)∵f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)为幂函数，∴k2－k－1＝1，解得k＝－1，或k＝2，又f(x)在区间(0，＋∞)内的函数图象是上升的，∴k＞0，∴k＝2.
(2)∵存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，且f(x)＝x2，∴即∵a＜b，∴a＝0，
b＝1.
拓 展 突 破 练
15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中) 设函数φ(x)的定义域为D，如果存在区间[a，b]∈D，使得φ(x)在[a，b]上的取值范围是[a，b]且单调，则称[a，b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝_________；
(2)若函数φ(x)＝2f(x＋1)－k存在保值区间，则实数k的取值范围是__________.

[1，2)
【解析】(1)∵幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增，∴解得p＝1，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝.
(2)函数φ(x)＝2－k在[－1，＋∞)上是增函数，若存在保值区间[a，b](a≥－1)，则即φ(x)＝x，也就是方程2－k＝x在[－1，＋∞)上有两个不等的实根，令＝t≥0，则x＝t2－1，∴t2－2t－1＋k＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根，令g(t)＝t2－2t－1＋k，则即解得1≤k＜2，故实数k的取值范围是[1，2).
16. 已知幂函数f(x)＝(k∈N*)满足f(2)＜f(3).
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)对于幂函数f(x)＝(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)，因此
2－k＞0，解得k＜2.∵k∈N*，∴k＝1，f(x)＝x.
(2)由(1)知，g(x)＝1＋(m－1)x，当m＞1时，函数g(x)为增函数，故最大值为g(1)＝m＝5.当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，故最大值为g(0)＝1≠5，不成立.当m＝1时，g(x)＝1，不合题意.综上，m＝5.3.3 幂函数
1. 若幂函数f(x)＝xm的图象过点(2，)，则实数m等于(　 　)
A. 2 B. 3
C. －1 D.
2. (2024·吉林四平高一期中) 已知幂函数f(x)的图象经过点(－3，－27)，则f的值为(　 　)
A. B.
C. D.
3. 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论中，正确的是(　 　)
A. n＜m＜0 B. m＜n＜0
C. n＞m＞0 D. m＞n＞0
4. (2024·哈尔滨三中高一期中) 若y＝(m2－m－1)是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　 　)
A. ―1或2 B. 1或―2
C. 1 D. ―1
5. 在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是(　 　)
A. B.
C. D.
6. 已知函数f(x)＝，若0＜a＜b＜1，则下列选项中，正确的是(　 　)
A. f(a)＜f(b)＜f＜f
B. f＜f＜f(b)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f＜f
D. f＜f(a)＜f＜f(b)
7. (2024·吉林一中高一月考) 已知幂函数f(x)＝(a2－2a－2)xa(a∈R)在(0，＋∞)上单调递增，则不等式f(x＋5)＜f(x2－3x)的解集为(　 　)
A. (－∞，－5)∪(1，＋∞)
B. (－∞，－1)∪(5，＋∞)
C. (－1，5)
D. (－5，1)
8. (多选)下列结论中，正确的有(　 　)
A. 幂函数的图象不可能在第四象限内
B. 当n＝0时，幂函数y＝xn的图象是一条直线
C. 当n＞0时，幂函数y＝xn是增函数
D. 当n＜0时，幂函数在第一象限内的函数值随x增大而减小
9. (多选)(2024·青岛高一期中) 下列关于幂函数f(x)＝xa的说法，错误的有(　 　)
A. 当a＝－1时，函数f(x)在其定义域上为减函数
B. 当a＝0时，函数f(x)不是幂函数
C. 当a＝2时，函数f(x)是偶函数
D. 当a＝3时，函数f(x)的图象与x轴有且只有一个交点
10. 已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(2，8)，若f(x0)＝－8，则x0＝　 　.
11. (2024·湛江高一期中) 已知幂函数f(x)＝xα的图象经过第三象限，则α＝　 　.
12. 郭老师在黑板上写出了一个函数f(x)，请三名同学各自说出这个函数的一条性质：①此函数为奇函数；②定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③在(0，＋∞)上单调递减.郭老师说其中有一名同学的结论是错误的，另两名同学的结论是正确的.请你写出一个这样的函数：f(x)＝　 　.
13. 比较下列各组数的大小：
(1)5.3－5和5.4－5；(2)－8－3和－；
(3)和.
14. 已知幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的.
(1)求实数k的值；
(2)若存在实数a，b使得函数f(x)在区间[a，b]上的取值范围是[a，b]，求实数a，b的值.
15. (2024·湖北鄂东南省级示范高中高一期中) 设函数φ(x)的定义域为D，如果存在区间[a，b]∈D，使得φ(x)在[a，b]上的取值范围是[a，b]且单调，则称[a，b]为函数φ(x)的保值区间.已知幂函数f(x)＝(p2＋p－1)在(0，＋∞)上单调递增.
(1)函数f(x)的解析式为f(x)＝ 　；
(2)若函数φ(x)＝2f(x＋1)－k存在保值区间，则实数k的取值范围是　 　.
16. 已知幂函数f(x)＝(k∈N*)满足f(2)＜f(3).
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0，1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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