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二、指数函数
练习1　指数函数的概念
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
必 备 知 识 练
1. 下列函数中，属于指数函数的个数为(　　)
①y＝；②y＝mx(m＞0，且m≠1)；③y＝1x(x∈R)；
④y＝－1(x＞1).
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】由指数函数的定义知，只有②符合指数函数的定义，其他均不符合.
B
2. (2024·南京外国语中学高一检测)已知函数y＝，当y＝
时，x的值是(　　)
A. 1 B. 2
C. D. －
【解析】y＝，∴x＝－.
D
3. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)等于(　　)
A. ()x B. 2x
C. D.
【解析】由题意，设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，可得a＝，∴f(x)＝()x.
A
4. 如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝都是指数函数，那
么ab等于(　　)
A. B. 1
C. 9 D. 8
【解析】根据题意可得2a＝1，－(b＋3)＝0，解得a＝，b＝
－3，则ab＝＝8.
D
5. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0＜x＜m)的函数，其关系
式为(　　)
A. y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B. y＝a(1－p%)x(0＜x＜m)
C. y＝a(p%)x(0＜x＜m)
D. y＝a－(p%)x(0＜x＜m)
【解析】∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)；2年后，成本为a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，…，∴x年后，成本y＝a(1－p%)x(0＜x＜m).
B
6. 设函数f(x)＝a0(1＋r)x，且f(3)＝20，f(4)＝22，则f(5)等于
(　　)
A. 24 B. 24.2
C. 26 D. 26.5
【解析】由题意得两式相除可得，故1＋r＝，∴f(5)＝＝f(4)·(1＋r)＝22×＝24.2.
B
7. 某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为
(参考数据：1.055≈1.276 3，0.9515≈0.777 9)(　　)
A. 赚717元 B. 赚145元
C. 亏145元 D. 亏717元
【解析】由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 83＝9.928 3(万元)，∵100 000－99 283＝717(元)，∴股民亏717元.
D
8. (多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中，
正确的有(　 　)
A. f(x)＝5x B. f(x)＝5－x
C. f(－1)＝ D. 5f(1)＝f(2)
【解析】设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由题意得，，∴a＝5，∴f(x)＝5x，A正确，B错误；∵f(－1)＝
5－1＝，∴C正确；∵5f(1)＝5×51＝25＝52＝f(2)，∴D正确.
ACD
9. (多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中，
正确的有(　 　)
A. f(x＋y)＝f(x)f(y)
B. f(x－y)＝
C. f＝f(x)－f(y)
D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
ABD
【解析】对于A，f(x＋y)＝＝ax·ay＝f(x)f(y)，A正确；对于B，f(x－y)＝ax－y＝ax·a－y＝，B正确；对于C，
f，f(x)－f(y)＝ax－ay，显然，≠ax－ay，C错误；对于D，n∈Q，f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，D正确.
10. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余
物质的质量约是原来的，则经过三年，剩余物质的质量是原
来的_______.
【解析】经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的.

11. 若指数函数f(x)满足f(2)－f(1)＝6，则f(3)＝__________.
【解析】设指数函数f(x)＝ax，由f(2)－f(1)＝6，得a2－a＝6，解得a＝－2(舍去)，或a＝3，则f(3)＝33＝27.
27
12. 某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0，且a≠1，x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价
格为__________元.
【解析】由题意得得∴y＝128×，∴该商品上架第4天的价格为128×＝40.5(元).
40.5
关 键 能 力 练
13. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒所占内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
解：∵这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍，∴x分钟后的病毒所占内存为，得y＝(x∈R＋)，∵病毒所占内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，∴≤220，解得x≤95，∴本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.
14. 已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝的奇偶性，并加以证明.
解：(1)由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，可得a＝2，或a＝－3 (舍去)，∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝是奇函数.
证明如下：∵F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(x)＝
f(x)－＝2x－＝2x－，∴F(－x)＝－2x＝－(2x－
)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
拓 展 突 破 练
15. 已知函数f(x)为实数集上的增函数，且满足f＝
3，则f(2)等于(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】∵f＝3，∴令f(x)－2x＝t，可得f(x)＝2x＋t，f(t)＝3，∴2t＋t＝3，∴t＝1，即f(x)＝2x＋1，∴f(2)＝5.
C
16. 已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(a)＋f(1－a)的值；
(2)求f＋f＋f＋…＋f的值.
解：(1)∵f(x)＝，x∈R，∴f(a)＋f(1－a)＝
＝1.
(2)设S＝f＋f＋f＋…＋f，则S＝f＋…＋f＋f＋f，两式相加得2S＝＋…＋
.由(1)得f＋f＝1，f＋f＝1，…，f＋f＝1，∴2S＝2 024，
解得S＝1 012.4.2 练习1　指数函数的概念
1. 下列函数中，属于指数函数的个数为(　 　)
①y＝；②y＝mx(m＞0，且m≠1)；③y＝1x(x∈R)；④y＝－1(x＞1).
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. (2024·南京外国语中学高一检测)已知函数y＝，当y＝时，x的值是(　 　)
A. 1 B. 2
C. D. －
3. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)等于(　 　)
A. ()x B. 2x
C. D.
4. 如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝都是指数函数，那么ab等于(　 　)
A. B. 1
C. 9 D. 8
5. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0＜x＜m)的函数，其关系式为(　 　)
A. y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B. y＝a(1－p%)x(0＜x＜m)
C. y＝a(p%)x(0＜x＜m)
D. y＝a－(p%)x(0＜x＜m)
6. 设函数f(x)＝a0(1＋r)x，且f(3)＝20，f(4)＝22，则f(5)等于(　 　)
A. 24 B. 24.2
C. 26 D. 26.5
7. 某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055≈1.276 3，0.9515≈0.777 9)(　 　)
A. 赚717元 B. 赚145元
C. 亏145元 D. 亏717元
8. (多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. f(x)＝5x B. f(x)＝5－x
C. f(－1)＝ D. 5f(1)＝f(2)
9. (多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中，正确的有(　 　)
A. f(x＋y)＝f(x)f(y)
B. f(x－y)＝
C. f＝f(x)－f(y)
D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
10. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过三年，剩余物质的质量是原来的 　.
11. 若指数函数f(x)满足f(2)－f(1)＝6，则f(3)＝　 　.
12. 某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0，且a≠1，x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为　 　元.
13. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒所占内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
14. 已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝的奇偶性，并加以证明.
15. 已知函数f(x)为实数集上的增函数，且满足f＝3，则f(2)等于(　 　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
16. 已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(a)＋f(1－a)的值；
(2)求f＋f＋f＋…＋f的值.4.2 练习1　指数函数的概念
1. 下列函数中，属于指数函数的个数为(　B　)
①y＝；②y＝mx(m＞0，且m≠1)；③y＝1x(x∈R)；④y＝－1(x＞1).
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】由指数函数的定义知，只有②符合指数函数的定义，其他均不符合.
2. (2024·南京外国语中学高一检测)已知函数y＝，当y＝时，x的值是(　D　)
A. 1 B. 2
C. D. －
【解析】y＝，∴x＝－.
3. 若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝2，则f(x)等于(　A　)
A. ()x B. 2x
C. D.
【解析】由题意，设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则由f(2)＝a2＝2，可得a＝，∴f(x)＝()x.
4. 如果函数f(x)＝2a·3x和g(x)＝都是指数函数，那么ab等于(　D　)
A. B. 1
C. 9 D. 8
【解析】根据题意可得2a＝1，－(b＋3)＝0，解得a＝，b＝－3，
则ab＝＝8.
5. 一种产品的成本是a元，今后m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0＜x＜m)的函数，其关系式为(　B　)
A. y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)
B. y＝a(1－p%)x(0＜x＜m)
C. y＝a(p%)x(0＜x＜m)
D. y＝a－(p%)x(0＜x＜m)
【解析】∵产品的成本是a元，1年后，成本为a－p%·a＝a(1－p%)；
2年后，成本为a(1－p%)(1－p%)＝a(1－p%)2，…，∴x年后，成本y＝
a(1－p%)x(0＜x＜m).
6. 设函数f(x)＝a0(1＋r)x，且f(3)＝20，f(4)＝22，则f(5)等于(　B　)
A. 24 B. 24.2
C. 26 D. 26.5
【解析】由题意得两式相除可得，故1＋r＝，∴f(5)＝＝f(4)·(1＋r)＝22×＝24.2.
7. 某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日，平均每天下跌4.9%，则该股民的股票盈亏情况(不计其他成本，精确到元)为(参考数据：1.055≈1.276 3，0.9515≈0.777 9)(　D　)
A. 赚717元 B. 赚145元
C. 亏145元 D. 亏717元
【解析】由题意得10×(1＋5%)5×(1－4.9%)5≈10×0.992 83＝9.928 3(万元)，
∵100 000－99 283＝717(元)，∴股民亏717元.
8. (多选)已知指数函数f(x)满足f，则下列结论中，正确的有(　ACD　)
A. f(x)＝5x B. f(x)＝5－x
C. f(－1)＝ D. 5f(1)＝f(2)
【解析】设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，由题意得，，
∴a＝5，∴f(x)＝5x，A正确，B错误；∵f(－1)＝5－1＝，∴C正确；∵5f(1)＝5×51＝25＝52＝f(2)，∴D正确.
9. (多选)设指数函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，则下列等式中，正确的有(　ABD　)
A. f(x＋y)＝f(x)f(y)
B. f(x－y)＝
C. f＝f(x)－f(y)
D. f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q)
【解析】对于A，f(x＋y)＝＝ax·ay＝f(x)f(y)，A正确；对于B，f(x－y)＝ax－y＝ax·a－y＝，B正确；对于C，f，f(x)－f(y)＝ax－ay，显然，≠ax－ay，C错误；对于D，n∈Q，f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，D正确.
10. 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余物质的质量约是原来的，则经过三年，剩余物质的质量是原来的 　.
【解析】经过一年，剩余物质的质量约是原来的；经过两年，剩余物质的质量约是原来的；经过三年，剩余物质的质量约是原来的.
11. 若指数函数f(x)满足f(2)－f(1)＝6，则f(3)＝　27　.
【解析】设指数函数f(x)＝ax，由f(2)－f(1)＝6，得a2－a＝6，解得a＝－2(舍去)，或a＝3，则f(3)＝33＝27.
12. 某商品的价格y(单位：元)因上架时间x(单位：天)的不同而不同，假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数，即y＝k·ax(a＞0，且a≠1，x∈N*).当商品上架第1天的价格为96元，上架第3天的价格为54元时，该商品上架第4天的价格为　40.5　元.
【解析】由题意得得∴y＝128×，∴该商品上架第4天的价格为128×＝40.5(元).
13. 一种占据内存的计算机病毒A，能在短时间内感染大量文件，使每个文件都不同程度地加长，占据磁盘空间，这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍.记x分钟后的病毒所占内存为y KB.如果病毒所占内存不超过1 GB(1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB)时，计算机能够正常使用，求本次开机计算机能正常使用的时长.
解：∵这种病毒开机时占据内存2 KB，每5分钟后病毒所占内存是原来的2倍，∴x分钟后的病毒所占内存为，得y＝(x∈R＋)，∵病毒所占内存不超过1 GB时，计算机能够正常使用，∴≤220，解得x≤95，∴本次开机计算机能正常使用的时长为95分钟.
14. 已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数.
(1)求f(x)的表达式；
(2)判断F(x)＝的奇偶性，并加以证明.
解：(1)由a2＋a－5＝1，a＞0，且a≠1，可得a＝2，或a＝－3(舍去)，
∴f(x)＝2x.
(2)F(x)＝是奇函数.
证明如下：∵F(x)的定义域是R，关于原点对称，且F(x)＝f(x)－＝2x－＝
2x－，∴F(－x)＝－2x＝－(2x－)＝－F(x)，∴F(x)是奇函数.
15. 已知函数f(x)为实数集上的增函数，且满足f＝3，则f(2)等于(　C　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【解析】∵f＝3，∴令f(x)－2x＝t，可得f(x)＝2x＋t，f(t)＝3，
∴2t＋t＝3，∴t＝1，即f(x)＝2x＋1，∴f(2)＝5.
16. 已知函数f(x)＝，x∈R.
(1)求f(a)＋f(1－a)的值；
(2)求f＋f＋f＋…＋f的值.
解：(1)∵f(x)＝，x∈R，∴f(a)＋f(1－a)＝＝1.
(2)设S＝f＋f＋f＋…＋f，则S＝f＋…＋f＋f＋f，两式相加得2S＝＋…＋.由(1)得f＋f＝1，f＋f＝1，…，f＋f＝1，∴2S＝2 024，解得S＝1 012.

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