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4.3 练习3　换底公式
1. log4125·log532的值为(　C　)
A. B. 1
C. D. 15
【解析】 log4125·log532＝××.
2. 若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　D　)
A. 9 B.
C. 25 D.
【解析】原式＝××＝2，∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，
∴x＝.
3. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　A　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
【解析】由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log23＋(3log22－log23)＝3.
4. 等于(　C　)
A. lg 3 B. －lg 3
C. D. －
【解析】原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝log310＝.
5. 若，则t等于(　D　)
A. 2 B. 12
C. 48 D. 144
【解析】由对数的运算性质可知，即logt3＋logt4＝，
可得logt12＝，∴t＝144.
6. (2024·龙东五校高一期末)2023年2月27日，湖北十堰学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)(　B　)
A. 9 560年 B. 9 550年
C. 8 370年 D. 8 230年
【解析】由题意，N0N0，即，∴ln ＝ln ，
∴t＝＝5 730×≈9 550.
7. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581等于(　C　)
A. － B.
C. D.
【解析】∵由log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，
∴log4581＝.
8. (多选)下列各式化简结果中，不为1的有(　BCD　)
A. log53×log32×log25
B. lglg 5
C. loa2(a＞0，且a≠1)
D. eln 3－(0.125
【解析】由log53×log32×log25＝××＝1，lglg5＝lg＋
lg ＝lg，loa2＝＝4，eln 3－(0.125＝3－(＝3－4＝－1，可知只有A中式子化简结果为1.
9. (多选)(2024·江苏南京高一期中) 下列运算中，正确的有(　ACD　)
A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B. 若a＋＝14，则＝±4
C. －2ln(ln ee)＝7
D. ＋2log23·log94＝＋1
【解析】对于A，由lg 3＝m，lg 2＝n，得
log518＝，A正确；对于B，由a＋＝14，得a＞0，＝a＋＋2＝16，得＝4(舍负)，B错误；对于C，－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，C正确；对于D，＋2log23·log94＝×－1＋2＝＋1，D正确.
10. log23·log34·log42＝　1　.
【解析】原式＝··＝1.
11. 若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为 　.
【解析】∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，∴n＝5m＋5－m＝＝3＋＝3＋.
12. 已知S市某所新建高中2024年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到　2028　年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477).
【解析】设经过n年后，该校的绿化面积约是5a m2，则由已知得a(1＋50%)n≈5a，n∈N*，即≈5，n∈N*，两边取对数得n≈lo5＝≈≈4，∴2 024＋4＝2 028.
13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数).当燃料的质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(参考数据：ln 3≈1.099).
解：∵v＝ln ＝2 000ln，∴v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s)，故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
14. (2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明.
解：log23×log32＝1，log0.46×log60.4＝1，结论logab·logba＝1，证明如下：
设c＞0，且c≠1，由换底公式得：logab·logba＝·＝1.
15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，那么＋…＋＝　1　.
【解析】＋…＋＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA2 024＝logA(2×3×4×…×2 024)＝logAA＝1.
16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)试利用对数的运算性质计算·的值；
(2)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断22 024的位数(lg 2≈0.301 0).
解：(1)原式＝××.
(2)设22 024＝t，则lg t＝2 024·lg 2，又lg 2≈0.301 0，∴lg t≈2 024×0.301 0＝609.224，∴t≈10609.224，则t∈(10609，10610)，∴22 024的位数为610.(共23张PPT)
三、对数
练习3　换底公式
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
必 备 知 识 练
1. log4125·log532的值为(　　)
A. B. 1
C. D. 15
【解析】 log4125·log532＝××.
C
2. 若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　)
A. 9 B.
C. 25 D.
【解析】原式＝××＝2，∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x＝.
D
3. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
【解析】由2x＝3得x＝log23，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋log2＝log23＋(3log22－log23)＝3.
A
4. 等于(　　)
A. lg 3 B. －lg 3
C. D. －
【解析】原式＝lo＋lo＝lo＋lo＝lo＝
log310＝.
C
5. 若，则t等于(　　)
A. 2 B. 12
C. 48 D. 144
【解析】由对数的运算性质可知，即logt3＋
logt4＝，可得logt12＝，∴t＝144.
D
6. (2024·龙东五校高一期末)2023年2月27日，湖北十堰学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，
据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.69，
ln 5≈1.61)(　　)
A. 9 560年 B. 9 550年
C. 8 370年 D. 8 230年
【解析】由题意，N0N0，即，
∴ln ＝ln ，∴t＝＝
5 730×≈9 550.
B
7. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581等于(　　)
A. － B.
C. D.
【解析】∵由log189＝a，18b＝5，∴b＝log185，∴log4581＝.
C
8. (多选)下列各式化简结果中，不为1的有(　 　)
A. log53×log32×log25 B. lglg 5
C. loa2(a＞0，且a≠1) D. eln 3－(0.125
【解析】由log53×log32×log25＝××＝1，lglg5＝lg＋lg ＝lg，loa2＝＝4，
eln 3－(0.125＝3－(＝3－4＝－1，可知只有A中式子化简结果为1.
BCD
9. (多选)(2024·江苏南京高一期中) 下列运算中，正确的有
(　 　)
A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B. 若a＋＝14，则＝±4
C. －2ln(ln ee)＝7
D. ＋2log23·log94＝＋1
ACD
【解析】对于A，由lg 3＝m，lg 2＝n，得
log518＝，A正确；对于B，由a＋＝14，得a＞0，＝a＋＋2＝16，得＝4(舍负)，B错误；对于C，－2ln(ln ee)＝9－
2ln e＝9－2＝7，C正确；对于D，＋2log23·
log94＝×－1＋2＝＋1，D
正确.
10. log23·log34·log42＝__________.
【解析】原式＝··＝1.
1
11. 若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为_________.
【解析】∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，∴n＝5m＋5－m＝＝3＋＝3＋.
12. 已知S市某所新建高中2024年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到__________年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2(参考数据：lg 2≈0.301，
lg 3≈0.477).
【解析】设经过n年后，该校的绿化面积约是5a m2，则由已知得a(1＋50%)n≈5a，n∈N*，即≈5，n∈N*，两边取对数得n≈lo5＝≈≈4，∴2 024＋4＝
2 028.
2028
关 键 能 力 练
13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数).当燃料的质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(参考数据：ln 3≈1.099).
解：∵v＝ln ＝2 000ln，∴v＝2 000 ln 3≈
2 000×1.099＝2 198(m/s)，故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
14. (2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明.
解：log23×log32＝1，log0.46×log60.4＝1，结论logab·logba＝1，证明如下：设c＞0，且c≠1，由换底公式得：logab·logba＝·＝1.
拓 展 突 破 练
15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，
那么＋…＋＝__________.
【解析】＋…＋＝logA2＋logA3＋logA4＋…＋logA2 024＝logA(2×3×4×…×2 024)＝logAA＝1.
1
16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)试利用对数的运算性质计算·的值；
(2)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断22 024的位数(lg 2≈0.301 0).
解：(1)原式＝××.
(2)设22 024＝t，则lg t＝2 024·lg 2，又lg 2≈0.301 0，∴lg t≈
2 024×0.301 0＝609.224，∴t≈10609.224，则t∈(10609，10610)，∴22 024的位数为610.4.3 练习3　换底公式
1. log4125·log532的值为(　 　)
A. B. 1
C. D. 15
2. 若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　 　)
A. 9 B.
C. 25 D.
3. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为(　 　)
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
4. 等于(　 　)
A. lg 3 B. －lg 3
C. D. －
5. 若，则t等于(　 　)
A. 2 B. 12
C. 48 D. 144
6. (2024·龙东五校高一期末)2023年2月27日，湖北十堰学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0(N0表示碳14原有的质量).经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.69，ln 5≈1.61)(　 　)
A. 9 560年 B. 9 550年
C. 8 370年 D. 8 230年
7. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581等于(　 　)
A. － B.
C. D.
8. (多选)下列各式化简结果中，不为1的有(　 　)
A. log53×log32×log25
B. lglg 5
C. loa2(a＞0，且a≠1)
D. eln 3－(0.125
9. (多选)(2024·江苏南京高一期中) 下列运算中，正确的有(　 　)
A. 若lg 3＝m，lg 2＝n，则log518＝
B. 若a＋＝14，则＝±4
C. －2ln(ln ee)＝7
D. ＋2log23·log94＝＋1
10. log23·log34·log42＝　 　.
11. 若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为 　.
12. 已知S市某所新建高中2024年的绿化面积为a m2，若该校绿化面积的年平均增长率为50%，则到　 　年(用整数年份表示)，该校的绿化面积约是5a m2(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477).
13. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(e为自然对数的底数).当燃料的质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)(参考数据：ln 3≈1.099).
14. (2024·泰安高一检测)用计算器计算：log23×log32，log0.46×log60.4.根据计算结果写出一个一般性结论，并证明.
15. (2024·汕头潮阳区高一期末)记A＝1×2×3×…×2 024，那么＋…＋＝　 　.
16. 数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养，因为有了运算，数才有无限的威力；没有运算，数就只是个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)试利用对数的运算性质计算·的值；
(2)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数.试判断22 024的位数(lg 2≈0.301 0).

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