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(共31张PPT)
四、对数函数
练习4　不同函数增长的差异
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
必 备 知 识 练
1. 下列函数中，增长速度最快的是(　　)
A. y＝ex B. y＝100 ln x
C. y＝x100 D. y＝100·2x
【解析】指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快.
A
2. 某地区最近三年测得的沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、
0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加值y(单位：万公顷)关
于年数x(单位：年)的函数关系较为近似的是(　　)
A. y＝0.2x B. y＝(x2＋2x)
C. y＝ D. y＝0.2＋log16x
【解析】将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算可知C的函数关系较为近似.
C
3. 在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　　)
A. y＝2x B. y＝x2－1
C. y＝2x－2 D. y＝log2x
【解析】将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数
y＝log2x，可知D满足题意.
D
4. 已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　　)
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1
【解析】由题意可知，三个函数在区间(2，4)
上都是单调递增的，∴4＜y1＜16，4＜y2＜16，
1＜y3＜2，∴y3最小，由函数y1，y2的图象可
知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数
y1的图象上方，∴y2＞y1＞y3.
B
5. 在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强
度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为
(　　)
A. 60安 B. 240安
C. 75安 D. 135安
D
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，∴I＝5r3，故当r＝3时，I＝5×33＝135(安).
6. 下列说法中，正确的是(　　)
A. 幂函数比一次函数增长快
B. 对任意的x＞0，xn＞logax
C. 对任意的x＞0，ax＞logax
D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
D
【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立；对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立，D正确.
7. 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x(单位：小时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个用来估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　)
A. y＝ax＋b
B. y＝a·＋b
C. y＝xa＋b(a＞0)
D. y＝ax＋(a＞0，b＞0)
B
【解析】由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近.函数y＝ax＋b的图象为一条直线，A错误；函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数为减函数，B正确；函数y＝xa＋b(a＞0)在区间(0，＋∞)上单调递增，C错误；由对勾函数的单调性可知，函数y＝ax＋(a＞0，
b＞0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，D错误.
8. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(单位：℃)随着时间t(单位：min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如
下，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 前5 min温度增加得越来越快
B. 前5 min温度增加得越来越慢
C. 5 min后温度保持匀速增加
D. 5 min后温度保持不变
BD
【解析】前5 min，温度y随t的增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随t的变化图象是平行于x轴的直线，即温度保持不变，故B，D正确.
9. (多选)右图是某厂实施“节能减
碳”措施前后，总产量y与时间x(单
位：月)的函数图象，则该厂(　 　)
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第四个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
ABD
【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加幅度越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确；从3月到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度减小，并在5月后减小为0，即停产，B，D正确；5，6月的总产量相等，但月产量不一定相等，C错误.
10. 函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长得较快的是__________.
【解析】作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
y＝x2
11. 已知某人投资x元，获利y元，他有以下三种方案.甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，
1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是______________.
【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的解析式，计算比较y值的大小可求得结果.
乙，甲，丙
12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公
司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入
的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是__________年(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30).
【解析】设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.由130·(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞lg 2－lg 1.3，∴n＞≈
＝3.8，又n∈N*，∴n≥4，∴从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
2027
关 键 能 力 练
13. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，并收集了其高度h(单位：m)与生长时间t(单位：年)的相关数据.当选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合 请预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(m) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出t(年)与h(m)之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理.不妨将(2， 1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3，故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题.当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2 m.
14. (2024·南京一中高一检测)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1 600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即设奖励方案函数模型为y＝f(x)时，公司对函数模型的基本要求如下：当x∈[25， 1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；③f(x)≤恒成立.
(1)判断函数f(x)＝＋10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数g(x)＝a－5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
解：(1)不符合，理由：对于函数模型f(x)＝＋10，当x∈[25， 1 600]时，f(x)是增函数，则f(x)≤f(1 600)＜75，显然恒成立，若f(x)≤，即＋10≤，解得x≥60，∴当x∈[25，1 600]时，f(x)≤不恒成立.综上，函数模型f(x)＝＋10满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)＝＋10不符合要求.
(2)当x∈[25， 1 600]时，g(x)＝a－5(a≥1)单调递增，∴最大值g(1 600)＝a－5＝40a－5≤75，∴a≤2.设g(x)＝
a－5≤恒成立，则a2x≤恒成立，即a2≤＋2＋.∵≥2，当且仅当x＝25时取等号，∴a2≤2＋2＝4.∵a≥1，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2].
拓 展 突 破 练
15. 如图所示为某受污染的湖泊在自
然净化过程中某种有害物质的残留
量y与净化时间t(单位：月)的近似函
数关系：y＝at(t≥0，a＞0，且a≠1)的图象.
有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质的质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有叙述正确的序号是__________.
①③
【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数解析式为y＝.当t＝4时，y＝，①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，②错误；分别令y＝，解得t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，则t1＋t2＝t3，③正确.
16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20 mg~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到
1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过__________小时才能驾驶汽车(注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时，参考数据：lg 0.2≈－0.699，lg 0.3≈－0.523，lg 0.6≈－0.222，lg 0.7≈－0.155).
5
【解析】∵该驾驶员1小时后血液中酒精含量为(1－40%)mg/mL，∴x小时后血液中酒精含量为(1－40%)xmg/mL，由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，∴(1－40%)x＜0.2，即0.6x＜0.2，两边取对数得，
lg 0.6x＜lg 0.2，x＞≈3.1，∴至少经过4小时才能驾驶汽车.4.4 练习4　不同函数增长的差异
1. 下列函数中，增长速度最快的是(　A　)
A. y＝ex B. y＝100 ln x
C. y＝x100 D. y＝100·2x
【解析】指数函数y＝ax，在a＞1时呈爆炸式增长，并且a值越大，增长速度越快.
2. 某地区最近三年测得的沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加值y(单位：万公顷)关于年数x(单位：年)的函数关系较为近似的是(　C　)
A. y＝0.2x B. y＝(x2＋2x)
C. y＝ D. y＝0.2＋log16x
【解析】将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算可知C的函数关系较为近似.
3. 在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　D　)
A. y＝2x B. y＝x2－1
C. y＝2x－2 D. y＝log2x
【解析】将x＝0.50，y＝－1.01代入计算，可以排除A；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知D满足题意.
4. 已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　B　)
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1
【解析】由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，∴4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，∴y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，∴y2＞y1＞y3.
5. 在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　D　)
A. 60安 B. 240安
C. 75安 D. 135安
【解析】由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝＝5，∴I＝5r3，故当r＝3时，I＝5×33＝135(安).
6. 下列说法中，正确的是(　D　)
A. 幂函数比一次函数增长快
B. 对任意的x＞0，xn＞logax
C. 对任意的x＞0，ax＞logax
D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数的影响，幂指数不确定，而一次函数的增长速度受一次项系数的影响，增长速度不能比较；对于B，C，当0＜a＜1时，显然不成立；对于D，当a＞1，n＞0时，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax，但若去掉限制条件“a＞1，n＞0”，则结论不成立，D正确.
7. 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x(单位：小时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个用来估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　B　)
A. y＝ax＋b
B. y＝a·＋b
C. y＝xa＋b(a＞0)
D. y＝ax＋(a＞0，b＞0)
【解析】由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近.函数y＝ax＋b的图象为一条直线，A错误；函数y＝a·＋b的图象为一条曲线，且当a＞0时，该函数为减函数，B正确；函数y＝xa＋b(a＞0)在区间(0，＋∞)上单调递增，C错误；由对勾函数的单调性可知，函数y＝ax＋(a＞0，b＞0)在区间上单调递减，在区间上单调递增，D错误.
8. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(单位：℃)随着时间t(单位：min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如下，下列说法中，正确的有(　BD　)
A. 前5 min温度增加得越来越快
B. 前5 min温度增加得越来越慢
C. 5 min后温度保持匀速增加
D. 5 min后温度保持不变
【解析】前5 min，温度y随t的增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随t的变化图象是平行于x轴的直线，即温度保持不变，故B，D正确.
9. (多选)下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂(　ABD　)
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第四个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
【解析】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加幅度越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确；从3月到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度减小，并在5月后减小为0，即停产，B，D正确；5，6月的总产量相等，但月产量不一定相等，C错误.
10. 函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长得较快的是　y＝x2　.
【解析】作出y＝x2与y＝ln x的图象，通过比较图象可得.
11. 已知某人投资x元，获利y元，他有以下三种方案.甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是　乙，甲，丙　.
【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的解析式，计算比较y值的大小可求得结果.
12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　2027　年(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30).
【解析】设2023年后的第n年该公司投入的研发资金为y万元，则y＝130(1＋12%)n.由130·(1＋12%)n＞200，得1.12n＞，两边取对数，得n·lg 1.12＞
lg 2－lg 1.3，∴n＞≈＝3.8，又n∈N*，∴n≥4，∴从2027年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.
13. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，并收集了其高度h(单位：m)与生长时间t(单位：年)的相关数据.当选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合 请预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(m) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出t(年)与h(m)之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理.不妨将(2， 1)代入h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3，故可用函数h＝log3(t＋1)来拟合这个实际问题.当t＝8时，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2 m.
14. (2024·南京一中高一检测)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1 600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即设奖励方案函数模型为y＝f(x)时，公司对函数模型的基本要求如下：当x∈[25， 1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；③f(x)≤恒成立.
(1)判断函数f(x)＝＋10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数g(x)＝a－5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
解：(1)不符合，理由：对于函数模型f(x)＝＋10，当x∈[25， 1 600]时，f(x)是增函数，则f(x)≤f(1 600)＜75，显然恒成立，若f(x)≤，即＋10≤，解得x≥60，∴当x∈[25，1 600]时，f(x)≤不恒成立.综上，函数模型f(x)＝＋10满足基本要求①②，但是不满足③，故函数模型f(x)＝＋10不符合要求.
(2)当x∈[25， 1 600]时，g(x)＝a－5(a≥1)单调递增，∴最大值g(1 600)＝a－5＝40a－5≤75，∴a≤2.设g(x)＝a－5≤恒成立，则a2x≤恒成立，即a2≤＋2＋.∵≥2，当且仅当x＝25时取等号，∴a2≤2＋2＝4.∵a≥1，∴1≤a≤2，故实数a的取值范围是[1，2].
15. 如图所示为某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0，且a≠1)的图象.
有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质的质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有叙述正确的序号是　①③　.
【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数解析式为y＝.当t＝4时，y＝，①正确；当t＝1时，y＝，减少了，当t＝2时，y＝，减少了，每月减少的有害物质质量不相等，②错误；分别令y＝，解得
t1＝lo，t2＝lo，t3＝lo，则t1＋t2＝t3，③正确.
16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20 mg~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过　5　小时才能驾驶汽车(注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时，参考数据：lg 0.2≈－0.699，lg 0.3≈－0.523，lg 0.6≈－0.222，lg 0.7≈－0.155).
【解析】∵该驾驶员1小时后血液中酒精含量为(1－40%)mg/mL，∴x小时后血液中酒精含量为(1－40%)xmg/mL，由题意知100 mL血液中酒精含量低于20 mg的驾驶员可以驾驶汽车，∴(1－40%)x＜0.2，即0.6x＜0.2，两边取对数得，
lg 0.6x＜lg 0.2，x＞≈3.1，∴至少经过4小时才能驾驶汽车.4.4 练习4　不同函数增长的差异
1. 下列函数中，增长速度最快的是(　 　)
A. y＝ex B. y＝100 ln x
C. y＝x100 D. y＝100·2x
2. 某地区最近三年测得的沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加值y(单位：万公顷)关于年数x(单位：年)的函数关系较为近似的是(　 　)
A. y＝0.2x B. y＝(x2＋2x)
C. y＝ D. y＝0.2＋log16x
3. 在某试验中，测得变量x和变量y之间的对应数据如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －1.01 0.01 0.98 2.00
则下列函数中，最能反映变量x和y之间的变化关系的是(　 　)
A. y＝2x B. y＝x2－1
C. y＝2x－2 D. y＝log2x
4. 已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有(　 　)
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1
5. 在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　 　)
A. 60安 B. 240安
C. 75安 D. 135安
6. 下列说法中，正确的是(　 　)
A. 幂函数比一次函数增长快
B. 对任意的x＞0，xn＞logax
C. 对任意的x＞0，ax＞logax
D. 不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xn＞logax
7. 某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后，空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x(单位：小时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个用来估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　 　)
A. y＝ax＋b
B. y＝a·＋b
C. y＝xa＋b(a＞0)
D. y＝ax＋(a＞0，b＞0)
8. (多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(单位：℃)随着时间t(单位：min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如下，下列说法中，正确的有(　 　)
A. 前5 min温度增加得越来越快
B. 前5 min温度增加得越来越慢
C. 5 min后温度保持匀速增加
D. 5 min后温度保持不变
9. (多选)下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x(单位：月)的函数图象，则该厂(　 　)
A. 前3个月的月产量逐月增加
B. 第5个月的月产量比第四个月少
C. 第6个月的月产量与第5个月持平
D. 第3个月结束后开始减产，直至停产
10. 函数y＝x2与函数y＝ln x在区间(0，＋∞)上增长得较快的是　 　.
11. 已知某人投资x元，获利y元，他有以下三种方案.甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100，丙：y＝1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应选择的方案分别是　 　.
12. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是　 　年(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30).
13. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，并收集了其高度h(单位：m)与生长时间t(单位：年)的相关数据.当选择h＝mt＋b与h＝loga(t＋1)来拟合h与t的关系，你认为哪个符合 请预测第8年的松树高度.
t(年) 1 2 3 4 5 6
h(m) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
14. (2024·南京一中高一检测)某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1 600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%(即设奖励方案函数模型为y＝f(x)时，公司对函数模型的基本要求如下：当x∈[25， 1 600]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤75恒成立；③f(x)≤恒成立.
(1)判断函数f(x)＝＋10是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由；
(2)已知函数g(x)＝a－5(a≥1)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
15. 如图所示为某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(单位：月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a＞0，且a≠1)的图象.
有以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于；②每月减少的有害物质的质量都相等；③若残留量为时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有叙述正确的序号是　 　.
16. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20 mg~79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1 mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过　 　小时才能驾驶汽车(注：不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时，参考数据：lg 0.2≈－0.699，lg 0.3≈－0.523，lg 0.6≈－0.222，lg 0.7≈－0.155).

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