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五、函数的应用(二)
练习1　函数的零点与方程的解
　高中数学 必修 第一册
指数函数与对数函数
第四章
必 备 知 识 练
1. 有以下三个命题：
①“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)有零点”的充要条件；
②“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件；
③“函数y＝f(x)有零点”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件.
其中为正确命题的个数是(　　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，命题①、②、③正确.
D
2. 函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　　)
A. (2，0) B. 2，3
C. (3，0) D. －2，－3
【解析】令－x2＋5x－6＝0，解得x＝2，或x＝3，故函数f(x)的零点是2，3.
B
3. 函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】∵函数y＝ln x，y＝2x－3在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.∵f(1)＝－1＜0，f＝ln＞0，∴f(1)·f＜0，∴函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是.
C
4. (2024·河北保定一中高一期中) 已知f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(－2)＞0，f(－1)＞0，f(0)＞0，f(3)＜0，f(6)＜
0，则f(x)的零点可能为(　　)
A. －1.5 B. －0.5
C. 2 D. 4
【解析】∵f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(0)＞0，
f(3)＜0，∴f(x)的零点必在区间(0，3)内，∴f(x)的零点可能为2.
C
5. (2024·江苏南京一中高一月考) 设x1，x2是函数y＝6x2－x－
2的两个零点，则的值为(　　)
A. 2 B. －2
C. D. －
【解析】由题知x1，x2是方程6x2－x－2＝0的两个根，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，则＝－.
D
6. 若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0，
＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点(　　)
A. 只有一个 B. 只有两个
C. 至少有两个 D. 无法判断
【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，∴f(x)在(0， ＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，∴f(x)在(－∞， 0)上有且仅有一个零点－2，故函数f(x)只有两个零点－2和2.
B
7. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中，成立的是
(　　)
A. f(1)＜f(a)＜f(b)
B. f(b)＜f(1)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f(1)
D. f(a)＜f(1)＜f(b)
D
【解析】由题可知f(x)，g(x)均为增函数，∵函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴0＜a＜1.∵函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2＞0，∴1＜b＜2.综上可得，0＜a＜1＜b＜2.∵函数f(x)＝ex＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，∴f(a)＜f(1)＜f(b).
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)＝x2＋ln x有且仅有一个零点
B. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，则f(x)在(0，1)内没有零点
C. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则f(x)在(0，1)上有且仅有一个零点
D. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0，1]上有零点
AD
【解析】∵y＝－x2与y＝ln x的图象有且仅有一个交点，
∴－x2＝ln x有且仅有一个根，∴f(x)＝x2＋ln x有且仅有一个零点，A正确；∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，B错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则由函数零点存在定理知，f(x)在(0，1)上至少有一个零点，C错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则由函数零点存在定理知，f(x)在[0，1]上有零点，D正确.
9. (多选)函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为
(　 　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (2，3) D. (3，4)
ABC
【解析】令f(x)＝x－2－log4|x|＝0，可得x－2＝log4|x|，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在区间等价于函数y＝x－2与y＝log4|x|图象的交点横坐标所在的区间，作出y＝x－2与y＝log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y＝x－2与y＝log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(－1，0)，(0，1)，(2，3)内，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(－1，0)，(0，1)，(2，3).
10. 函数f(x)＝4x－2x－2的零点是__________.
【解析】令f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0，得2x＝2(舍负)，即x＝1.
1
11. 函数f(x)＝的零点个数是__________.
【解析】当x≤0时，由x2－2＝0，可得x＝－，当x＞0时，由ln x＝0，可得x＝1，∴函数f(x)＝的零点个数是2.
2
12. 设f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋a有且仅
有三个不同的解，则实数a的取值范围是__________.
【解析】作出函数y＝f(x)的图象如图所
示.当x≤0时，f(x)＝，则f(x)在
(－∞，0]上单调递减，且f(x)在(－∞，0]
上的取值范围是[1，＋∞)；当x＞0时，
由f(x)＝f(x－1)可知，当x∈(0，1]时，
f(x)＝.结合函数的图象可知，当
a＜2时，y＝f(x)与y＝x＋a的图象有且仅有三个交点，∴若关于x的方程f(x)＝x＋a有且仅有三个不同的解，则a的取值范围是
a＜2.
a＜2
关 键 能 力 练
13. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(3)f(x)＝log3(x＋1).
解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，∴函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，或x＝1，或x＝－1，故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，∵4x＞0，－5＜0，∴方程4x＋5＝0无实数解，∴函数f(x)＝4x＋5不存在零点.
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，∴函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
14. (2024·山东日照高一期中) 已知函数f(x)满足f(2x－1)＝
4x2－2x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝(1－2m)x＋2－2m有两个实根，其中一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根在区间(2，3)内，求实数m的取值范围.
解：(1)∵函数f(x)满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3＝(2x－1)2＋2x－
1＋3，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋3.
(2)由f(x)＝x2＋x＋3＝(1－2m)x＋2－2m，整理得x2＋2mx＋1＋2m＝0，设g(x)＝x2＋2mx＋1＋2m，由二次函数的图象与性质，可得解得－＜m＜－，故实数m的取值范围是.
拓 展 突 破 练
15. f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的所有零点之和为__________.
【解析】函数f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的零点即为方程
ln |x－2|＝m的解，即|x－2|＝em，∴x＝em＋2，或x＝－em＋2，∴函数f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的零点之和em＋2－em＋2＝4.
4
16. 已知函数f(x)＝
(1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作
图，不需写出作图过程)；
(2)求函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零
点个数.
解：(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2) 在方程4[f(x)]2－13f(x)＋9＝0中，令t＝f(x)，则4t2－13t＋
9＝(t－1)(4t－9)＝0，解得t＝1，或t＝，即f(x)＝1，或f(x)＝.由f(x)的图象可知，直线y＝与f(x)的图象有3个公共点，即
f(x)＝有3个不同的实数解；直线y＝1与f(x)的图象有4个公共点，即f(x)＝1有4个不同的实数解.综上所述，函数y＝4－13f(x)＋9的零点个数为3＋4＝7.4.5 练习1　函数的零点与方程的解
1. 有以下三个命题：
①“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)有零点”的充要条件；
②“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件；
③“函数y＝f(x)有零点”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件.
其中为正确命题的个数是(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
2. 函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　 　)
A. (2，0) B. 2，3
C. (3，0) D. －2，－3
3. 函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是(　 　)
A. B.
C. D.
4. (2024·河北保定一中高一期中) 已知f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(－2)＞0，f(－1)＞0，f(0)＞0，f(3)＜0，f(6)＜0，则f(x)的零点可能为(　 　)
A. －1.5 B. －0.5
C. 2 D. 4
5. (2024·江苏南京一中高一月考) 设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则的值为(　 　)
A. 2 B. －2
C. D. －
6. 若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0， ＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点(　 　)
A. 只有一个 B. 只有两个
C. 至少有两个 D. 无法判断
7. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中，成立的是 (　 　)
A. f(1)＜f(a)＜f(b)
B. f(b)＜f(1)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f(1)
D. f(a)＜f(1)＜f(b)
8. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. 函数f(x)＝x2＋ln x有且仅有一个零点
B. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，则f(x)在(0，1)内没有零点
C. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则f(x)在(0，1)上有且仅有一个零点
D. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0，1]上有零点
9. (多选)函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(　 　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (2，3) D. (3，4)
10. 函数f(x)＝4x－2x－2的零点是　 　.
11. 函数f(x)＝的零点个数是　 　.
12. 设f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋a有且仅有三个不同的解，则实数a的取值范围是　 　.
13. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(3)f(x)＝log3(x＋1).
14. (2024·山东日照高一期中) 已知函数f(x)满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝(1－2m)x＋2－2m有两个实根，其中一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根在区间(2，3)内，求实数m的取值范围.
15. f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的所有零点之和为　 　.
16. 已知函数f(x)＝
(1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图，不需写出作图过程)；
(2)求函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数.4.5 练习1　函数的零点与方程的解
1. 有以下三个命题：
①“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)有零点”的充要条件；
②“方程f(x)＝0有实数解”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件；
③“函数y＝f(x)有零点”是“函数y＝f(x)的图象与x轴有交点”的充要条件.
其中为正确命题的个数是(　D　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
【解析】方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点，命题①、②、③正确.
2. 函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是(　B　)
A. (2，0) B. 2，3
C. (3，0) D. －2，－3
【解析】令－x2＋5x－6＝0，解得x＝2，或x＝3，故函数f(x)的零点是2，3.
3. 函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是(　C　)
A. B.
C. D.
【解析】∵函数y＝ln x，y＝2x－3在(0，＋∞)上均单调递增，∴函数f(x)在
(0，＋∞)上单调递增.∵f(1)＝－1＜0，f＝ln＞0，∴f(1)·f＜0，∴函数f(x)＝ln x＋2x－3的零点所在的区间是.
4. (2024·河北保定一中高一期中) 已知f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(－2)＞0，f(－1)＞0，f(0)＞0，f(3)＜0，f(6)＜0，则f(x)的零点可能为(　C　)
A. －1.5 B. －0.5
C. 2 D. 4
【解析】∵f(x)是定义在[－2，6]上的减函数，且f(0)＞0，f(3)＜0，∴f(x)的零点必在区间(0，3)内，∴f(x)的零点可能为2.
5. (2024·江苏南京一中高一月考) 设x1，x2是函数y＝6x2－x－2的两个零点，则的值为(　D　)
A. 2 B. －2
C. D. －
【解析】由题知x1，x2是方程6x2－x－2＝0的两个根，∴x1＋x2＝，x1x2＝－，则＝－.
6. 若函数f(x)在定义域{x|x∈R，且x≠0}上是偶函数，且在(0， ＋∞)上单调递减，f(2)＝0，则函数f(x)的零点(　B　)
A. 只有一个 B. 只有两个
C. 至少有两个 D. 无法判断
【解析】∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0，∴f(x)在(0， ＋∞)上有且仅有一个零点2.又f(x)是偶函数，∴f(x)在(－∞， 0)上有且仅有一个零点－2，故函数f(x)只有两个零点－2和2.
7. 已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中，成立的是 (　D　)
A. f(1)＜f(a)＜f(b)
B. f(b)＜f(1)＜f(a)
C. f(a)＜f(b)＜f(1)
D. f(a)＜f(1)＜f(b)
【解析】由题可知f(x)，g(x)均为增函数，∵函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，f(0)＝－1＜0，f(1)＝e－1＞0，∴0＜a＜1.∵函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，g(1)＝－1＜0，g(2)＝ln 2＞0，∴1＜b＜2.综上可得，0＜a＜1＜b＜2.∵函数
f(x)＝ex＋x－2在(0，＋∞)上单调递增，∴f(a)＜f(1)＜f(b).
8. (多选)下列说法中，正确的有(　AD　)
A. 函数f(x)＝x2＋ln x有且仅有一个零点
B. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，则f(x)在(0，1)内没有零点
C. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则f(x)在(0，1)上有且仅有一个零点
D. 若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0，1]上有零点
【解析】∵y＝－x2与y＝ln x的图象有且仅有一个交点，∴－x2＝ln x有且仅有一个根，∴f(x)＝x2＋ln x有且仅有一个零点，A正确；∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＞0，∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，B错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)＜0，则由函数零点存在定理知，f(x)在(0，1)上至少有一个零点，C错误；若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，则由函数零点存在定理知，f(x)在[0，1]上有零点，D正确.
9. (多选)函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(　ABC　)
A. (－1，0) B. (0，1)
C. (2，3) D. (3，4)
【解析】令f(x)＝x－2－log4|x|＝0，可得x－2＝log4|x|，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在区间等价于函数y＝x－2与y＝log4|x|图象的交点横坐标所在的区间，作出y＝x－2与y＝log4|x|的图象如图所示.由图可知函数y＝x－2与
y＝log4x图象的三个交点的横坐标分别位于区间(－1，0)，(0，1)，(2，3)内，∴函数f(x)＝x－2－log4|x|的零点所在的区间可能为(－1，0)，(0，1)，(2，3).
10. 函数f(x)＝4x－2x－2的零点是　1　.
【解析】令f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0，得2x＝2(舍负)，即x＝1.
11. 函数f(x)＝的零点个数是　2　.
【解析】当x≤0时，由x2－2＝0，可得x＝－，当x＞0时，由ln x＝0，可得x＝1，∴函数f(x)＝的零点个数是2.
12. 设f(x)＝若关于x的方程f(x)＝x＋a有且仅有三个不同的解，则实数a的取值范围是　a＜2　.
【解析】作出函数y＝f(x)的图象如图所示.当x≤0时，f(x)＝，则f(x)在
(－∞，0]上单调递减，且f(x)在(－∞，0]上的取值范围是[1，＋∞)；当x＞0时，由f(x)＝f(x－1)可知，当x∈(0，1]时，f(x)＝.结合函数的图象可知，当
a＜2时，y＝f(x)与y＝x＋a的图象有且仅有三个交点，∴若关于x的方程f(x)＝x＋a有且仅有三个不同的解，则a的取值范围是a＜2.
13. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(3)f(x)＝log3(x＋1).
解：(1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，∴函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，或x＝1，或x＝－1，故函数f(x)＝
x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，∵4x＞0，－5＜0，∴方程4x＋5＝0无实数解，
∴函数f(x)＝4x＋5不存在零点.
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，∴函数f(x)＝log3(x＋1)的零点为0.
14. (2024·山东日照高一期中) 已知函数f(x)满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若关于x的方程f(x)＝(1－2m)x＋2－2m有两个实根，其中一个实根在区间(－1，0)内，另一个实根在区间(2，3)内，求实数m的取值范围.
解：(1)∵函数f(x)满足f(2x－1)＝4x2－2x＋3＝(2x－1)2＋2x－1＋3，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x2＋x＋3.
(2)由f(x)＝x2＋x＋3＝(1－2m)x＋2－2m，整理得x2＋2mx＋1＋2m＝0，
设g(x)＝x2＋2mx＋1＋2m，由二次函数的图象与性质，可得解得－＜m＜－，故实数m的取值范围是.
15. f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的所有零点之和为　4　.
【解析】函数f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)的零点即为方程ln |x－2|＝m的解，
即|x－2|＝em，∴x＝em＋2，或x＝－em＋2，∴函数f(x)＝ln |x－2|－m(m∈R)
的零点之和em＋2－em＋2＝4.
16. 已知函数f(x)＝
(1)在图中作出函数f(x)的图象(直接作图，不需写出作图过程)；
(2)求函数y＝4[f(x)]2－13f(x)＋9的零点个数.
解：(1)函数f(x)的图象如图所示.
(2) 在方程4[f(x)]2－13f(x)＋9＝0中，令t＝f(x)，则4t2－13t＋9＝(t－1)(4t－9)＝0，解得t＝1，或t＝，即f(x)＝1，或f(x)＝.由f(x)的图象可知，直线y＝与f(x)的图象有3个公共点，即f(x)＝有3个不同的实数解；直线y＝1与f(x)的图象有4个公共点，即f(x)＝1有4个不同的实数解.综上所述，函数y＝4－13f(x)＋9的零点个数为3＋4＝7.

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