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5.2 练习3　同角三角函数的基本关系
1. 已知sin α＝－，且＜α＜2π，则tan α的值为 (　B　)
A. － B. －
C. － D. －2
【解析】由sin α＝－＜α＜2π，可知cos α＝，则tan α＝＝－.
2. 已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于 (　C　)
A. － B. －
C. － D. －
【解析】∵α是第二象限角，∴cos α＜0.又sin2α＋cos2α＝1，tan α＝＝－，∴cos α＝－.
3. (2024·广东韶关实验中学高一检测)若tan α＝3，则2sin αcos α等于(　C　)
A. ± B. －
C. D.
【解析】∵tan α＝3，∴2sin αcos α＝.
4. 已知，则等于(　B　)
A. B. －
C. 2 D. －2
【解析】由1－sin2x＝cos2x，可得＝－＝－.
5. 设α是第二象限角，则·等于(　D　)
A. 1 B. tan2α
C. －tan2α D. －1
【解析】由题意可得··×
×，由于α是第二象限角，故原式＝××＝－1.
6. 若α∈(0，π)，2sin α＋cos α＝，则tan α等于(　C　)
A. － B. －
C. － D. －
【解析】由2sin α＋cos α＝得cos α＝－2sin α，∴sin2α＋cos2α＝sin2α＋
＝5sin2α－sin α＋＝1，解得sin α＝，或sin α＝－，又
α∈(0，π)，∴sin α＞0，即sin α＝，∴cos α＝＝－，∴tan α＝＝－.
7. 若＜α＜π，则化简的结果是(　A　)
A. －2tan α B. 2tan α
C. D. －
【解析】∵＜α＜π，∴cos α＜0，
则－
＝－＝
－＝－2tan α.
8. (多选)的值可能为(　BCD　)
A. 0 B. 1
C. －3 D. 3
【解析】令f(x)＝，当x为第一象限角时，sin x＞0，cos x＞0，则f(x)＝2＋1＝3，当x为第二象限角时，sin x＞0，cos x＜0，则f(x)＝2－1＝1，当x为第三象限角时，sin x＜0，cos x＜0，则f(x)＝－2－1＝－3，当x为第四象限角时，sin x＜0，cos x＞0，则f(x)＝－2＋1＝－1.
9. (多选)已知θ∈(0， π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论中，正确的有(　ABD　)
A. θ∈ B. cos θ＝－
C. tan θ＝－ D. sin θ－cos θ＝
【解析】由题知sin θ＋cos θ＝①，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
∴2sin θcos θ＝－＜0.又θ∈(0，π)，∴＜θ＜π，sin θ－cos θ＞0.
∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－，∴sin θ－cos θ＝②.
联立①②，得∴tan θ＝－.
10. 已知cos，0＜α＜，则sin＝ 　.
【解析】∵sin2＋cos2＝1，∴sin2＝1－cos2＝
1－.∵0＜α＜，∴＜α＋，∴sin＞0，则sin.
11. 若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝　1或2　.
【解析】由1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，得sin2θ＋2cos2θ＝3sin θ·cos θ，
显然cos θ≠0，sin θ≠0，∴tan2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.
12. 已知α是△ABC的内角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为 　.
【解析】sin α＋cos α＝的两边同时平方，可得1＋2sin αcos α＝，
则2sin αcos α＝－＜0.∵α是△ABC的内角，∴sin α＞0，∴cos α＜0，
∴sin α－cos α＝.
13. 已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；
(2).
解：(1)∵2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝
＝1，∴4tan2α－3tan α－1＝0，
解得tan α＝－，或tan α＝1.∵α∈，∴tan α＜0，∴tan α＝－.
(2)原式＝.
14. 证明：1－＋tan α.
证明：化简得，要证，只需证
cos α(sin α－cos α＋1)＝(1＋sin α)(sin α＋cos α－1)，即证sin αcos α－cos2α＋
cos α＝sin α＋cos α－1＋sin2α＋sin αcos α－sin α，即证sin2α＋cos2α＝1，此式显然成立，得证.
15. 已知sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，则a的值是(　C　)
A. －1± B. 1±
C. －1 D. 1－
【解析】∵sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，∴Δ＝a2＋4a≥0，解得a≥0，或a≤－4.由根与系数的关系得
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1－2a＝a2，即a2＋2a－1＝0，解得a＝
－1＋，或a＝－1－(舍去)，∴a的值是－1.
16. (1)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现
(2)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现
(3)证明： x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x；
(4)推测对于 x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.
解：(1)∵cos4－sin4＝＝cos2－sin2
，cos2－sin2，cos，∴cos4－sin4，cos2－sin2，cos
的值相等.
(2)∵cos4－sin4
＝cos2－sin2＝0，cos2－sin2＝0，cos＝0，∴cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值相等.
(3)证明： x∈R，cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)·(cos2x－sin2x)＝cos2x－sin2x.
(4)推测 x∈R，cos2x－sin2x＝cos 2x.5.2 练习3　同角三角函数的基本关系
1. 已知sin α＝－，且＜α＜2π，则tan α的值为 (　 　)
A. － B. －
C. － D. －2
2. 已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α等于 (　 　)
A. － B. －
C. － D. －
3. (2024·广东韶关实验中学高一检测)若tan α＝3，则2sin αcos α等于(　 　)
A. ± B. －
C. D.
4. 已知，则等于(　 　)
A. B. －
C. 2 D. －2
5. 设α是第二象限角，则·等于(　 　)
A. 1 B. tan2α
C. －tan2α D. －1
6. 若α∈(0，π)，2sin α＋cos α＝，则tan α等于(　 　)
A. － B. －
C. － D. －
7. 若＜α＜π，则化简的结果是(　 　)
A. －2tan α B. 2tan α
C. D. －
8. (多选)的值可能为(　 　)
A. 0 B. 1
C. －3 D. 3
9. (多选)已知θ∈(0， π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论中，正确的有(　 　)
A. θ∈ B. cos θ＝－
C. tan θ＝－ D. sin θ－cos θ＝
10. 已知cos，0＜α＜，则sin＝ 　.
11. 若1＋cos2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ＝　 　.
12. 已知α是△ABC的内角，且sin α＋cos α＝，则sin α－cos α的值为 　.
13. 已知2cos2α＋3cos αsin α－3sin2α＝1，α∈.求：
(1)tan α；
(2).
14. 证明：1－＋tan α.
15. 已知sin α，cos α是关于x的方程x2＋ax－a＝0(a∈R)的两个实根，则a的值是(　 　)
A. －1± B. 1±
C. －1 D. 1－
16. (1)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现
(2)分别计算cos4－sin4，cos2－sin2，cos的值，你有什么发现
(3)证明： x∈R，cos4x－sin4x＝cos2x－sin2x；
(4)推测对于 x∈R，cos2x－sin2x与cos 2x的关系，不需证明.

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