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5.4 练习2　周期性、奇偶性
1. 函数f(x)＝x·cos x(　 　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
2. 函数f(x)＝7sin是(　 　)
A. 周期为3π的偶函数
B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
D. 周期为的偶函数
3. 函数f(x)＝3cos的图象的一条对称轴方程是(　 　)
A. x＝－ B. x＝
C. x＝ D. x＝
4. 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f等于(　 　)
A. 1 B.
C. －1 D. －
5. 若函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点之间的距离为，则f的值为(　 　)
A. － B.
C. 1 D. 0
6. 已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的(　 　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7. 定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　 　)
A. － B.
C. － D.
8. (多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，下列关于f(x)的说法，正确的有(　 　)
A. 最小正周期为π B. 最小正周期为
C. 奇函数 D. 偶函数
9. (多选)下列说法中，正确的有(　 　)
A. y＝sin|x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B. y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同
C. y＝sin|x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D. y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象相同
10. (2023·江苏南通高一期中) 函数y＝的最小正周期为　 　.
11. 奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝　 　.
12. 已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝　 　.
13. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝.
14. 已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0).
(1)证明：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝3，求f(f(21))的值.
15. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，x∈R)对定义域内任意的x都满足f(x＋6)＝f(x)，若A＝sin(ωx＋φ＋3ω)，B＝sin(ωx＋φ－3ω)，则(　 　)
A. A＞B B. A＝B
C. A＜B D. A≥B
16. 设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值.5.4 练习2　周期性、奇偶性
1. 函数f(x)＝x·cos x(　A　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是非奇非偶函数
【解析】f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝(－x)cos(－x)＝－x·cos x＝－f(x)，
∴f(x)＝x·cos x是奇函数.
2. 函数f(x)＝7sin是(　A　)
A. 周期为3π的偶函数
B. 周期为2π的偶函数
C. 周期为3π的奇函数
D. 周期为的偶函数
【解析】∵f(x)＝7sin＝－7cos ，∴f(x)是偶函数，周期T＝＝3π.
3. 函数f(x)＝3cos的图象的一条对称轴方程是(　B　)
A. x＝－ B. x＝
C. x＝ D. x＝
【解析】对于函数f(x)＝3cos，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝，
k∈Z，∴f(x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z.
4. 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则f等于(　A　)
A. 1 B.
C. －1 D. －
【解析】∵函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，∴周期T＝＝π，解得ω＝2，即f(x)＝sin，∴f＝sin＝sin＝sin ＝1.
5. 若函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点之间的距离为，则f的值为(　A　)
A. － B.
C. 1 D. 0
【解析】由函数f(x)＝cos(ω＞0)的相邻两个零点之间的距离为，
可得＝2×，解得ω＝6，∴f(x)＝cos，则f＝cos＝
cos＝－sin ＝－.
6. 已知k∈Z，则“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的(　B　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【解析】当f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数时，θ＝＋kπ，k∈Z；当θ＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)＝sin＝cos 2x为偶函数.综上，“函数f(x)＝sin(2x＋θ)为偶函数”是“θ＝＋2kπ，k∈Z”的必要不充分条件.
7. 定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f的值为(　D　)
A. － B.
C. － D.
【解析】∵函数f(x)既是奇函数又是周期函数，且f(x)的最小正周期为π，
∴f＝f＝f＝－f，又当x∈时，f(x)＝sin x，∴－f＝－sin，即f.
8. (多选)设函数f(x)＝sin，x∈R，下列关于f(x)的说法，正确的有(　AD　)
A. 最小正周期为π B. 最小正周期为
C. 奇函数 D. 偶函数
【解析】f(x)＝sin＝－sin＝－cos 2x，∴f(x)是偶函数，且是最小正周期为＝π的周期函数.
9. (多选)下列说法中，正确的有(　BD　)
A. y＝sin|x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称
B. y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同
C. y＝sin|x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称
D. y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象相同
【解析】对于A，y＝sin|x|是偶函数，而y＝sin x是奇函数，∴y＝sin|x|的图象与y＝sin x的图象不关于y轴对称，A错误；对于B，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，∴y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同，B正确；对于C，当x＜0时，y＝sin|x|＝sin(－x)，此时y＝sin|x|的图象与y＝sin(－x)的图象相同，C错误；对于D，y＝cos(－x)＝cos x，∴y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象相同，D正确.
10. (2023·江苏南通高一期中) 函数y＝的最小正周期为　π　.
【解析】将函数y＝cos的图象位于x轴下方的部分翻折到x轴上方，位于x轴及x轴上方的部分保持不变，得到函数y＝的图象，如图所示.∵y＝cos的最小正周期为2π，∴y＝的最小正周期为π.
11. 奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝cos x，则f＝　－　.
【解析】∵f＝f(x)，∴T＝，∴f＝f＝f＝
－f＝－cos＝－cos ＝－.
12. 已知f(x)＝2cos x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(13)＝　3　.
【解析】易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0，∴f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝
f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.
13. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝.
解：(1)∵x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x，∴ (－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin 2xcos x＝－f(x).∴函数f(x)是奇函数.
(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1，∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.∴f(x)＝的定义域为R.
∵f(－x)＝＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数.
14. 已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0).
(1)证明：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝3，求f(f(21))的值.
(1)证明：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝－＝－＝f(x)，∴f(x)是周期函数，周期为4.
(2)解：由(1)知f(x)是周期函数，且周期为4，又f(1)＝3，则f(21)＝f(4×5＋1)＝f(1)＝3，∴f(f(21))＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝＝－.
15. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，x∈R)对定义域内任意的x都满足f(x＋6)＝f(x)，若A＝sin(ωx＋φ＋3ω)，B＝sin(ωx＋φ－3ω)，则(　B　)
A. A＞B B. A＝B
C. A＜B D. A≥B
【解析】∵函数f(x)对定义域内任意的x都满足f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为6，∴6为函数f(x)的最小正周期T的正整数倍，设6＝Tk(k∈N*)，则ω＝
，k∈N*，∴A＝sin(k∈N*)，B＝sin＝
sin＝sin(k∈N*)，则A＝B.
16. 设函数f(x)＝sin(k∈N*)，若在区间[a，a＋3](a为实数)上存在不少于4个且不多于8个不同的x0，使f(x0)＝，求k的值.
解：∵f(x)在一个周期内有且只有2个不同的x0，使f(x0)＝，∴f(x)在区间[a，
a＋3]上至少有2个周期，至多有4个周期.而这个区间的长度为3个单位长度，∴即≤T≤，即≤≤，解得≤k≤，∵k∈N*，∴k＝2，或
k＝3.

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