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5.5 练习4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. (2024·江苏南通中学高一月考)sin275°－sin215°的值是(　 　)
A. － B.
C. D. －
2. 已知tan x＝2，则tan 2x等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
3. 已知sin θ＝，θ∈，则sin 2θ等于(　 　)
A. － B.
C. － D.
4. 如图所示，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，P是角α终边上的一点，则cos 2α等于(　 　)
A. － B. －
C. － D. －
5. 若sin ，cos ＝－，则角α是(　 　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
6. 若cos，则sin＝(　 　)
A. － B. －
C. D.
7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则等于(　 　)
A. 4 B. ＋1
C. 2 D. －1
8. (多选)下列计算结果中，正确的有　(　 　)
A. 2cos 15°cos 75°＝ B. ＋2sin215°＝1
C. D.
9. (多选)(2025·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　 　)
A. tan α＝－ B. sin 2α＝
C. cos 2α＝ D. tan 2α＝－
10. 已知α∈，若2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α＝　 　.
11. 若等腰三角形的一个底角的正弦值是，则这个三角形的顶角的正切值是　 　.
12. 已知sin，其中α∈，则cos＝　 　，sin＝　 .
13. 已知sin·sin，且α∈，求sin 4α的值.
14. 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝.
(1)求的值；
(2)求的值.
15. 在锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是(　 　)
A.() B.
C. D.
16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)；
cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°).
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.5.5 练习4　二倍角的正弦、余弦、正切公式
1. (2024·江苏南通中学高一月考)sin275°－sin215°的值是(　C　)
A. － B.
C. D. －
【解析】sin275°－sin215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2. 已知tan x＝2，则tan 2x等于(　C　)
A. － B.
C. － D.
【解析】由tan x＝2，得tan 2x＝＝－.
3. 已知sin θ＝，θ∈，则sin 2θ等于(　C　)
A. － B.
C. － D.
【解析】∵sin θ＝，且θ∈，∴cos θ＝－，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝
－.
4. 如图所示，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边为x轴正半轴，P是角α终边上的一点，则cos 2α等于(　C　)
A. － B. －
C. － D. －
【解析】由题意可得P(－1，2)，得r＝|OP|＝，∴cos α＝ ，则cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－ .
5. 若sin ，cos ＝－，则角α是(　C　)
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】∵sin α＝2sincos＝2××＜0，cos α＝cos2－sin2
＜0，∴α是第三象限角.
6. 若cos，则sin＝(　A　)
A. － B. －
C. D.
【解析】sin＝sin＝cos＝cos 2＝
2cos2 －1＝2×－1＝－.
7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则等于(　A　)
A. 4 B. ＋1
C. 2 D. －1
【解析】∵m＝2sin 18°，∴
＝4.
8. (多选)下列计算结果中，正确的有　(　ABD　)
A. 2cos 15°cos 75°＝ B. ＋2sin215°＝1
C. D.
【解析】对于A，2cos 15°cos 75°＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，A正确；对于B，＋2sin215°＝＋1－cos 30°＝＋1－＝1，B正确；对于C，tan 30°＝，C错误；对于D，，D正确.
9. (多选)(2025·海南调研)已知α∈，且cos2α－cos 2α＝，则(　AC　)
A. tan α＝－ B. sin 2α＝
C. cos 2α＝ D. tan 2α＝－
【解析】 cos2α－cos 2α＝cos2α－(cos2α－sin2α)＝sin2α＝，∵α∈，
∴sin α＝，cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－，sin 2α＝
2sin αcos α＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝，tan 2α＝＝－.
10. 已知α∈，若2sin 2α＝cos 2α＋1，则cos α＝　－　.
【解析】∵2sin 2α＝cos 2α＋1，∴4sin αcos α＝2cos2α，又α∈，
∴cos α＜0，sin α＜0，则2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝，
结合cos α＜0，知cos α＝－.
11. 若等腰三角形的一个底角的正弦值是，则这个三角形的顶角的正切值是　－　.
【解析】设等腰三角形的底角为α，则α必为锐角，顶角为π－2α.由题意可知，sin α＝，∴cos α＝，∴tan α＝，则tan 2α＝，
故tan(π－2α)＝－tan 2α＝－.　
12. 已知sin，其中α∈，则cos＝　－　，sin＝　－　.
【解析】∵sin，
∴cos＝cos＝sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－.∵α∈，∴α－∈，则sin，∴sin＝sin 2＝2sin·cos＝2××＝－.
13. 已知sin·sin，且α∈，求sin 4α的值.
解：∵sinsin＝sin·sin，
∴2sincos，
即sin，∴cos 2α＝.又α∈，
∴2α∈(π，2π)，∴sin 2α＝－＝－，
∴sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－.
14. 已知θ∈(0，π)，且sin θ＋cos θ＝.
(1)求的值；
(2)求的值.
解：由sin θ＋cos θ＝①，
两边平方并化简得2sin θcos θ＝－＜0，
∵θ∈(0，π)，∴sin θ＞0，cos θ＜0，
sin θ－cos θ＝②，
由①②得sin θ＝，cos θ＝－.
(1)＝.
(2)＝
＝2sin θcos θ＝－.
15. 在锐角三角形ABC中，若B＝2A，则的取值范围是(　A　)
A.() B.
C. D.
【解析】在锐角三角形ABC中，由B＝2A，可得C＝π－3A，于是解得＜A＜，∴＜cos A＜，则＝2cos A∈(， ).
16. 某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数.
cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°；
cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)；
cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°).
(1)求出这个常数；
(2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论.
解：(1)cos215°＋cos215°－sin 15°·sin 15°＝2cos215°－sin215°＝
1＋cos 30°－(1－cos 30°)＝1＋×.
(2)推广：当α＋β＝30°时，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝.
证明如下：∵α＋β＝30°，∴β＝30°－α，cos2α＋cos2β－sin αsin β＝
cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α)＝cos2α＋
sin α·＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－
cos αsin α＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝.

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