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5.6 练习2　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1. 若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的最值点，则ω等于(　A　)
A. 2 B.
C. 1 D.
【解析】由题意知＝x2－x1＝，∴T＝π，ω＝2.
2. 如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，那么(　B　)
A. ω＝2，φ＝－ B. ω＝2，φ＝
C. ω＝4，φ＝－ D. ω＝4，φ＝
【解析】根据函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，可得×，得ω＝2.再根据五点法，可得2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝.
3. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值是(　C　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. －2
【解析】由题图可知，∴，∵，∴由图可知f＝2.
4. 把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值是(　D　)
A. B.
C. 或 D. 或
【解析】由题意，得g(x)＝sin＝sin.∵g(x)是偶函数，∴2φ－＝kπ＋(k∈Z)，∴φ＝(k∈Z).当k＝0时，φ＝；当k＝1时，
φ＝.
5. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　C　)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)＝2sin
C. f(x)＝2sin
D. f(x)＝2sin
【解析】由题图知，f(x)的最小正周期T＝2＝π，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝2sin(2x＋φ)，将代入，得2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合
|φ|＜π，解得φ＝，∴f(x)＝2sin.
6. 已知函数f(x)＝2sin，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值是(　B　)
A. B. 4
C. 4π D. 2
【解析】由题意知，g(x)＝2sin＝2sin，其最大值为2，周期T＝＝4，作出其图象如图所示，由图可知，|PQ|取到的最小值可能为|PQ1|，|PQ2|. ∵|PQ1|＝＝2，|PQ2|＝4，2＞4，∴|PQ|的最小值为4.
如图所示为一直径为6 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式
y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下)，则(　A　)
A. ω＝，A＝3
B. ω＝，A＝3
C. ω＝，A＝6
D. ω＝，A＝6
【解析】由题意知，水轮的半径为3 m，水轮圆心O距离水面2 m，∴A＝3.
∵水轮每分钟转2圈，∴转一圈需要30 s，∴T＝30＝，解得ω＝.
8. (多选)已知函数f(x)＝sin，则f(　BD　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 图象关于点(π，0)成中心对称
D. 图象关于点成中心对称
【解析】∵f＝sin＝sin＝cos x，∴函数f为偶函数.∵函数f图象的对称中心坐标为(k∈Z)，∴函数f的图象关于点成中心对称.
9. (多选)(2024·浙江温州中学高一月考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)在x＝处取得最小值－2，与此最小值点相邻的f(x)的一个零点为，则(　AC　)
A. ω＝2
B. φ＝
C. y＝f为奇函数
D. f(x)在上单调递减
【解析】由最小值为－2，A＞0，可得A＝2，由f(x)在x＝处取得最小值，且与此最小值点相邻的一个零点为，得函数f(x)的最小正周期T满足，即T＝π，又ω＞0，∴ω＝＝2，则有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝
＋2kπ(k∈Z)，又0＜φ＜π，∴φ＝，即f(x)＝2cos，A正确，B错误；f＝2cos＝2cos＝2sin 2x，又2sin(－2x)＝－2sin 2x，∴y＝f为奇函数，C正确；若x∈，则2x＋∈，
又不是y＝cos x的单调递减区间，∴不是f(x)的单调递减区间，D错误.
10. 若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝ 　.
【解析】由题意可知＋φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋kπ，k∈Z. 又|φ|＜，故当
k＝0时，得φ＝.
11. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝ 　.
【解析】由图象可得A＝，周期为4×＝π，∴ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，∴f(0)＝sin φ＝sin .
12. 已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)＋2(ω＞0，0＜φ＜π)为偶函数，A(x1，2)，B(x2，－2)是f(x)图象上的两点，若|x1－x2|的最小值是2，则f＝　4　.
【解析】 ∵函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)＋2为偶函数，∴φ＝＋kπ，k∈Z.又0＜φ＜π，∴φ＝，∴f(x)＝4sin＋2＝4cos ωx＋2，∵|x1－x2|的最小值为2，
∴T＝8，∴＝8，即ω＝，∴f(x)＝4cos x＋2，∴f＝4cos＋2＝4.
13. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间及对称中心.
解：(1)由图象得解得又＝2π，∴T＝4π，∴ω＝，
由f＝6，得＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|＜，∴φ＝.综上，f(x)＝4sin＋2.　
(2)根据题意可得g(x)＝4sin＋2，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z.令2x＋＝kπ，k∈Z，
得x＝，k∈Z，∴对称中心为，k∈Z.
14. 现给出以下三个条件：①f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；
②f(x)的图象上的一个最低点为A；③f(0)＝1.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，满足　　　　，　　　　.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象.求函数y＝f(x)g(x)－1的单调递增区间.
注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：(1)选择①②.
由已知得T＝＝2×＝π，∴ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ).将A代入f(x)，得2sin＝－2，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，又0＜φ＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
选择①③.
由已知得T＝＝2×＝π，∴ω＝2. 从而f(x)＝2sin(2x＋φ).又f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.∵0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝2sin.
选择②③.
由f(0)＝2sin φ＝1，得sin φ＝.又0＜φ＜，∴φ＝，将A代入f(x)，得2sin＝－2，解得ω＝2＋3k，k∈Z，又0＜ω＜5，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin.
(2)由题知g(x)＝2sin＝2sin＝2cos 2x，∴y＝f(x) g(x)－1＝4sincos 2x－1＝2sin 2xcos 2x＋2cos22x－1＝sin 4x＋cos 4x＝2sin.令－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－≤x≤，
k∈Z，∴函数y＝f(x) g(x)－1的单调递增区间为，k∈Z.
15. (2024·浙江金华高一期末)若实数x，y∈，且满足xsin x＝x2＋2ysin 2y，则(　C　)
A. x≥2y B. x≤2y
C. |x|≥2|y| D. |x|≤2|y|
【解析】设f(x)＝xsin x，x∈， x1，x2，且0＜x1＜x2＜，∵y＝x
和y＝sin x均在上单调递增，∴0＜sin x1＜sin x2＜1，0＜x1＜x2＜，
故f(x1)＝x1sin x1＜x2sin x1＜x2sin x2＝f(x2)，故f(x)在上单调递增，
又易知f(x)为偶函数，∴f(x)在上单调递减，由xsin x＝x2＋2ysin 2y，得xsin x－2ysin 2y＝x2≥0，即f(x)－f(2y)≥0，即f(x)≥f(2y)，故|x|≥2|y|.
16. 已知将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若实数x1，x2满足f(x1)－g(x2)＝4，则|x1－x2|的最小值是 　.
【解析】将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝2sin＝2sin＝2cos 2x的图象，∴g(x)＝2cos 2x.若实数x1，x2满足f(x1)－g(x2)＝4，则x1是函数f(x)的最大值点，x2是g(x)的最小值点，则f(x1)＝2，g(x2)＝－2，∴2x1＋＝2kπ＋，2x2＝2nπ＋π，k，n∈Z，即x1＝kπ＋，x2＝nπ＋，k，n∈Z，∴|x1－x2|min＝，k，n∈Z，∴|x1－x2|的最小值是.5.6 练习2　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质
1. 若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的最值点，则ω等于(　 　)
A. 2 B.
C. 1 D.
2. 如图所示为函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象，那么(　 　)
A. ω＝2，φ＝－ B. ω＝2，φ＝
C. ω＝4，φ＝－ D. ω＝4，φ＝
3. 已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f的值是(　 　)
A. 0 B. 1
C. 2 D. －2
4. 把函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(0＜φ＜π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值是(　 　)
A. B.
C. 或 D. 或
5. 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　 　)
A. f(x)＝2sin
B. f(x)＝2sin
C. f(x)＝2sin
D. f(x)＝2sin
6. 已知函数f(x)＝2sin，将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g(x)，若函数g(x)的图象在P，Q两处的切线都与x轴平行，则|PQ|的最小值是(　 　)
A. B. 4
C. 4π D. 2
如图所示为一直径为6 m的水轮，水轮圆心O距水面2 m，已知水轮每分钟转2圈，水轮上的点P到水面的距离y(单位：m)与时间x(单位：s)满足关系式
y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0，y＜0表示P在水面下)，则(　 　)
A. ω＝，A＝3
B. ω＝，A＝3
C. ω＝，A＝6
D. ω＝，A＝6
8. (多选)已知函数f(x)＝sin，则f(　 　)
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 图象关于点(π，0)成中心对称
D. 图象关于点成中心对称
9. (多选)(2024·浙江温州中学高一月考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)在x＝处取得最小值－2，与此最小值点相邻的f(x)的一个零点为，则(　 　)
A. ω＝2
B. φ＝
C. y＝f为奇函数
D. f(x)在上单调递减
10. 若f(x)＝cos是奇函数，则φ＝ 　.
11. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)＝ 　.
12. 已知函数f(x)＝4sin(ωx＋φ)＋2(ω＞0，0＜φ＜π)为偶函数，A(x1，2)，B(x2，－2)是f(x)图象上的两点，若|x1－x2|的最小值是2，则f＝　 　.
13. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，求函数y＝g(x)的单调递增区间及对称中心.
14. 现给出以下三个条件：①f(x)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；
②f(x)的图象上的一个最低点为A；③f(0)＝1.
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题.
已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，满足　 　，　 　.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到g(x)的图象.求函数y＝f(x)g(x)－1的单调递增区间.
注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分.
15. (2024·浙江金华高一期末)若实数x，y∈，且满足xsin x＝x2＋2ysin 2y，则(　 　)
A. x≥2y B. x≤2y
C. |x|≥2|y| D. |x|≤2|y|
16. 已知将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若实数x1，x2满足f(x1)－g(x2)＝4，则|x1－x2|的最小值是 　.

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