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2026秋人教新版九上数学暑假导学阶段测评
　九上全册　学情评估
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个标志中，是中心对称图形的是(　　)
1．C
2．反比例函数y＝的图象可能是(　　)
2.C
3．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的x的值为(　　)
A．2或－2 B．3或－3 C．3或－1 D．－3或1
3.C
4．已知二次函数y＝x2－2的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
(第4题)　　　　(第5题)
　　　　(第6题)　　　　(第7题)
4.A
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是(　　)
A．PA＝PB B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
5．C
6．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是(2，4)．若将此透明胶片进行平移后，点P的坐标为(0，3)，则此时抛物线的解析式为(　　)
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
6.B
7．如图，点A是反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB，若△ABP的面积等于5，则k的值为(　　)
A．5 B．10 C．25 D.
7.B
8．如图，有一块长28 m、宽10 m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，已知草坪的面积是243 m2.设小路的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A．28×10－28x－10x＝243 B．2(28－x＋10－x)＝243
C．(28－x)(10－x)＋x2＝243 D．(28－x)(10－x)＝243
(第8题)　(第9题)
　　　(第10题)　　　(第11题)
8.D
9．图①是一个球形灯罩，图②是球形灯罩的截面示意图，过顶点H的直线HF经过灯罩截面所在圆的圆心，且垂直底座CD于点F，点A，B在圆上，AC，BD都垂直于CD.已知AC＝BD＝2 cm，CD＝12 cm，HF＝32 cm，则灯罩截面所在圆的半径为(　　)
A．15.5 cm B．15.6 cm C．15.7 cm D．15.8 cm
9．B
10．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝5，则线段BC′的长度为(　　)
A．10 B．5 C．5 D．5
10.C
11．如图，等边三角形OAB的边长为，半圆O的直径为1，AD，BC相交于点P，将等边三角形OAB从OA与OC重合的位置开始绕点O顺时针旋转α(0°≤α≤120°)．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(　　)
结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；
结论Ⅱ：使得∠CPD＝120°的α的值有两个．
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对
C．Ⅰ和Ⅱ都错 D．Ⅰ和Ⅱ都对
11.A
12．嘉淇同学在研究二次函数y＝－(x－h)2－h＋1(h为常数)的性质时得到以下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；
②当－2＜x＜1时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为h≤－2；
③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若|x1－h|＞|x2－h|，则y1＜y2；
④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．
其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12.D
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13.在平面直角坐标系中，点(2m，－5)与点(－2，2n－1)关于原点对称，则m－n的值是__________．
13．－2
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的解为______________．
14.x1＝3，x2＝－7
15．如图，P1，P2，…，P10十个点在圆上，且这十个点将圆周分成十等份．连接P1P2，P2P3，…，P10P1得到正十边形，延长P10P9和P6P7，其夹角的度数是________．
(第15题)　　　　　　(第16题)
15．72°
16．商场卫生间旋转门锁的工作简化图如图所示．锁芯O固定在距离门边(即EF)3.5 cm处(即OD＝3.5 cm)，在自然状态下，把手竖直向下(把手底端到达A处)．旋转一定角度，使得把手底端到达B处(恰好卡在门边)，此时A，B的竖直高度差为0.5 cm，当把手旋转到OC处，且OC⊥OB时，点C与点B的竖直高度差BH是________cm.
16.15.5
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(7分)已知关于x的一元二次方程mx2－2x－4＝0.
(1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当m取最小的整数时，求方程的解．
17．解：(1)由题意得m≠0，Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4m·(－4)＝4＋16m≥0，解得m≥－且m≠0，
∴m的取值范围是m≥－且m≠0.
(2)∵m的取值范围是m≥－且m≠0，
∴m可取的最小整数是1，此时方程为x2－2x－4＝0，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－4)＝20＞0，
∴x＝＝＝1±，
即x1＝1＋，x2＝1－.
18．(8分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)不用量角器，在网格中画出△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的△A1BC1；
(2)不使用圆规，只用无刻度直尺，过点B作AC的垂线交AC于点F，在图中标出垂足点F的位置；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)求BF的长度．
18．解：(1)如图，△A1BC1即为所求．
(2)如图，点F即为所求．
(3)由图易得BF＝＝2 .
19．(8分)如图，已知BC是⊙O的直径，D是BC延长线上的一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
19．(1)证明：连接OA.∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°.
∵AB＝AD，∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°－∠AOC－∠D＝90°，即OA⊥AD.
又∵OA是⊙O的半径，
∴直线AD是⊙O的切线．
(2)解：∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，∴AM＝EM，
∠AMO＝90°.又∵∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝×10＝5，
∴AM＝＝5 ，
∴AE＝2AM＝2×5 ＝10 .
20.(9分)近年来，国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现：这种头盔的月销售量y(个)与售价x(元/个)满足函数关系y＝－2x＋200(42≤x≤72)．专卖店开展优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．
(1)设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；
(2)嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1 700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
20．解：(1)根据题意，得w＝(x－36－6)(－2x＋200)＝－2x2＋284x－8 400(42≤x≤72)．
(2)嘉嘉的说法不正确．理由：∵w＝－2x2＋284x－8 400＝－2(x－71)2＋1 682，且－2<0，42＜71＜72，
∴当x＝71时，w有最大值，最大值为1 682.∵1 682<1 700，
∴该专卖店的月销售的最大利润不能达到1 700元，
∴嘉嘉的说法不正确．
21．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF.
(1)若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
21．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－40°＝50°.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝50°，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA＝(180°－∠ABF)＝×(180°－50°)＝65°.
(2)∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10.
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠BEF＝∠C＝90°，BE＝BC＝6，EF＝AC＝8，
∴AE＝AB－BE＝10－6＝4.
∵∠AEF＝180°－∠BEF＝180°－90°＝90°，
∴AF＝＝＝4 .
22．(9分)综合与实践
如图①，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码(可左右移动)，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表：
托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30
托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，x与y的对应点，请您在图②中画出函数图象，并求出函数解析式；
(2)当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离；
(3)当托盘B向左移动6 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的2倍，求在移动前托盘B中的砝码质量．
22．解：(1)描点并连线，函数图象如图所示．
由图象可得y与x之间是反比例函数关系，∴设y＝.
∵当x＝10时，y＝30，
∴30＝，解得k＝300，
∴y与x的函数解析式为y＝(x>0)．
(2)当y＝24时，代入得24＝，
解得x＝12.5，
∴当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离是12.5 cm.
(3)设移动前托盘B中的砝码质量为m g，托盘B与点O的距离a cm，
由题意得ma＝300，2m(a－6)＝300，
解得m＝25.
∴在移动前托盘B中的砝码质量为25 g.
23.(10分)对于点P(xP，yP)与图形W，如果图形W上存在一点Q(xQ，yQ)，使得当xP＝xQ时，|yP－yQ|≤1，则称点P为图形W的一个“近卫点”．
(1)已知A(－2，2)，B(2，2)，在点P1(－3，3)，P2(－1，1)，P3(1，4)，P4中，是线段AB的“近卫点”的是________；
(2)如图①，以原点O为圆心，1为半径作⊙O.若直线y＝x＋b(b≠0)与x轴、y轴分别交于C，D两点，线段CD上任意一点都是⊙O的“近卫点”，求b的取值范围；
(3)已知点E(m，0)，以点E为中心的正方形s满足以下条件：四条边都平行于坐标轴，且边长为1.若正方形s上存在抛物线y＝x2－2(如图②)的“近卫点”，直接写出m的取值范围．
23．解：(1)P2，P4
(2)根据圆的特性，可知线段CD应是⊙O的弦或位于⊙O内．
当点D的坐标为(0，1)时，b＝1；
当点D的坐标为(0，－1)时，b＝－1.
则b的取值范围为－1≤b≤1且b≠0.
(3)m的取值范围为－－≤m≤－或≤m≤＋.
24．(12分)【概念理解】
如图①，若将⊙O沿着它的一条弦BC折叠，则折叠后的图形叫“叠圆”．
【概念应用】
在如图②所示的“叠圆”中，折叠后的与直径AB相交于点D，连接CD.
(1)若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝________°；
(2)延长CD交⊙O于点M，连接BM，猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
(3)在如图③所示的“叠圆”中，折叠后的与弦AB相交于点D，D恰好为AB的中点．若⊙O的半径为，弦AB的长为4，求∠ABC的度数和折痕BC的长．
24．解：(1)30
(2)∠ABM＝2∠ABC.理由如下：如图①，作点D关于直线BC的对称点D′，连接D′B，D′C，CO，D′O，AC.
由折叠可得∠DBC＝∠D′BC，DC＝D′C.
又∵∠AOC＝2∠ABC，∠D′OC＝2∠D′BC，
∴∠AOC＝∠D′OC，∴AC＝D′C.
∵DC＝D′C，∴AC＝DC，
∴∠CAD＝∠CDA.
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠ABC＝90°.
设∠ABC＝α，则∠CDA＝∠CAD＝90°－α，∴∠ACD＝180°－∠CAD－∠CDA＝2α，即∠ACD＝2∠ABC.
∵∠ABM＝∠ACD，
∴∠ABM＝2∠ABC.
(3)如图②，连接AC，DC，过点C作CG⊥AD交AD于点G，连接OA，OB，OC，OD.同(2)可得AC＝DC，∴AG＝DG.
∵D为AB的中点，OA＝OB，AB＝4，
∴∠ODB＝∠ODA＝90°，AD＝BD＝2，∴AG＝DG＝1，∴BG＝3.
过点O作OF⊥CG交CG于点F，则∠OFG＝∠CGD＝∠ODG＝90°，∴四边形ODGF是矩形，∴OF＝DG，OD＝FG.在Rt△ODB中，由勾股定理得OD＝＝1，∴FG＝1.在Rt△OCF中，
∵OF＝DG＝1，OC＝，∴CF＝＝2，
∴CG＝CF＋FG＝3，∴CG＝BG.
∵∠CGB＝90°，∴∠ABC＝45°，
在Rt△CGB中，由勾股定理得BC＝＝3 .
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2026秋人教新版九上数学暑假导学阶段测评
　九上全册　学情评估
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列四个标志中，是中心对称图形的是(　　)
2．反比例函数y＝的图象可能是(　　)
3．如图是一个简单的数值运算程序，则输入的x的值为(　　)
A．2或－2 B．3或－3 C．3或－1 D．－3或1
4．已知二次函数y＝x2－2的图象如图所示，则坐标原点可能是(　　)
A．点M B．点N C．点P D．点Q
(第4题)　　　　(第5题)
　　　　(第6题)　　　　(第7题)
5．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是(　　)
A．PA＝PB B．∠APO＝20°
C．∠OBP＝70° D．∠AOP＝70°
6．如图，坐标平面上有一个透明胶片，透明胶片上有一条抛物线及抛物线上一点P，且抛物线为y＝x2，点P的坐标是(2，4)．若将此透明胶片进行平移后，点P的坐标为(0，3)，则此时抛物线的解析式为(　　)
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
7．如图，点A是反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB，若△ABP的面积等于5，则k的值为(　　)
A．5 B．10 C．25 D.
8．如图，有一块长28 m、宽10 m的矩形草坪，其中阴影部分是修建的小路，已知草坪的面积是243 m2.设小路的宽度为x m，根据题意，下面所列方程正确的是(　　)
A．28×10－28x－10x＝243 B．2(28－x＋10－x)＝243
C．(28－x)(10－x)＋x2＝243 D．(28－x)(10－x)＝243
(第8题)　(第9题)
　　　(第10题)　　　(第11题)
9．图①是一个球形灯罩，图②是球形灯罩的截面示意图，过顶点H的直线HF经过灯罩截面所在圆的圆心，且垂直底座CD于点F，点A，B在圆上，AC，BD都垂直于CD.已知AC＝BD＝2 cm，CD＝12 cm，HF＝32 cm，则灯罩截面所在圆的半径为(　　)
A．15.5 cm B．15.6 cm C．15.7 cm D．15.8 cm
10．如图，在正方形ABCD中，将边BC绕点B逆时针旋转至BC′，连接CC′，DC′，若∠CC′D＝90°，C′D＝5，则线段BC′的长度为(　　)
A．10 B．5 C．5 D．5
11．如图，等边三角形OAB的边长为，半圆O的直径为1，AD，BC相交于点P，将等边三角形OAB从OA与OC重合的位置开始绕点O顺时针旋转α(0°≤α≤120°)．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是(　　)
结论Ⅰ：的长与的长之和为定值；
结论Ⅱ：使得∠CPD＝120°的α的值有两个．
A．Ⅰ对，Ⅱ错 B．Ⅰ错，Ⅱ对
C．Ⅰ和Ⅱ都错 D．Ⅰ和Ⅱ都对
12．嘉淇同学在研究二次函数y＝－(x－h)2－h＋1(h为常数)的性质时得到以下结论：
①这个函数图象的顶点始终在直线y＝－x＋1上；
②当－2＜x＜1时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为h≤－2；
③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若|x1－h|＞|x2－h|，则y1＜y2；
④存在一个h的值，使得函数图象与x轴的两个交点和函数图象的顶点构成等腰直角三角形．
其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)
13.在平面直角坐标系中，点(2m，－5)与点(－2，2n－1)关于原点对称，则m－n的值是__________．
14．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，方程(x＋2)*5＝0的解为______________．
15．如图，P1，P2，…，P10十个点在圆上，且这十个点将圆周分成十等份．连接P1P2，P2P3，…，P10P1得到正十边形，延长P10P9和P6P7，其夹角的度数是________．
(第15题)　　　　　　(第16题)
16．商场卫生间旋转门锁的工作简化图如图所示．锁芯O固定在距离门边(即EF)3.5 cm处(即OD＝3.5 cm)，在自然状态下，把手竖直向下(把手底端到达A处)．旋转一定角度，使得把手底端到达B处(恰好卡在门边)，此时A，B的竖直高度差为0.5 cm，当把手旋转到OC处，且OC⊥OB时，点C与点B的竖直高度差BH是________cm.
三、解答题(本大题共8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(7分)已知关于x的一元二次方程mx2－2x－4＝0.
(1)当方程有两个实数根时，求m的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当m取最小的整数时，求方程的解．
18．(8分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．
(1)不用量角器，在网格中画出△ABC绕点B按顺时针方向旋转90°后得到的△A1BC1；
(2)不使用圆规，只用无刻度直尺，过点B作AC的垂线交AC于点F，在图中标出垂足点F的位置；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)求BF的长度．
19．(8分)如图，已知BC是⊙O的直径，D是BC延长线上的一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
20.(9分)近年来，国家倡导“电动车，上牌照，保安全，戴头盔”．某头盔专卖店购进一批单价为36元的头盔，在销售中，通过分析销售情况发现：这种头盔的月销售量y(个)与售价x(元/个)满足函数关系y＝－2x＋200(42≤x≤72)．专卖店开展优惠活动：若购买一个这种头盔，就赠送一个成本为6元的头盔面罩．
(1)设专卖店在优惠活动期间，月销售利润为w元，求w与x之间的函数解析式；
(2)嘉嘉说：“在优惠活动期间，该专卖店的月销售的最大利润能达到1 700元．”请判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由．
21．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF.
(1)若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AF的长．
22．(9分)综合与实践
如图①，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B中放置一定质量的砝码(可左右移动)，可使得仪器左右平衡．改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到如下表：
托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30
托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10
(1)依据实验得出，x与y的对应点，请您在图②中画出函数图象，并求出函数解析式；
(2)当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离；
(3)当托盘B向左移动6 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的2倍，求在移动前托盘B中的砝码质量．
23.(10分)对于点P(xP，yP)与图形W，如果图形W上存在一点Q(xQ，yQ)，使得当xP＝xQ时，|yP－yQ|≤1，则称点P为图形W的一个“近卫点”．
(1)已知A(－2，2)，B(2，2)，在点P1(－3，3)，P2(－1，1)，P3(1，4)，P4中，是线段AB的“近卫点”的是________；
(2)如图①，以原点O为圆心，1为半径作⊙O.若直线y＝x＋b(b≠0)与x轴、y轴分别交于C，D两点，线段CD上任意一点都是⊙O的“近卫点”，求b的取值范围；
(3)已知点E(m，0)，以点E为中心的正方形s满足以下条件：四条边都平行于坐标轴，且边长为1.若正方形s上存在抛物线y＝x2－2(如图②)的“近卫点”，直接写出m的取值范围．
24．(12分)【概念理解】
如图①，若将⊙O沿着它的一条弦BC折叠，则折叠后的图形叫“叠圆”．
【概念应用】
在如图②所示的“叠圆”中，折叠后的与直径AB相交于点D，连接CD.
(1)若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝________°；
(2)延长CD交⊙O于点M，连接BM，猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由；
【拓展探究】
(3)在如图③所示的“叠圆”中，折叠后的与弦AB相交于点D，D恰好为AB的中点．若⊙O的半径为，弦AB的长为4，求∠ABC的度数和折痕BC的长．
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