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浙教版（2024）八上一周一测（十三）
第二次阶段复习测试（第1章~第4章）
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知线段a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与a，b组成三角形的是（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
2．（3分）若a＞b，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b B．2a＞a+b C．1﹣a＞1﹣b D．2a+1＜2b+1
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣10，2），则点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（3分）若点P（a﹣1，a+2）在x轴上，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
6．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）解不等式组，该不等式组的最大整数解是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．﹣3
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）
A．7 B．5 C． D．
9．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．有两个角互余的三角形一定是直角三角形
B．在三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边的对角为30°
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：4：5，则这个三角形为直角三角形
10．（3分）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝10，则AB的长为（　　）
A． B． C．10 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 　 　 （填“真命题”或“假命题”）．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　 　 ．
13．（3分）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 　 　 cm2．
14．（3分）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8，则△ABD的面积与△ACD的面积之比是 　 　 ．
15．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　 ．
16．（3分）如图是由5个全等的Rt△ABC，Rt△ABF，Rt△AEG，Rt△EHD，Rt△BKD，与一个小正方形FGHK组成，延长DK分别交AB、AC于点M、N，延长EH交BD于点P．若，则　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
18．（8分）已知点P（3a﹣15，2﹣a）．
（1）若点P到x轴的距离是3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移2个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P为斜边BC上一点（PB＜CP），分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若AE＝2DE＝2，求△ABC的面积．
20．（8分）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的高线AD．
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．
（3）在图③中画△BCF，使△ABC≌△FCB，其中点F不与点A重合．
21．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝1cm，点P是AB上一动点．
（1）连结DP，求DP的最小值；
（2）若∠B＝30°，求△ADB的面积．
22．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长．
23．（10分）
背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】 打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！ 日前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务． 近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）； ①若使用无人机配送商品，共需要 　 　 元； ②若不使用无人机配送商品，共需要 　 　 元． （结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是边AB上的一个动点．
（1）当D为AB中点时，求CD的长；
（2）当BD＝CD时，求证：D为AB中点；
（3）作A关于CD的对称点A'．
①当A'落在BC边上时，求△A'BD的面积；
②当A'D与△ABC某一条边平行时，则AD的长为 　 　 ．（直接写出答案）中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（十三）
第二次阶段复习测试（第1章~第4章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）已知线段a＝2cm，b＝4cm，则下列长度的线段中，能与a，b组成三角形的是（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】利用三角形三边关系判断即可，两边之和＞第三边＞两边之差．
【解答】解：∵a＝2cm，b＝4cm，
∴2cm＜第三边＜6cm
∴能与a，b能组成三角形的是4cm，
故选：B．
2．（3分）若a＞b，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＞﹣b B．2a＞a+b C．1﹣a＞1﹣b D．2a+1＜2b+1
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，2a＞a+b，1﹣a＜1﹣b，2a+1＞2b+1，
故四个选项中，只有选项B符合题意．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣10，2），则点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可．
【解答】解：根据平面直角坐标系中点的坐标特征可知：点P的坐标为（﹣10，2），
则点P所在的象限是第二象限．
故选：B．
4．（3分）若点P（a﹣1，a+2）在x轴上，则a的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据x轴上点的纵坐标为0解答即可．
【解答】解：∵点P（a﹣1，a+2）在x轴上，x轴上点的纵坐标为0，
∴a+2＝0，
即a＝﹣2．
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝DC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，∠B＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝80°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
∵AD＝CD，
∴∠C40°．
故选：B．
6．（3分）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的定义即可得到结论．
【解答】解：A：由作图痕迹可知，射线OP为∠AOB的平分线；
B：由作图痕迹可知，OC＝OD，OA＝OB，
又∵∠AOD＝∠BOC，
∴△ADO≌△BCO（SAS），
同理可得△ACP≌△BDP（AAS），△APO≌△BPO（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
射线OP为∠AOB的平分线；
C：由作图痕迹可知，∠ACP＝∠AOB，CP∥OB，
可得∠CPO＝∠POB，
又由图可知CO＝CP，
∴∠COP＝∠CPO，
∴∠POB＝∠COP，
射线OP为∠AOB的平分线；
D：由作图痕迹可知，CO＝OD，△OCD是等腰三角形，
∴射线OP是CD的垂直平分线，
也是∠AOB的平分线．
故选：D．
7．（3分）解不等式组，该不等式组的最大整数解是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．﹣3
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，据此可得其最大整数解．
【解答】解：解不等式（x﹣1）≤1，得：x≤3，
解不等式1﹣x＜2，得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
所以不等式组的最大整数解为3，
故选：A．
8．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O是△ABC外一点，O到三边的垂线段分别为OD，OE，OF，且OD：OE：OF＝1：4：4，则AO的长度为（　　）
A．7 B．5 C． D．
【分析】连接OB，OC，根据已知可设OD＝x，则OE＝OF＝4x，从而可得AO平分∠BAC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得AO⊥BC，从而可得点A、D、O三点共线，进而可得BD＝DCBC＝3，最后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AD的长，从而利用面积法进行计算可求出OD的长，即可解答．
【解答】解：连接OB，OC，
∵OD：OE：OF＝1：4：4，
∴设OD＝x，则OE＝OF＝4x，
∵OF⊥AB，OE⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴点A、D、O三点共线，
∴BD＝DCBC＝3，
在Rt△ABD中，AB＝5，
∴AD4，
∵△ABC的面积＝△ABO的面积+△ACO的面积﹣△BOC的面积，
∴BC ADAB OFAC OEBC OD，
∴BC AD＝AB OF+AC OE﹣BC OD，
∴6×4＝5 4x+5 4x﹣6x，
解得：x，
∴OD，
∴AO＝AD+OD＝4，
故选：D．
9．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．有两个角互余的三角形一定是直角三角形
B．在三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边的对角为30°
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：4：5，则这个三角形为直角三角形
【分析】根据直角三角形的判定和性质进行判断即可．
【解答】解：A、有两个角互余的三角形一定是直角三角形，是真命题；
B、在直角三角形中，若一边等于另一边一半，则较小边的对角为30°，原命题是假命题；
C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题；
D、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：4：5，则这个三角形为直角三角形，是真命题；
故选：B．
10．（3分）将一个等腰三角形ABC纸板沿垂线段AD，DE进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中EC与BD共线．若BD＝10，则AB的长为（　　）
A． B． C．10 D．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，CD＝BD＝10，因此∠KNB＝∠KBN，MN＝CD＝10，AK＝AD，推出KN＝KB，由余角的性质推出∠M＝∠MBK，得到MK＝KB，求出KBMN＝5，设AD＝x，由勾股定理得到（x+5）2＝x2+102，求出x，即可得到AB5．
【解答】解：如图1，
∵AC＝AB，
∴∠C＝∠B，
∵AD⊥BC，
∴CD＝BD＝10，
如图2，
由题意得：∠KNB＝∠KBN，MN＝CD＝10，AK＝AD，
∴KN＝KB，
∵∠KNB+∠M＝∠KBN+∠MBK＝90°，
∴∠M＝∠MBK，
∴MK＝KB，
∴KBMN＝5，
设AD＝x，
∴AB＝x+5，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴（x+5）2＝x2+102，
∴x，
∴AB5．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 　真命题　 （填“真命题”或“假命题”）．
【分析】根据三角形内角和定理判断即可．
【解答】解：三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；
故答案为：真命题．
12．（3分）在平面直角坐标系中，将点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是 　（2，﹣2）　 ．
【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．
【解答】解：点A（﹣1，2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（﹣1+3，2），即（2，2），
则点B关于x轴的对称点C的坐标是（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）．
13．（3分）若一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 　120　 cm2．
【分析】根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：设三边分别为5x，12x，13x，
则5x+12x+13x＝60，
∴x＝2，
∴三边分别为10cm，24cm，26cm，
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形，
∴S＝10×24÷2＝120cm2．
故答案为：120．
14．（3分）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AB＝12，AC＝8，则△ABD的面积与△ACD的面积之比是 　3：2　 ．
【分析】利用角平分线的性质可知点D到AB、AC的距离相等，即两三角形的高相等，观察△ABD与△ACD，面积比即为已知AB、AC的比，可得出答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB的距离等于点D到AC的距离，
又∵AB：AC＝12：8＝3：2，
则△ABD与△ACD的面积之比为3：2．
故答案为：3：2．
15．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是m≤﹣2　 ．
【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
【解答】解：，
①+②得2x+2y＝4m+8，
则x+y＝2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
故答案为：m≤﹣2．
16．（3分）如图是由5个全等的Rt△ABC，Rt△ABF，Rt△AEG，Rt△EHD，Rt△BKD，与一个小正方形FGHK组成，延长DK分别交AB、AC于点M、N，延长EH交BD于点P．若，则　　 ．
【分析】设AF＝EG＝DH＝BK＝BC＝a，FK＝GF＝HG＝HK＝b，根据三角形的全等性质和面积公式，结合已知求出a，b之间的关系式，从而求得面积比．
【解答】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设FK＝GF＝HG＝HK＝b，AF＝EG＝DH＝BK＝BC＝a
∴AG＝BF＝AC＝DK＝EH＝a+b，
∴，
∵DH＝BK＝a，∠PHD＝∠BKM＝90°，∠PDH＝∠MBK＝90°﹣∠BMK，
∴△PHD≌△MKB（AAS），
∴S△PHD＝S△MKB，
∴，
∵，
∴，
∴a＝4b，
∴，
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式5x≥3x﹣1，得，；
解不等式2，得x＜3；
所以该不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：
．
18．（8分）已知点P（3a﹣15，2﹣a）．
（1）若点P到x轴的距离是3，试求出a的值；
（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移2个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．
【分析】（1）根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值构建方程求解即可．
（2）利用平移的性质解决问题即可．
（3）根据不等式组解决问题即可．
【解答】解：（1）∵点P（3a﹣15，2﹣a），
∴|2﹣a|＝3，
∴a＝﹣1或a＝5．
（2）由a＝﹣1得：点P（﹣18，3），
由a＝5得：点P（0，﹣3），
∴点Q的坐标为（﹣18，5）或（0，﹣1）．
（3）∵点P（3a﹣15，2﹣a）位于第三象限，
∴，
解得：2＜a＜5．因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a＝3或4，
当a＝3时，点P（﹣6，﹣1），
当a＝4时，点P（﹣3，﹣2）．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，P为斜边BC上一点（PB＜CP），分别过点B，C作BE⊥AP于点E，CD⊥AP于点D．
（1）求证：AD＝BE；
（2）若AE＝2DE＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据同角的余角相等可得∠BAE＝∠ACD，根据“AAS”可证∠BAE＝∠ACD，可得AD＝BE；
（2）由题意可得AD＝1，CD＝2，根据勾股定理可求AC的长，根据三角形面积公式可求△ABC的面积．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠BAE+∠CAD＝90°，
∵CD⊥AD，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠BAE＝∠ACD，且AB＝AC，∠AEB＝∠ADC＝90°，
∴△ACD≌△BEA（AAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△ACD≌△BEA，∴AE＝CD，
∵AE＝2DE＝2，AE＝AD+DE，
∴AD＝DE＝1，AE＝CD＝2，
在Rt△ACD中，AC，
∴AB＝AC，
∴S△ABCAB×AC．
20．（8分）图①、图②、图③均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出△ABC的高线AD．
（2）在图②△ABC的边BC上找到一点E，连接AE，使AE平分△ABC的面积．
（3）在图③中画△BCF，使△ABC≌△FCB，其中点F不与点A重合．
【分析】（1）找到经过点A且与BC垂直的直线与BC的交点D，连接AD即可；
（2）找到BC的中点E，连接AE即为△ABC的中线；
（3）找到点A关于BC的垂直平分线的对称点F，再连接BF、CF即可．
【解答】解：（1）如图①所示，线段AD即为所求；
（2）如图②所示，线段AE即为所求；
（3）如图③所示，△BCF即为所求；
21．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，CD＝1cm，点P是AB上一动点．
（1）连结DP，求DP的最小值；
（2）若∠B＝30°，求△ADB的面积．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质求出DH，再根据垂线段最短解答即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质求出BD、AD，根据勾股定理求出AC，再根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥AB于H，
∵AD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，DH⊥AB，
∴DH＝CD＝1cm，
由垂线段最短可知：DP的最小值是1cm；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
则∠BAC＝90°﹣30°＝60°，BD＝2DH＝2cm，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD∠BAC＝30°，
∴AD＝2CD＝2cm，
由勾股定理得：AC22﹣12（cm），
∴S△ADB2（cm2）．
22．（10分）已知，DA，DB，DC是从点D出发的三条线段，且DA＝DB＝DC．
（1）如图①，若点D在线段AB上，连接AC，BC，试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）如图②，连接AC，BC，AB，且AB与CD相交于点E，若AC＝BC，AB＝16，DC＝10，求CE的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，根据三角形的内角和得到∠ACB＝90°，于是得出△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到CD垂直平分AB，再根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵DA＝DB＝DC，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠B+∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）∵DA＝DB，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
∵AC＝BC，
∴点C在线段AB的垂直平分线上，
∴CD垂直平分AB，
∴∠AEC＝∠AED＝90°，
∵AB＝16，DC＝10，
∴AE＝8，AD＝CD＝10，
∴，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
∴CE＝4．
23．（10分）
背景 【长城上可以点无人机送的外卖了】 打开手机外卖软件下单，在长城上也可以点外卖了，最快5分钟收货！ 日前，美团无人机在八达岭长城开通了北京首条无人机配送航线，为降落点附近的游客提供了应急救援等商品货物配送服务，这也是北京市内首次开通常态化无人机配送服务． 近年来，中国低空经济发展迅速，成为了经济增长的新动能．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（0＜a＜30）； ①若使用无人机配送商品，共需要 　（4750﹣30a）　 元； ②若不使用无人机配送商品，共需要 　（4800﹣32a）　 元． （结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
【分析】任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，根据“某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
任务2：根据购买两款商品的总数量及购买A商品的数量，可得出购买（30﹣a）件B商品，再利用总价＝单价×数量，结合两种促销方案，即可用含a的代数式表示出使用无人机配送商品及不使用无人机配送商品，所需费用；
任务3：根据使用无人机配送商品更合算，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合0＜a＜30，即可得出结论．
【解答】解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件，
∴B商品购买（30﹣a）件．
①若使用无人机配送商品，共需要250+160×0.75a+200×0.75（30﹣a）＝（4750﹣30a）元；
②若不使用无人机配送商品，共需要160×0.8a+200×0.8（30﹣a）＝（4800﹣32a）元．
故答案为：①（4750﹣30a）；②（4800﹣32a）；
任务3：根据题意得：4750﹣30a＜4800﹣32a，
解得：a＜25，
又∵0＜a＜30，
∴0＜a＜25．
答：当0＜a＜25时，使用无人机配送商品更合算．
24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点D是边AB上的一个动点．
（1）当D为AB中点时，求CD的长；
（2）当BD＝CD时，求证：D为AB中点；
（3）作A关于CD的对称点A'．
①当A'落在BC边上时，求△A'BD的面积；
②当A'D与△ABC某一条边平行时，则AD的长为 　1或3　 ．（直接写出答案）
【分析】（1）由直角三角形的性质可求解；
（2）由等腰三角形的性质可得∴∠BCD＝∠B，由余角的性质可得∠A＝∠ACD，可证AD＝CD＝BD，可得结论；
（3）①由轴对称的性质可得∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，由角平分线的性质可得DE＝DF，由面积法可求DF的长，即可求解；
②分两种情况讨论，由轴对称的性质和平行线的性质可求解．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CDAB＝2.5；
（2）∵BD＝CD，
∴∠BCD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠ACD+∠BCD，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BD，
∴D为AB中点；
（3）①如图1，过点D作DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠BCD，AC＝A'C＝3，
又∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
设DE＝DF＝x
∵S△ABC3×4＝6，
∴3×x4×x＝6，
∴x，
∴S△A'BD（4﹣3）；
②当A'D∥BC时，如图2，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ACD＝∠A'CD，∠A＝∠A'，
∵A'D∥BC，
∴∠A'＝∠BCA'＝∠A，
∴∠BCA'+∠A'CD＝∠A+∠ACD，
∴∠DCB＝∠BDC，
∴BD＝CB＝4，
∴AD＝1；
当A'D∥AC时，如图3，
∵点A与点A'关于CD对称，
∴∠ADC＝∠A'DC，
∵A'D∥AC，
∴∠ACD＝∠A'DC，
∴∠ACD＝∠ADC，
∴AD＝AC＝3，
故答案为1或3．

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