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2026秋人教新版九上数学暑假导学阶段测评
第二十六章　学情评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．已知二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 其图象的开口向下 B. 其图象与轴有两个交点
C. 其图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
4．已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】C
5．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为，则，的值分别是（ ）
A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ，
【答案】A
6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ）
（第6题）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为 轴，单位：，则下列说法不正确的是（ ）
（第7题）
A. 出球点离点的距离是
B. 羽毛球横向飞出的最远距离是
C. 羽毛球运动中达到的最大高度为
D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点
【答案】B
8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
9．如图，二次函数,,为常数，的图象与轴交于点，.有下列结论：；②若点和均在此函数图象上，则；；.其中正确的有（ ）
（第9题）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点 在 轴的负半轴上），与轴交于点，过点作轴交二次函数的图象于点，连接，，若，则点的横坐标为（ ）
（第10题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．请写出一个二次函数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其图象满足条件：①开口向下；②过原点.
【答案】（答案不唯一）
12．已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】
13．下表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个近似解为_ _ _ _ _ _ _ _ .精确到
2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
0.19 1
【答案】
14．［教材探究1变式］某商店以每件40元的价格购进了一批服装，若按每件50元销售，一周可销售100件.当每件的售价每提高1元时，其周销售量就会减少5件.若设每件的售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
15．已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点.若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为_ _ _ _ .
【答案】2
16．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点到的距离为.在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点，在边上，点，在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系.若，则矩形窗户的宽_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共66分）
17．（8分）已知二次函数.
（1） 将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项；
（2） 写出该二次函数图象的顶点坐标.
【答案】（1） 解：.二次项是,一次项是，常数项是0.
（2） ，则该二次函数图象的顶点坐标为.
18．（8分）如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线.
（1） 求的值；
（2） 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
【答案】
（1） 解：由二次函数为常数知,其图象与轴的交点坐标是和.
图象的对称轴为直线,
,解得.
（2） 由（1）知,则该二次函数的解析式是,
即.
平移后的图象经过原点，
平移后图象所对应的二次函数的解析式是.
19．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线状.当球飞行的水平距离为时，球到达最高点，此时球离地面.已知球门高为,现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【答案】
（1） 解：易知抛物线的顶点坐标为.
设抛物线对应的函数解析式为，
把点的坐标代入，得，解得，
抛物线对应的函数解析式为.
当时，， 球不能射进球门.
（2） 设小明应带球向正后方移动，则移动后的抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处.
20．（12分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上.
（1） 求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
（2） 当时，该函数的最小值为，最大值为，求的取值范围；
（3） 若该函数图象与轴的两个交点的横坐标为，，满足，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：将点的坐标代入，得，
， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
（2） 当时，；由（1）知当时，.根据对称性知当和时，的值相等， 易知.
（3） 该函数图象的对称轴为直线，.
又，，.
当时，，
当时，，
即，解得.
21．（12分）果园有果树60棵，现准备多种一些果树来提高产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内每棵果树的平均产量为.在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且 为整数棵，该果园每棵果树的平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数关系，且满足如图所示的图象.
（1） 图中点所表示的实际意义是_ _ _ _ _ _ _ _ ，每增种1棵果树，每棵果树的平均产量减少_ _ _ _ _ _ .
（2） 求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
（3） 当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？
【答案】（1） ；
（2） 解：设关于的函数解析式为.
把分别代入上式，得解得
关于的函数解析式为,自变量的取值范围是，且为整数.
（3） .
, 当时,取最大值，.
答:当增种果树50棵时,果园的总产量最大，最大总产量是.
22．（16分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.
（1） 求该抛物线对应的函数解析式；
（2） 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：根据题意得
解得 该抛物线对应的函数解析式为.
（2） ，， 易得直线的解析式为.
设，
则易得，，
.
， 当时，有最大值，此时.
（3） 存在.如图，过点作交抛物线的对称轴于点，过点作交抛物线的对称轴于点，连接，，由（1）易知抛物线的对称轴为直线.
设，则，，
由，可得，解得，
， 易得直线的解析式为.
,,
，
又 直线经过，
易得直线的解析式为，
当时，，
.
综上所述，点的坐标为或.
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第二十六章　学情评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3．已知二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 其图象的开口向下 B. 其图象与轴有两个交点
C. 其图象的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
4．已知二次函数，当时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】C
5．将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为，则，的值分别是（ ）
A. 1， B. 1，2 C. 1，3 D. ，
【答案】A
6．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为（ ）
（第6题）
A. B.
C. 或 D.
【答案】C
7．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线的一部分如图所示，水平地面为 轴，单位：，则下列说法不正确的是（ ）
（第7题）
A. 出球点离点的距离是
B. 羽毛球横向飞出的最远距离是
C. 羽毛球运动中达到的最大高度为
D. 当羽毛球横向飞出时，可到达最高点
【答案】B
8．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
9．如图，二次函数,,为常数，的图象与轴交于点，.有下列结论：；②若点和均在此函数图象上，则；；.其中正确的有（ ）
（第9题）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
10．如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点 在 轴的负半轴上），与轴交于点，过点作轴交二次函数的图象于点，连接，，若，则点的横坐标为（ ）
（第10题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．请写出一个二次函数：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其图象满足条件：①开口向下；②过原点.
【答案】（答案不唯一）
12．已知点，在二次函数的图象上，则与的大小关系为_ _ _ _ （填“ ”“ ”或“”）.
【答案】
13．下表是二次函数的自变量与函数值的部分对应值，由此可以判断方程的一个近似解为_ _ _ _ _ _ _ _ .精确到
2 2.5 2.6 2.65 2.7 3
0.19 1
【答案】
14．［教材探究1变式］某商店以每件40元的价格购进了一批服装，若按每件50元销售，一周可销售100件.当每件的售价每提高1元时，其周销售量就会减少5件.若设每件的售价为元，总利润是元，则关于的函数解析式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
15．已知抛物线经过和两点，为轴上方抛物线上一点.若点到对称轴的距离与点到轴的距离相等，则点的纵坐标为_ _ _ _ .
【答案】2
16．如图，某活动板房由矩形和抛物线构成，矩形的边长，，抛物线的最高点到的距离为.在该抛物线与之间的区域内装有一扇矩形窗户，点，在边上，点，在抛物线上，建立如图所示的平面直角坐标系.若，则矩形窗户的宽_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共66分）
17．（8分）已知二次函数.
（1） 将该二次函数化为一般式，并分别写出其二次项、一次项和常数项；
（2） 写出该二次函数图象的顶点坐标.
【答案】（1） 解：.二次项是,一次项是，常数项是0.
（2） ，则该二次函数图象的顶点坐标为.
18．（8分）如图，二次函数为常数的图象的对称轴为直线.
（1） 求的值；
（2） 向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的解析式.
【答案】
（1） 解：由二次函数为常数知,其图象与轴的交点坐标是和.
图象的对称轴为直线,
,解得.
（2） 由（1）知,则该二次函数的解析式是,
即.
平移后的图象经过原点，
平移后图象所对应的二次函数的解析式是.
19．（10分）一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线状.当球飞行的水平距离为时，球到达最高点，此时球离地面.已知球门高为,现以为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
（1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；
（2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？
【答案】
（1） 解：易知抛物线的顶点坐标为.
设抛物线对应的函数解析式为，
把点的坐标代入，得，解得，
抛物线对应的函数解析式为.
当时，， 球不能射进球门.
（2） 设小明应带球向正后方移动，则移动后的抛物线的解析式为，把点的坐标代入，得，解得（舍去）或， 当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处.
20．（12分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上.
（1） 求该函数图象的对称轴及顶点坐标；
（2） 当时，该函数的最小值为，最大值为，求的取值范围；
（3） 若该函数图象与轴的两个交点的横坐标为，，满足，求的取值范围.
【答案】
（1） 解：将点的坐标代入，得，
， 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为.
（2） 当时，；由（1）知当时，.根据对称性知当和时，的值相等， 易知.
（3） 该函数图象的对称轴为直线，.
又，，.
当时，，
当时，，
即，解得.
21．（12分）果园有果树60棵，现准备多种一些果树来提高产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内每棵果树的平均产量为.在确保每棵果树平均产量不低于的前提下，设增种果树且 为整数棵，该果园每棵果树的平均产量为，它们之间的函数关系为一次函数关系，且满足如图所示的图象.
（1） 图中点所表示的实际意义是_ _ _ _ _ _ _ _ ，每增种1棵果树，每棵果树的平均产量减少_ _ _ _ _ _ .
（2） 求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
（3） 当增种果树多少棵时，果园的总产量最大？最大总产量是多少？
【答案】（1） ；
（2） 解：设关于的函数解析式为.
把分别代入上式，得解得
关于的函数解析式为,自变量的取值范围是，且为整数.
（3） .
, 当时,取最大值，.
答:当增种果树50棵时,果园的总产量最大，最大总产量是.
【解析】
（1） 增种果树28棵时，每棵果树的平均产量为;
22．（16分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.
（1） 求该抛物线对应的函数解析式；
（2） 若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
（3） 在该抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解：根据题意得
解得 该抛物线对应的函数解析式为.
（2） ，， 易得直线的解析式为.
设，
则易得，，
.
， 当时，有最大值，此时.
（3） 存在.如图，过点作交抛物线的对称轴于点，过点作交抛物线的对称轴于点，连接，，由（1）易知抛物线的对称轴为直线.
设，则，，
由，可得，解得，
， 易得直线的解析式为.
,,
，
又 直线经过，
易得直线的解析式为，
当时，，
.
综上所述，点的坐标为或.
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