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专题3-2 函数的单调性与最值
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc179415738" 【题型1】单调性的概念与判断 1
HYPERLINK \l "_Toc179415739" 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 4
HYPERLINK \l "_Toc179415740" 【题型3】定义法讨论函数的单调性 7
HYPERLINK \l "_Toc179415741" 【题型4】利用单调性比较大小 9
HYPERLINK \l "_Toc179415742" 【题型5】求函数的最值或值域 12
HYPERLINK \l "_Toc179415743" 【题型6】利用单调性解不等式 14
HYPERLINK \l "_Toc179415744" 【题型7】在某区间上单调求参数范围 16
HYPERLINK \l "_Toc179415745" 【题型8】分段函数单调性问题 19
HYPERLINK \l "_Toc179415746" 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 21
HYPERLINK \l "_Toc179415747" 【题型10】分段函数值域问题 22
HYPERLINK \l "_Toc179415748" 【题型11】复合函数单调性 24
HYPERLINK \l "_Toc179415749" 【题型12】不等式恒成立问题 27
HYPERLINK \l "_Toc179415750" 【课后作业】 30
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【题型1】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
知识点诠释：
（1）属于定义域内某个区间上；
（2）任意两个自变量且；
（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势 下降趋势
二、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
三、单调函数的运算性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
函数是上的减函数，
函数，的单调性无法判断.
（多选）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】，一次函数，，函数值随的增大而减小，故A错误；
，一次函数，，函数值随的增大而增大，故B正确；
，反比例函数，，在二四象限内，函数值随的增大而增大，
将函数图像向左平移1个单位长度可得，
则当，的函数值随的增大而增大，故C正确；
，反比例函数，，在一三象限内，函数值随的增大而减小，故D错误；
故选：BC
【巩固练习1】已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，且，
由增函数的定义可知，当时，有，
充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾，
若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立.
即对实数，“”是“”的充要条件.
【巩固练习2】下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的图像可知，其单调递增区间是，，所以A对．
因为抛物线的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以该抛物线在上不单调，所以B错；
因为直线的斜率为-1，所以在上为减函数，所以C错；
根据函数的图像可知其在上为减函数，所以D错；故选：A．
【巩固练习3】已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数
【答案】A
【分析】在上是减函数，故选项正确；举例说明选项错误，即得解.
【详解】选项，函数在上是增函数，在上是减函数，故选项正确；
选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数，
如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项．
选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数，
如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项．
选项，函数在上是增函数，但为实数）在上不一定是增函数，
例如在上是增函数，但在上不是增函数，故排除选项.
故选：A
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
函数的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】二次函数开口向上，对称轴为，
所以函数的单调递减区间为.
已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和 C． D．和
【答案】B
【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B
函数的单调递增区间为
【答案】和
【详解】，
所以的单调递增区间为和
故答案为：和
【巩固练习1】函数，的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上，
所以其单调区间为.
【巩固练习2】函数的单调递增区间为 .
【答案】
【解析】，
由，得，
当时，单调递减，单调递增；
当时，单调递减，单调递增，
所以的单调增区间为．
【巩固练习3】已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．和 D．和
【答案】C
【解析】因为函数的对称轴为直线，
由可得或，作出函数的图象如下图所示：
由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C.
【题型3】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
已知函数（，），用单调性的定义证明在上是增函数.
【答案】证明见解析
【解析】当时，，
任取，且，
则.
因为，所以，，，
所以，即.
所以在上是增函数.
已知函数,若在是增函数，求实数的范围.
【答案】.
【详解】设，
，
要使函数在上为增函数，必须恒成立．
，即恒成立．
又，．的取值范围是．
【巩固练习1】已知函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明函数在上是增函数.
【解析】（1），；
（2）设，
，
，即
则函数在上是增函数
【巩固练习2】已知函数，图象经过点，且.
(1)求的值；
(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性.
【答案】(1)
(2)在区间上单调递增，理由见解析
【分析】（1）待定系数法得到方程组，求出答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论.
【详解】（1）由题意得，解得，
（2）在区间上单调递增，理由如下：
任取，且，
故
，
因为，所以，
又，所以，
故，
故，在区间上单调递增.
【巩固练习3】已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据定义法证明函数单调性的基本步骤，逐步进行证明即可；
（2）作差通分，根据已知可将问题转化为恒成立问题，分析即可得a取值范围.
【详解】（1）证明：设，
则.
∵，∴，，
∴，即，
∴在内单调递增.
（2）设，则
.
∵，，
∴，
∴要使，只需恒成立，
若，则当时，，
当时，，
∴.
综上所述，a的取值范围为.
【题型4】利用单调性比较大小
单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，，结合在上单调递减，
则必有，显然B正确，A错误，
而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.
函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】是定义在上的减函数，
与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；
，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；
，，，故C正确．
，时，；时，，故关系不确定，D错误
【巩固练习1】函数为定义在上的单调增函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】函数为定义在上的单调增函数，
当时，，故错误；
当时，，故错误；
当时，，故正确；
当时，，故错误
【巩固练习2】已知函数.
(1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增；
(2)若，试比较，的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题目条件得：，
任取，
则.
因为，
所以，，
则，即.
故在上单调递增.
（2）解：因为，
所以.
又因为，当且仅当时，等号成立，而.
所以.
因为在上单调递增，
所以.
【题型5】求函数的最值或值域
利用函数的单调性求最值的常用结论
（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；
（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值.
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。
已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
【答案】A
【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.
【详解】函数在上单调递增，则，
所以函数的最大值为15.
当时，则函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法，结合反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】令，因为，所以，
当时，函数单调递减，故，
当时，即，所以，
所以函数的值域为：.
【巩固练习1】函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故在上的值域为.故选：D
【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【解题思路】由题可知f(x)在上是减函数，从而可求出其最大值
【解答过程】解：因为函数和在上均为减函数，
所以f(x)在上是减函数，
∴f(x)max＝f(－2)＝2－＝.
【巩固练习3】函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，
当时，；当时，；
所以函数的值域为.故选：D.
【题型6】利用单调性解不等式
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
（1）若为增函数，则
（2）若为减函数，则
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
（2024·高一·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是.
已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是________
【答案】
【分析】由已知有，即可求取值范围.
【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，
所以，解得.
（多选）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ）
A． B．任意给定，
C． D．若，则
【答案】ABD
【详解】任意给定，都有，则函数关于对称，
又任意，，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故函数在处取最大值，B正确；
，C错误；
，所以，A正确；
若，则，解得，D正确，
故选：ABD.
【巩固练习1】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因是定义在R上的增函数，故由可得
，即，解得.
【巩固练习2】（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案.
【详解】由，则，
因为函数在上是减函数，所以，
则，.
【巩固练习3】已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果.
【详解】由题意可得，，解得.
所以的取值范围是.
【巩固练习4】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】因为对任意给定的实数，均有恒成立，
所以函数在上单调递减，又，
又不等式，
所以当，即时 ，，
则，解得，故；
当，即时 ，，
则，解得，故；
综上，不等式的解集为.
【题型7】在某区间上单调求参数范围
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法：
（1）直接法
（2）数形结合
（3）结合单调性定义的等价形式
（4）分段函数单调性问题注意比较端点位置
（5）注意定义域的限制
如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案.
【详解】开口向上，对称轴为，
要想函数在区间上单调递增，则需，解得，
故实数的取值范围是
已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】依题意，函数的对称轴为，
又在区间上是单调函数，故或，解得或.
故答案为：
（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得.
【解答过程】函数的图象对称轴为，依题意，，得，
所以的取值范围为.
已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数定义可得在上恒成立，利用参变分离结合恒成立问题可得，再根据复合函数单调性结合二次函数性质可得.
【详解】由题意可知：在上恒成立，
整理得在上恒成立，
因为在上单调递减，则在上单调递减，
且，可得，
又因为在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，
可得在上单调递减，则，可得，
综上所述：a的取值范围是.
【巩固练习1】若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 .
【答案】－4
【解析】由已知，对称轴为直线，
又单调递增区间是，所以，．
【巩固练习2】函数在区间上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性同增异减求得的取值范围.
【详解】依题意，在区间上单调递减，
所以，即，解得，
所以的取值范围是.
【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数在区间上为单调递增函数，
当时，在上为单调递增函数，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
【题型8】分段函数单调性问题
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分段函数是上的减函数，不仅需要每一段是单调递减的，还需要左边一段的最低不高于右边一段的最高，据此列不等式求解即可.
【详解】函数是上的减函数,
则，解得
已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题得函数在定义域上单调递增，列出不等式组得解.
【详解】因为对任意都有，
所以函数在定义域上单调递增，
所以， 解得，
所以a的范围是
【巩固练习1】已知函数是增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为为增函数，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
【巩固练习2】若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】要使在上单调递增，
故在上递增，在上递增，且，
所以.
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
若函数的定义域是，值域是，则 ．
【答案】或
【解析】由题设，则在定义域上单调，
所以或，可得或，
所以或.
故答案为：或
【巩固练习1】已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由，
而函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又其在上的最小值为8，
所以，解得.故选：C.
【巩固练习2】已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画出函数的图象，如下图所示：
易知，；
若时的值域是，由图可知.故选：C
【题型10】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质结合基本不等式求解即可.
【详解】，当时，，
当且仅当即时，等号成立；
当时，，要使是的最小值，
只需在上递减，且，
即，解得.
已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数以及反比例函数的性质即可求解.
【详解】当时，函数，
若函数当时，，
当时，，此时函数的最大值为4，符合要求，
当时，在上单调递减，故，
若有最大值，则，则，
综上可知
【巩固练习1】设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-
【答案】A
【分析】当时，由一次函数单调性可知无最小值，不合题意；当时，结合二次函数性质可知，满足题意；当和时，根据函数存在最小值可确定分段处的函数值的大小关系，由此解得的范围；综合所有情况即可得到的最大值.
【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
存在最小值，满足题意；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得：，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
【巩固练习2】已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】注意到反比例函数的定义域不包括0，因此对分类讨论即可.
【详解】当时，无最大值，
要使函数存在最大值，则且，
即，
解得.
【题型11】复合函数单调性
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
【答案】C
【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间.
【详解】设，则有且，
，则，
所以函数的定义域为：且，
由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和；
又因为在区间和上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和.
函数的单调递增区间是 ．
【答案】（区间开闭都行）
【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断.
【详解】令，解得，即函数的定义域为，
令，其图象开口向下，对称轴为，
则在上单调递增，在上单调递减，
且在定义域内单调递增，
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
已知，若，则（ ）
A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数
【答案】A
【分析】直接利用复合函数单调性得到答案.
【详解】在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性：
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
【巩固练习1】函数的单调增区间是 ．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间.
【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为，
易知函数由复合而成，
且在单调递减，在单调递增，在上单调递减；
利用复合函数单调性可得的单调增区间是
【巩固练习2】已知，若，则（ ）
A．在区间内递减 B．在区间内递减
C．在区间内递增 D．在区间内递增
【答案】A
【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果.
【详解】令，则，因为，故，
易知，在上单调递减， 在上单调递增，
又易知，在上单调递增，在上单调递减，
由，得到或，由，得到，
因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减，
因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增，
又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增，
因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增，
故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减
【巩固练习3】（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.
【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
【题型12】不等式恒成立问题
高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。
对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】法一：由题意，恒成立，
等价于，
当时，即，，则恒成立，
，，解得：，
当时，即时，不等式不成立，
当时，即，，则，
，，解得：，
综上所述：的取值范围是或；
法二：由，即，
令函数，
，即，对于中的任意恒成立，
则有且，即，解得或，
所以的取值范围是或.
故选：D．
函数，，若，，使得，求实数a的取值范围.
【答案】
【详解】因为，对称轴为，
当时，，函数的值域为，
一次函数是实数集上的增函数，
当时，函数的值域为，
若，，使得，
所以，即，
所以a的取值范围是.
【巩固练习1】已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围.
【答案】
【详解】函数开口向上，
故对任意都有成立，
只需满足，
解得.
【巩固练习2】已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据已知可推得在上的值域为在上的值域的子集.根据分段函数各段的单调性，得出.进而分，，三种情况，得出的范围，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由任给，存在．使得，
可知，在上的值域为在上的值域的子集.
根据二次函数的性质可知，当时，单调递减，
且，，
所以，；
当时，. ，且，
则.
因为，且，所以，，，
所以，，，所以，在上单调递增.
又，所以，.
综上所述，当时，.
当时，单调递增，所以.
所以有，解得；
当时，不满足；
当时，单调递减，所以.所以有，解得.
综上所述，或.
故答案为：.
【课后作业】
已知函数的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】先求出定义域，再根据复合函数单调性求出答案.
【详解】令，解得，故函数定义域为，
其中，
故在上单调递增，在上单调递减，
其中在上单调递增，
由复合函数单调性可知，的单调递增区间为.
已知关于对称，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，，
因为在上单调递减，所以.故选：A.
函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解.
【详解】由于为开口向下的二次函数，对称轴为，
所以
已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤-3或a≥2 D．-3≤a≤-2
【答案】A
【分析】先确定二次函数f（x）=x2-2ax+1的单调区间，然后根据题目中提供的单调区间，分析参数的取值范围
【详解】根据题意：二次函数f（x）=x2-2ax+1，单调递增区间：;单调减区间
因此：（1）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调增函数，则a≤2
（2）二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内为单调减函数，则a≥3
故选：A
函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是
【答案】
【分析】先确定的定义域，然后利用的单调性和的单调性即可确定的单调性.
【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为.
由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是.
已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.故选：B.
已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用函数单调性可得答案.
【详解】因为函数在定义域上是减函数，
需满足，解得，
即的取值范围为.
若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对任意，都有成立可判断是上的减函数，通过各段上的单调性分析及区间端点函数值的比较，列出不等式组求解即可.
【详解】由题意可知：
对任意的实数，都有成立，
是上的减函数，
，解得
已知函数
（1）若，函数的值域为
（2）若是上的减函数，则的范围是
【答案】
【分析】（1）利用一次函数与反比例函数的单调性即可求得的值域；
（2）分段讨论的单调性，且在间断点处有，由此可得的范围.
【详解】（1）因为，
当时，，显然在上单调递减，故；
当时，，显然在上单调递减，且，故；
综上：，即的值域为；
（2）因为是上的减函数，
所以当时，在上为减函数，故，且，
当时，，显然在上单调递减，且，
所以，解得，
故，即的范围为.
已知：函数，若函数的值域是，则的一个取值为 ；的最小值是 .
【答案】 0（答案不唯一，）
【分析】函数的值域为，根据分类讨论的值域得到答案.
【详解】函数在上单调递增，值域为，
若，函数的值域为，
要使函数的值域为R，则，解得，于是；
若，函数的值域为，
要使函数的值域为R，则，解得，于是．
所以实数a的取值范围是，的一个取值可以为0，最小值为.
故答案为：0（答案不唯一，）；
证明：函数，是增函数．
【答案】证明见解析
【详解】任取，
则
．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴函数在上是严格增函数．
已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（1）因为，
因为在单调递减，
所以在单调递增.
定义法证明如下：
任取，，则，
，
所以，故在单调递增.
（2）由（1）得在区间上单调递增，
所以，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
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模块三
【课后作业】
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专题3-2 函数的单调性与最值
TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc179415487" 【题型1】单调性的概念与判断 1
HYPERLINK \l "_Toc179415488" 【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间 3
HYPERLINK \l "_Toc179415489" 【题型3】定义法讨论函数的单调性 4
HYPERLINK \l "_Toc179415490" 【题型4】利用单调性比较大小 6
HYPERLINK \l "_Toc179415491" 【题型5】求函数的最值或值域 8
HYPERLINK \l "_Toc179415492" 【题型6】利用单调性解不等式 9
HYPERLINK \l "_Toc179415493" 【题型7】在某区间上单调求参数范围 10
HYPERLINK \l "_Toc179415494" 【题型8】分段函数单调性问题 11
HYPERLINK \l "_Toc179415495" 【题型9】根据函数的最值或值域求参数 12
HYPERLINK \l "_Toc179415496" 【题型10】分段函数值域问题 13
HYPERLINK \l "_Toc179415497" 【题型11】复合函数单调性 14
HYPERLINK \l "_Toc179415498" 【题型12】不等式恒成立问题 15
HYPERLINK \l "_Toc179415499" 【课后作业】 16
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【题型1】单调性的概念与判断
一、增函数、减函数的概念
一般地，设函数的定义域为，区间
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
知识点诠释：
（1）属于定义域内某个区间上；
（2）任意两个自变量且；
（3）都有；
（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
上升趋势 下降趋势
二、函数单调性的判断方法
（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
三、单调函数的运算性质
若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：
（1）与（C为常数）具有相同的单调性.
（2）与的单调性相反.
（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.
（4）若≥0，则与具有相同的单调性.
（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；
当时，与具有相同的单调性.
（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:
简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.
已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
（多选）当时，函数值随的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当时是增函数的有（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【巩固练习2】下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数
【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间
单调性与单调区间
①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
【注意】
（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，
故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
（2）单调区间D 定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大；
（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
函数的单调递减区间是 .
已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ）
A． B．和 C． D．和
函数的单调递增区间为
【巩固练习1】函数，的单调递减区间为 ．
【巩固练习2】函数的单调递增区间为 .
【巩固练习3】已知函数，则函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C．和 D．和
【题型3】定义法讨论函数的单调性
证明函数单调性的步骤
（1）取值．设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论．
已知函数（，），用单调性的定义证明在上是增函数.
已知函数,若在是增函数，求实数的范围.
【巩固练习1】已知函数，且．
(1)求函数的解析式；(2)用定义证明函数在上是增函数.
【巩固练习2】已知函数，图象经过点，且.
(1)求的值；(2)判断并用定义证明函数在区间上的单调性.
【巩固练习3】已知 .
(1)若，试证明在内单调递增；
(2)若且在内单调递减，求a的取值范围.
【题型4】利用单调性比较大小
单调性定义的等价形式
（1）函数在区间上是增函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
（2）函数在区间上是减函数：
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，；
任取，且，．
已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
函数为定义在上的减函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】函数为定义在上的单调增函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数.
(1)利用函数的单调性定义证明在上单调递增；
(2)若，试比较，的大小.
【题型5】求函数的最值或值域
利用函数的单调性求最值的常用结论
（1）如果函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，那么函数，在处有最大值；
（2）如果函数在区间上单调递递减，在区间上单调递增，那么函数，在处有最小值.
【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。
已知函数，则函数的最大值为（ ）
A．15 B．10 C．0 D．
当时，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（ ）
A． B．－ C．－2 D．2
【巩固练习3】函数在区间上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【题型6】利用单调性解不等式
基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
（1）若为增函数，则
（2）若为减函数，则
【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制
若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是 .
已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是________
（多选）已知函数满足：任意给定，都有，且任意，，，则下列结论正确的题号是（ ）
A． B．任意给定，
C． D．若，则
【巩固练习1】已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【巩固练习2】（多选）已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习3】已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是 .
【巩固练习4】已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是 ．
【题型7】在某区间上单调求参数范围
已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型及对应方法：
（1）直接法
（2）数形结合
（3）结合单调性定义的等价形式
（4）分段函数单调性问题注意比较端点位置
（5）注意定义域的限制
如果函数在区间上单调递增.那么实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是
（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】若函数的单调递增区间是 ，则实数的值为 .
【巩固练习2】函数在区间上单调递减，则的取值范围为 .
【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【题型8】分段函数单调性问题
分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：
1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。
2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。
3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。
4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论
已知函数是上的减函数，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
已知函数满足对任意，都有成立，则a的范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知函数是增函数，则实数的取值范围为 .
【巩固练习2】若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型9】根据函数的最值或值域求参数
1、函数的最大值
（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，记作ymax＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。
2、函数的最小值
（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，记作ymin＝f(x0).
（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。
若函数的定义域是，值域是，则 ．
【巩固练习1】已知函数的最小值为8.则实数的值是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【巩固练习2】已知函数，的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【题型10】分段函数值域问题
处理分段函数问题，重点是画图分析
（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数，若是的最小值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知函数有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-
【巩固练习2】已知，函数有最大值，则实数的取值范围是 ．
【题型11】复合函数单调性
复合函数的单调性 ：“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤，
第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。
第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。
第三步：分别确定这两个函数的单调性。
第四步：用"同增异减"判断函数 的单调性
“同增异减”的意思如下图：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
函数的单调递增区间是 ．
已知，若，则（ ）
A．在区间内是减函数 B．在区间内是减函数
C．在区间内是增函数 D．在区间内是增函数
【巩固练习1】函数的单调增区间是 ．
【巩固练习2】已知，若，则（ ）
A．在区间内递减 B．在区间内递减
C．在区间内递增 D．在区间内递增
【巩固练习3】（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【题型12】不等式恒成立问题
高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。
对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
函数，，若，，使得，求实数a的取值范围.
【巩固练习1】已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围.
【巩固练习2】已知，，若任给，存在．使得，则实数a的取值范围是 ．
【课后作业】
已知函数的单调递增区间为 .
已知关于对称，且在上单调递减，则，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
函数在上是增函数，则实数的范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知二次函数f（x）=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3 C．a≤-3或a≥2 D．-3≤a≤-2
函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是
已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
已知函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为 .
若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
已知函数
（1）若，函数的值域为
（2）若是上的减函数，则的范围是
已知：函数，若函数的值域是，则的一个取值为 ；的最小值是 .
证明：函数，是增函数．
已知函数.
(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求在区间上的最大值和最小值
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