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专题3-3 函数的奇偶性与对称性
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重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
偶 偶 偶 偶 偶
偶 奇 不确定 奇 偶
奇 偶 不确定 奇 偶
奇 奇 奇 偶 奇
【注意】在中，的值域是定义域的子集．
（23-24高一上·广东·期末）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，因为的定义域为，且，
所以为偶函数；
对于B，因为的定义域为，且，
所以不是奇函数；
对于C，因为的定义域为，
且，所以为奇函数；
对于D，因为的定义域为，且，
所以为偶函数；故选：.
（2024·高一·山东·期中）（多选）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【答案】BD
【解析】有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，
所以，
因为，故A错.
，故B正确.
，故C错.
，故D对.
故选：BD.
【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性
(1)；
(2)；
(3).
【解析】（1）定义域为，关于原点对称，
，
所以为奇函数.
（2），所以定义域为，关于原点对称，
此时，所以既是奇函数又是偶函数.
（3），所以定义域为，
不关于原点对称，所以为非奇非偶函数.
【巩固练习2】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【答案】C
【解析】易知选项ABCD中的函数定义域即为；
因为是奇函数，是偶函数，所以，
对于A，，故是奇函数，即A错误；
对于B，，故是偶函数，即B错误；
对于C，，故是奇函数，即C正确；
对于D，，故是偶函数，即D错误
【题型2】 利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解
已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【解析】，又在R上是奇函数，故.故选：B
【巩固练习1】已知是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．7 D．5
【答案】B
【解析】是偶函数，当时，，
则.故选：B
【巩固练习2】如果函数是奇函数，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】记，
因为为奇函数，所以，
又，，
所以.故选：D
【巩固练习3】已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ）
A．7 B．9 C．-7 D．-9
【答案】B
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，，，
所以．
【题型3】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1这类比较好计算的特殊值
（3）函数性质法
①为偶函数，
②奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（4）定义域对称法
若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
已知为R上的偶函数，则 .
【答案】
【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，
所以，解得，
经检验，当时，为偶函数，符合题意.
法二：定义法：因为为偶函数，所以，
所以，化简得，
所以，解得.
已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ．
【答案】或
【详解】因为，为奇函数，
又奇函数的定义域关于原点对称，
所以，，
解得或
已知函数为R上的奇函数，则的值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可知，由此可以求出的值，进而可以求出.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，所以.故选：D.
若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以.故选：D.
【巩固练习1】（2024·高一·贵州安顺·期末）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【解析】，由是偶函数可得，即恒成立.
【巩固练习2】（2024·高一·江西上饶·期末）若函数是上的偶函数，则的值为 .
【答案】
【解析】由题意首先，解得，
即函数是上的偶函数，
由，解得，此时，经检验符合题意，
所以.
【巩固练习3】若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，
所以且，则，
所以，则.故选：D．
【题型4】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；
利用函数的奇偶性把改写成或，从而求出．
所函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 .
【答案】
【解析】因为函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，
所以，
设，则，所以，又，
所以，
即当时，函数的解析式为.
故答案为：；
以为偶函数，正确
函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，函数为奇函数，则，，
由可得，即，
所以，，解得，其中
【巩固练习1】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为奇函数，当时，，
则当时，，.故选：D
【巩固练习2】是定义在R上的偶函数，当时，，求当时，的解析式．
【答案】
【详解】当时，，，
由于是偶函数，故，
所以．
即当时，．
【巩固练习3】（23-24高一上·广东韶关·期中）如果函数是奇函数，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，所以，
又因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以当时，.故选：A.
【巩固练习4】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据题意，由①得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
由①②得，所以，则.故选：A.
【巩固练习5】（2024·高一·河南·期中）已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因分别是定义在上的偶函数和奇函数，则有：，
由①，将其中的取为，则可化简得：②，
由①②联立可求得：，于是.
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为定义域，
且，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D；
当时，，排除B.
函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，函数定义域为，
，函数为奇函数，排除CD，
，排除B
【巩固练习1】函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，然后判断函数的奇偶性，再根据函数的单调性进行分析判断即可.
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以为奇函数，所以的图象关于原点对称，
所以排除A，
当时，，所以排除C，
当时，，
因为和在上递增，所以在上递增，所以排除B
【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】定义域为R，
，
则是偶函数，其图象关于y轴轴对称，排除选项CD；
又因为，则排除选项A，选B.
【巩固练习3】（2024·高一·重庆·期中）函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得函数为奇函数，排除B项，
由，得，则排除C、D两项.
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利用其单调性比较大小
已知奇函数的定义域为，且不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，在下列不等式中，正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，得到在区间、单调递增，从而求出答案．
【详解】解；对任意正实数、，
恒有不等式，
的定义域为，
在区间、单调递增，
设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由是上的偶函数，得，
又在上单调递增，则，
所以.故选：A
【巩固练习1】已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，数是定义在上的偶函数，
则有，解可得，
则函数是开口向下的二次函数，在区间上为减函数，
又，函数的对称轴为，且在上为减函数，
则有，
即.
【巩固练习2】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的对称性及单调性即可比较大小
【详解】因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
即
【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，
对于A中，由，但无法判断的正负，所以A不正确；
对于B中，因为是定义在上的奇函数，可得，
又因为在上单调递减，可得，
因为在上单调递减，且为偶函数，所以在上为增函数，
所以，所以B不正确；
对于C中，由，在上单调递减，所以，所以C不正确；
对于D中，由，在上单调递减，，所以D正确.故选：D.
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，
因为是奇函数，且，所以，
因为在上单调递增，所以，
故不等式的解集为．故选：D
若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】为上的奇函数，且在单调递减，，
，，且在上单调递减，
所以或，或，
可得，或，
即或，即，故选：B.
【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
【答案】(1，2)
【详解】　原不等式化为f(m－1)＜－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(2m－3)．
因为f(x)是减函数，
所以m－1＞2m－3，所以m＜2．
又f(x)的定义域为(－1，1)，
所以－1＜m－1＜1且－1＜3－2m＜1，
所以0＜m＜2且1＜m＜2，所以1＜m＜2．
综上得1＜m＜2．
故实数m的取值范围是(1，2)．
【巩固练习2】函数是定义在上的单调递增的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)求满足的的范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依据奇函数性质以及先求出、的值即可求得函数的解析式，再进行验证即可.
（2）依据奇函数性质将不等式变形为，再结合单调性和定义域即可求解.
【详解】（1）由已知可知，解得，
又，解得，
所以，
因为，
所以为奇函数，任取，
则，
因为，故，
所以，故，即，
所以函数在上单调递增，
所以函数的解析式为.
（2）因为为奇函数，由已知可变形为，
又在上是增函数，
所以，.
【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
【答案】　C
【解析】　利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，
所以不等式xf(x)<0可化为或由图可知x>2或x<－2，故选C.
【巩固练习4】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为奇函数在上为增函数,
所以在上也是增函数,且,
从而在定义域上的大致图象为：
所以的解为:,或
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制
已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】任意，,，当时总有，
在,上是增函数，
又是定义域为的偶函数，
故在,上是减函数．
由可得．
所以，解得，
即不等式的解集为,
已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】根据是定义在上的偶函数，将不等式转化为，再利用其单调性求解.
【详解】解：因为是定义在上的偶函数，且在上递减，
所以在上递增，
不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
【巩固练习1】已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上的偶函数，所以，
又因为是在区间单调递减，
所以，即，于是有，解得或，
故不等式的解集为.故选：A.
【巩固练习2】已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为定义在上的偶函数，且，可得，
且在上为减函数，则，解得，
所以实数的取值范围是.故选：C.
【巩固练习3】已知定义在上的偶函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)解关于的不等式．
【解析】（1）∵ 是定义在上的偶函数，
∴ ，，即，
又，即 ，解得，
所以，经检验符合题意．
（2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数，
因为，即，
又∵为偶函数，可得，
综上可得：， 解得或，
所以不等式的解集为．
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
已知奇函数，，则
（1）
（2）
（22-23高一上·浙江台州·期中）已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
【答案】B
【解析】设，定义域为，
则，故为奇函数，
又，则，
所以.故选：B
已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【解析】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】2
【分析】由题意可得的最大最小值分别为，，由奇函数的性质可得，变形可得答案．
【详解】函数为奇函数，，
又的最大值为，最小值为，
又，即为奇函数，
且的最大最小值分别为，，
由奇函数的性质可得，
解得．
【巩固练习1】（2024·高一·浙江·期中）已知函数，若，则 ．
【答案】6
【解析】令，，
所以为奇函数，
所以，所以，
所以，所以．
【巩固练习2】若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【解析】因为，
令，则，
又因为，所以函数为奇函数，
因为奇函数的图象关于原点对称，
所以在上的最大值和最小值之和为0，即，
所以．
【巩固练习3】已知与均为奇函数，（a b为非零常数），若，则 .
【答案】10
【解析】由题设，且，，
∴也为奇函数，即，
∴，而，∴10.
【巩固练习4】（23-24高一上·重庆·期中）已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，令函数，则
显然，
函数在R上都单调递增，因此在R上单调递增，
不等式化为，
即，于是，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：A
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数对称中心为
B．函数对称中心为
C．当时，在上单调递增
D．若，与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044
【答案】ABD
【解析】对于A：由得，
则，
所以函数对称中心为，A正确；
对于B：由得，
则，
所以函数对称中心为，B正确；
对于C：，
当，即时，，在上不单调递增，C错误；
对于D：若，关于中心对称，与的对称中心相同，即与的图象的2022个交点也关于中心对称，
，D正确.
【巩固练习1】我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，
即，故，
故，即对称中心为.
【巩固练习2】已知函数满足，若与的图像有交点，，，则（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【答案】C
【解析】由可得，
函数的图像上任意一点关于点的对称点为， 即点，由也满足函数解析式，可得函数的图像关于点对称，
函数的图像可以由奇函数的图像向上平移1个单位得到，所以函数的图像也关于点对称，
若与的图像有交点，，，不妨设，
由对称性可得，，，，
所以.
【巩固练习3】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．2020 B． C．1010 D．
【答案】A
【分析】根据已知条件得出函数及的图象都关于对称，这样它们的交点也关于对称，2000个交点两两配对，坐标之和易求．
【详解】函数满足，即为，可得的图像关于点对称
函数，即的图象关于点对称
所以若点为交点，则点也为交点；同理若点为交点，则点也为交点
则交点的所有横坐标和纵坐标之和为
.
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的图像关于直线对称，则，
又在上单调递减，故在上单调递增，
，，
即故选：C
【巩固练习1】已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可.
【详解】因为,所以的对称轴为,
在单调递减，则在单调递增，
又因为，由对称性可得,
所以,
【巩固练习2】已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.
【详解】因为数满足.
所以的图象关于对称.
因为函数对任意，且，都有成立，
所以在上为增函数.
又因为的图象关于对称，，
所以在为减函数，且.
用折线图表示函数的单调性，如图所示：
由图知：.
【题型12】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
（1）
（2）
若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解．
【详解】函数是定义域为，且对，且，有，
即，
为单调递增函数，
，
整理得到：，
为单调递增函数，
解得：
定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，运用单调性，结合所给特殊值，得到不等式计算即可.
【详解】令，
因为对，且，都有成立，
不妨设，则，故，则，即，
所以在上单调递增，
又因为，所以，故可化为，
所以由的单调性可得，即不等式的解集为.
【巩固练习1】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意，令函数，
因为若且，都有，
即，所以函数在区间上为单调递增函数，
又因为为上的奇函数，即，
所以，所以函数为上的偶函数，
又由，可得，则，
所以不等式，即为，
则满足，解得，
所以不等式的解集为.
【巩固练习2】设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令，
由题意可得：在上单调递增，
∵，则在定义域内为偶函数，
∴在上单调递减，
当时，由可得，即，
∵在上单调递增，且，
∴的解集为；
当时，由可得，即，
∵在上单调递减，且，
∴的解集为；
综上所述：不等式的解集为.
故答案为：.
【巩固练习3】已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】先根据可得的单调性，然后结合单调性可解不等式.
【详解】设，因为是定义在上的奇函数，所以，
所以为偶函数，
又，且时，恒成立，
所以在上为减函数，
又 ，可得，所以，得，
在为增函数，由，得，
又，可化为，即，所以，或，
即，或.
【巩固练习4】定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 .
【答案】
【分析】构建函数，根据题意分析可得函数为偶函数，在上单调递增，则函数在上单调递减，将不等式整理可得，结合函数的单调性和奇偶性运算求解.
【详解】∵，则，
故函数为偶函数，
对于上的，不妨设，则，
由可得，即，
故函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
对，则，即，
则，即，解得，可得或，
故不等式的解集为.
故答案为：.
【巩固练习5】已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.
【详解】由得，的图象关于直线对称，
令，则是偶函数，又当时，恒有，
故在上单调递减，所以在上单调递减，
则，
即得
解得或.
【巩固练习6】已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】通过构造函数法结合已知条件得出函数的单调性，再根据函数的奇偶性，求得不等式的解集.
【详解】构造函数，
依题意，的定义域是，是偶函数，
所以，所以是偶函数，
由于对，，，则，
所以在上单调递增，则在上单调递减.
对于，且，
若，可得，即，可得；
若,可得，即，可得；
所以不等式的解集为.
【课后作业】
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】记，函数定义域为，则，
所以函数为奇函数，排除BC，又当时，，排除D
已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当，则，，
又为偶函数，所以，当时，．故选：D.
（多选）是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由是定义在上的奇函数，得，且，
因此，A正确；，B错误；
又，C正确；而当时，，
此时式子无意义，D错误.故选：AC
（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知是奇函数，是偶函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
【答案】BCD
【解析】是奇函数，是偶函数，
对于A，若，，满足是奇函数，是偶函数，
但是，该二次函数图象关于直线对称，
此时函数不是偶函数，错误；
对于B，，因为，
所以为奇函数，正确；
对于C，，因为，
所以为偶函数，正确；
对于D，，因为，
函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和特殊区间的正负即可判断求解.
【详解】因为定义域，
且，
所以是奇函数，则的图象关于原点对称，排除A，D；
当时，，排除B.
已知是上的奇函数，且图像关于对称．若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】由函数是上的奇函数，可得，
又由及，
可得，，则．
已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据题意，由①得，
因为为奇函数，为偶函数，所以，，
所以②，
由①②得，所以，
则.
若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以定义域关于原点对称，
可得，所以，
由，可得，解得，所以
已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，且
又因，所以，
又因在为增函数，在上，
在上，
又因在为减函数，所以上，
综上，当时，，当时，
当时，则，所以，则，
当时，则，所以，则，
不等式可化简变形为，
综上所述可知当时，.
故选：D
已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（ ）
①；②；③；④在上为减函数．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解析】因为偶函数的定义域为，
所以，即，则①正确，②错误；
因为偶函数的定义域为，且在上为增函数，
所以在上为减函数，
继而，则③错误，④正确.
已知函数为上的奇函数，，则 .
【答案】-1
【解析】由题意知函数为上的奇函数，，
故，即
知函数，若，则 .
【答案】
【解析】令为奇函数，，
.
已知是定义域为上的偶函数，且在上为减函数，若成立，则实数a的范围是
【答案】
【解析】因为是定义域为上的偶函数，成立，
所以，，
则，
又因为在上严格减函数，
所以，平方得，解得，
所以.
已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 .
【答案】16
【解析】为奇函数
函数关于点对称
函数关于点对称
与图像的8个交点关于点对称
,,,
可得
同理可知
已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集.
【解析】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数.
（2）任取，且，
，
因为，且，
故，，，，，
所以，，
故函数在上单调递增；
（3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增，
变形为，
则要满足，解得：，
故不等式的解集为
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模块二
【核心题型突破】·举一反三
模块三
【课后作业】
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专题3-3 函数的奇偶性与对称性
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重难点题型
【题型1】判断函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称
二、判断奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
偶 偶 偶 偶 偶
偶 奇 不确定 奇 偶
奇 偶 不确定 奇 偶
奇 奇 奇 偶 奇
【注意】在中，的值域是定义域的子集．
下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）已知有相同的定义域，是偶函数，是奇函数，且，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【巩固练习1】判断下列函数的奇偶性
(1)； (2)； (3).
【巩固练习2】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是奇函数
【题型2】 利用奇偶性求值
由函数的奇偶性求函数值
由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解
已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【巩固练习1】已知是偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C．7 D．5
【巩固练习2】如果函数是奇函数，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【巩固练习3】已知奇函数的定义域为，且当时，；当时，，则（ ）
A．7 B．9 C．-7 D．-9
【题型3】利用奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求参数函数的奇偶性，题目难度不大，属于基础题。根据偶函数的定义，即可求参数考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力
常见方法：
（1）定义法
奇函数：；偶函数：
（2）特殊值法
可以取0，±1这类比较好计算的特殊值
（3）函数性质法
①为偶函数，
②奇奇=奇；偶偶=偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶，结合常见函数模型
③复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
（4）定义域对称法
若解析式中含有2个参数时，可以考虑通过定义域对称这个限制来得出参数的值
已知为R上的偶函数，则 .
已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为 ．
已知函数为R上的奇函数，则的值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
若为奇函数，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【巩固练习1】已知函数是偶函数，则 .
【巩固练习2】若函数是上的偶函数，则的值为 .
【巩固练习3】若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．2
【题型4】利用奇偶性求解析式
由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤
（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；
（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；
利用函数的奇偶性把改写成或，从而求出．
所函数是上的偶函数， 且当时，函数的解析式为，则 ；当时，函数的解析式为 .
函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】设为奇函数，且当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】是定义在R上的偶函数，当时，，求当时，的解析式．
【巩固练习3】如果函数是奇函数，那么（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【巩固练习5】已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）
A．1 B．3 C． D．
【题型5】利用函数奇偶性识别图像
判断函数图像常用的办法是排除法
一:判断奇偶性(依选项而判断)
二:代入特殊点看正负
函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
函数的图象大致为（ ）

A B C D
【巩固练习1】函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】（2024·高一·江苏南京·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：”数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在[﹣2，2]上的图像大致是（　　）
A．B．C． D．
【巩固练习3】函数的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【题型6】利用奇偶性与单调性比大小
利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而 利用其单调性比较大小
已知奇函数的定义域为，且不等式对任意两个不相等的正实数，都成立，在下列不等式中，正确的是　　
A． B． C． D．
设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】已知函数是定义在上的偶函数，又，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（23-24高一下·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
【题型7】利用单调性解奇函数不等式
先移项，再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到 具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制
已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
【巩固练习2】函数是定义在上的单调递增的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；(2)求满足的的范围；
【巩固练习3】设函数f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f(－2)＝0，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)
【巩固练习4】设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
中档题型
【题型8】利用单调性解偶函数不等式
利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，再加上绝对值，得到绝对值不等式(组)，注意是否有定义域的限制
已知函数是定义域为R的偶函数，且对任意，,，当时总有，则满足的的范围是（　　）
A． B． C． D．
已知是定义在上的偶函数，且在上递减，则不等式的解集是 ．
【巩固练习1】已知是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知定义在上的偶函数，且．
(1)求函数的解析式；(2)解关于的不等式．
【题型9】已知f(x)=奇函数+M
已知奇函数，，则
（1）
（2）
已知，，则（ ）
A．3 B．1 C．-1 D．-5
已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【巩固练习1】已知函数，若，则 ．
【巩固练习2】若函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【巩固练习3】已知与均为奇函数，（a b为非零常数），若，则 .
【巩固练习4】已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型10】函数中心对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
点
点
点
（多选）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数对称中心为 B．函数对称中心为
C．当时，在上单调递增
D．若，与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044
【巩固练习1】我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习2】已知函数满足，若与的图像有交点，，，则（ ）
A． B．0 C．3 D．6
【巩固练习3】已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）
A．2020 B． C．1010 D．
【题型11】函数轴对称的抽象表达式及应用
奇函数、偶函数图象对称性的推广
在定义域内恒满足 的图象的对称轴（中心）
直线
直线
直线
设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习1】已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【题型12】构造新函数解不等式
常见的构造函数模型
（1）
（2）
若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】已知为上的奇函数，，若且，都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习2】设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为 .
【巩固练习3】已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 .
【巩固练习4】定义在上的函数满足：，且对于上的有：.则关于的不等式解集为 .
【巩固练习5】已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习6】已知偶函数的定义域为，且有，，若对，，都有，则不等式的解集为 .
【课后作业】
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A． B． C． D．
（多选）是定义在上的奇函数，下列结论中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选题）（2024·高一·山东滨州·竞赛）已知是奇函数，是偶函数，下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．为奇函数
C．为偶函数 D．为偶函数
函数的部分图象大致是（ ）
A．B．C．D．
已知是上的奇函数，且图像关于对称．若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．
已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
若函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A． B． C．3 D．2
已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（ ）
①；②；③；④在上为减函数．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
已知函数为上的奇函数，，则 .
知函数，若，则 .
已知是定义域为上的偶函数，且在上为减函数，若成立，则实数a的范围是
已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 .
已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)用定义法证明：函数在上单调递增；
(3)求不等式的解集
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