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2025-2026学年山东省济南市市中区育秀中学八年级（下）期末数学模拟试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
2.分式的值为0，则x的值为（　　）
A. 3 B. -3 C. ±3 D. 9
3.下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　）
A. （a+3）（a-3）=a2-9 B. x2+x-5=x（x+1）-5
C. x2+1=x（x+） D. x2+4x+4=（x+2）2
4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为（　　）
A. 12
B. 6
C. 3
D. 1.5
5.已知关于x的方程有增根，则a的值为（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. -5
6.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是△ABC的高线，BD是△ABC的中线，连接ED.若BC=6，AE=4.则DE为（　　）
A. 4
B. 2.5
C. 3
D.
7.在物理学中，我们常常使用公式“密度=”来计算密度.已知甲物体的密度是乙物体密度的，甲物体的质量是50g,乙物体的质量是150g,乙物体的体积比甲物体的体积大20cm3.如果设甲物体的体积是xcm3，则根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
8.在△ABC中，点D是边BC的中点，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法不正确的是（　　）
A. ∠B=∠C，则四边形AEDF是菱形 B. AD⊥BC，则四边形AEDF是菱形
C. ，则四边形AEDF是矩形 D. ∠A=2∠C，则四边形AEDF是矩形
9.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法中正确的是（　　）
①若a+c=b,则方程ax2+bx+c=0有一根为x=-1；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实数根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；
③若x=c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若b=2a+3c,则方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③
10.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为CD上一点，BF⊥AE，CG⊥BF，垂足分别为F、G，连接OG、OF，AO与BF交于点H，在下列结论中：①AF=BG；②△GOF是等腰三角形；③BG+FH=GH；④HG2+HF2=2HO2；⑤OG平分∠FGC.正确个数是（　　）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：2x2-4x+2= ．
12.关于x的方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是 .
13.若关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围为 .
14.如图，平行四边形ABCD中，O为对角线交点，DP平分∠ADC，CP平分∠BCD，AB=8，AD=12，则OP的长为 .
15.在等腰△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=140°，点D为直线BC上一动点，连接AD，点E为线段AD的中点，将线段BA沿直线BC翻折得到线段BA′，过点D作DF⊥BA′，交直线BA′于点F，连接EF，则线段EF的最小值为 .
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
16.分解因式：
（1）3a2-48；
（2）3x（a-b）-6y（b-a）.
17.解方程：
（1）；
（2）2x2-x-15=0.
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，连接EF，恰好经过对角线AC的中点O，连接CE，AF.
（1）求证：四边形AFCE为平行四边形；
（2）若AD=4，AB=2，且EF⊥AC，求DE的长.
19.(本小题6分)
先化简（x-1-）÷，再从-2，-1，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值.
20.(本小题8分)
如图，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形组成的网格格点上.
（1）将△ABC向左平移4格，画出平移后的对应△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的对应△AB2C2；
（3）第（2）问中△ABC旋转过程中边AB“扫过”的面积为 ______ .
21.(本小题8分)
如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，求道路的宽．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=40cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
23.(本小题8分)
某数学兴趣小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法可以求二次三项式的最值，他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究.下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他们完成相应任务.
关于最值问题的探究
素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看作常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的代数式或方程.例如：当a≠0时，方程ax2+2a-1=0可以看作关于x的一元二次方程.但若把a看作“主元”，x看作常数，则原方程可化为（x2+2）a-1=0，这就是一个关于a的一元一次方程了.
素材2 对于一个关于x的二次三项式ax2+bx+c（a≠0），除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令ax2+bx+c=y（a≠0），然后移项可得ax2+bx+（c-y）=0，再利用根的判别式b2-4ac≥0来确定y的取值范围，这一方法称为判别式法.
问题解决
任务1 感受新知：用判别式法求2x2+5x+3的最小值
任务2 探索新知：若实数x,y满足x2-2x-4y=5，求x-2y的最大值.对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令x-2y=k,则4y=2x-2k,将4y=2x-2k代入原式，得
______，若将新得到的等式看作关于字母x的一元二次方程，利用判别式可得x-2y的最大值为______.
任务3 应用新知：如图，在 ABCD中，∠C=60°，BD=
，记AB=a,BC=b,当3a+b取最大值时，求此时a的值.
24.(本小题9分)
（1）如图1，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，将线段AB绕点B顺时针旋转90度，得到线段CB，求点C的坐标；
（2）如图2，正方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（-5，5），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第二象限，且是直线y=-2x-1上的一点，点Q是平面内任意一点，若四边形ADPQ是正方形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标．
（3）如图3，西安铁一中滨河学校为了庆祝2021年元且联欢，在一块由三条小路（分别是x轴和直线AB：y=-x+4、直线AC：y=-2x-1）围成的三角形区域内计划搭建一个三角形的特色场地．如图，D（4，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、AC上，且∠DEF=90°，DE=EF，试求出该特色场地（△DEF）的面积．
25.(本小题10分)
矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EFCG（其中A、B、D分别与E、F、G对应），旋转角度大于0°小于360°.
（1）如图1，当点F恰好落在AD边上时，AF的长为______；
（2）如图2，在旋转的过程中，当直线EF恰好经过点A时，
①求证：CA平分∠BCF；
②如图，AD与CF交于点H.求线段DH的长度；
（3）设△ABE的面积为S，直接写出S的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】2（x-1）2
12.【答案】4
13.【答案】m＞-6且m≠-2
14.【答案】2
15.【答案】2
16.【答案】3（a+4）（a-4） 3（a-b）（x+2y）
17.【答案】x=0.75 x1=3，x2=-2.5
18.【答案】解：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴AO=CO，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
（2）∵EF⊥AC，AO=CO，
∴AE=CE，
在Rt△CDE中，
∵CE2=DE2+CD2，
∴（4-DE）2=DE2+4，
∴DE=．
19.【答案】解：原式=
=，
由题意x≠-1或0，或-2，
所以当x=1时，原式=-．
20.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△AB2C2即为所求；

（3）．
21.【答案】解：设道路的宽为x m，
根据题意，列方程 （30-x）（20-x）=551．
解得：x1=1，x2=49（不合题意舍去）．
答：道路的宽为1m．
22.【答案】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=4t，
∴DF=2t，AD=40-4t,
又∵AE=2t，
∴AE=DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE=AD时，四边形AEFD为菱形，
即40-4t=2t，解得t=．
∴当t=秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF=90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AD=AE=t，
又AD=40-4t，即40-4t=t，解得t=8；
②当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A=60°，则∠ADE=30°，
∴AD=2AE，即40-4t=4t，解得t=5．
③若∠EFD=90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t=8或5秒时，△DEF为直角三角形．
23.【答案】x2-4x+2k-5=0
24.【答案】解：（1）对于直线y=-x+4，令y=-x+4=0，解得x=8，令x=0，则y=4，
故点A、B的坐标分别为（0，4）、（8，0），
过点C作CH⊥x轴于点H，
∵∠ABO+∠CBH=90°，∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
∵AB=BC，∠BOA=∠CHB=90°，
∴△BOA≌△CHB（AAS），
∴AO=BH=4，OB=CH=8，
故点C的坐标为（12，8）；
（2）设点D（m，-2m-1），
①当点D在AB下方时，如图2，
过点D作x轴的平行线交BC于点M，交AO于点N，
∵四边形PDAQ为正方形，则PD=AD，
同理可得：△DMP≌△AND（AAS），
则MD=AN，即m+5=5+2m+1，解得m=-1，
故点D的坐标为（-1，1）；
②当点D在AB的上方时，
过点D作x轴的平行线交y轴于点N，交CB的延长线于点M，
同理可得：△PMD≌△DNA（AAS），
∴AN=BM，即-2m-1-5=m+5，解得m=-，
故点D的坐标为（-，）；
故点D的坐标为（-1，1）或（-，）；
（3）设点E、F的坐标分别为（m，-m+4）、（n，-2n-1），
过点E作EM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥EM于点N，
∵EF=ED，
同理可得：△FNE≌△EMD（AAS），
∴FN=EM，EN=MD，
即4-m=2n-m+5，m-n=-m+4，解得，
故点E、F的坐标分别为（2，3）、（-1，1），
则EF2=（2+1）2+（3-1）2=13，
则该特色场地（△DEF）的面积=EF2=6.5．
25.【答案】1 ①∵四边形CGEF是矩形，
∴∠CFE=90°，
∵点F在线段AE上，
∴∠AFC=90°=∠B，
在Rt△ABC和Rt△AFC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△AFC（HL），
∴∠ACB=∠ACF，
∴CA平分∠BCF；② S的取值范围为
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