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2025-2026学年河南省商丘市部分学校高二（下）学业评估数学试卷（4月份）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.有2位同学准备从6部不同的电影中各选一部观看，则不同的选法种数有（　　）
A. 64种 B. 36种 C. 12种 D. 6种
2.下列求导运算中正确的是（　　）
A. （x-x3）′=1-x2 B.
C. （2x）′=2xln2 D. （e2x）′=e2x
3.一个弹簧振子做简谐运动，其位移y（单位：cm）与时间t（单位：s）之间的关系为，该弹簧振子在t=3πs时的瞬时速度为（　　）
A. B. C. -1cm/s D. 1cm/s
4.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（　　）
A. B. C. D.
5.已知函数f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　）
A.
B.
C.
D.
6.设A，B是一个随机实验中的两个事件，若，，则=（　　）
A. B. C. D.
7.记（3-x）（1-x）2026=a0+a1x+a2x2+…+a2027x2027，则a1+a3+a5+…+a2027=（　　）
A. -22028 B. -22027 C. 22027 D. 22028
8.对任意x∈（0，+∞），恒成立，则实数k的可能取值为（　　）
A. -1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于的展开式，下列说法正确的是（　　）
A. 展开式共有8项 B. 展开式的二项式系数之和为256
C. 展开式各项的系数之和为1 D. 展开式中第5项的二项式系数最大
10.已知离散型随机变量X的分布列如下，则（　　）
X 0 1 2
P a
A. B. C. E（3X-2）=1 D. D（3X-2）=3
11.已知函数f（x）=ax3-6x2+2ax-b（a≠0）有两个极值点x1、x2（x1＜x2），则（　　）
A. a的取值范围为
B. 当f（x1） f（x2）＞0时，f（x）仅有1个零点
C. 当a f（x2）＜0时，f（x）仅有3个零点
D. 若f（x）有3个零点，则函数f（x）在3个零点处的切线斜率的倒数之和为0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量X服从两点分布，若P（X=1）-P（X=0）=0.24，则P（X=0）= .
13.函数f（x）=3x2-lnx图象上的点到直线5x-y-6=0的距离的最小值为 .
14.五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
甲、乙、丙等6名同学站成一排照相.求：
（1）甲与乙相邻，有多少种不同的站法？
（2）丙与甲和乙都相邻，有多少种不同的站法？
（3）甲不站在最左边，乙不站在最右边，有多少种不同的站法？
16.(本小题15分)
袋中装有除颜色外均相同的3个红球，5个白球，现从中任取3个球.
（1）记3个球中红球的个数为X，求X的分布列及数学期望；
（2）当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为白色的概率.
17.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）＞-5x2.
18.(本小题17分)
已知，n∈N*.
（1）当a=1，且a4=a5时，求n的值；
（2）当a=2，且a8＞a7，a8＞a9时，求n的值；
（3）若a=2，n∈（10，15），k∈N*，且在（1+ax）n的展开式中，存在连续三项xk-1，xk，xk+1项的系数成等差数列，求n和k的值.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若m=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2.
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】0.38
13.【答案】
14.【答案】88
15.【答案】240 48 504
16.【答案】X的分布列为：
X 0 1 2 3
P

17.【答案】单调递减区间为（0，e），单调递增区间为（e，+∞） 要证明f（x）＞-5x2，只需证，
设h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，
所以当时，h′（x）＜0，当时，h′（x）＞0，
所以函数h（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为，
设函数，
所以u（x）在（0，+∞）上的最大值为，
因为，所以h（x）＞u（x），即f（x）＞-5x2
18.【答案】9 12 n的值为13，k的值为7
19.【答案】y=e-1 （ⅰ）（e+1，+∞）；（ⅱ）证明：找两个点a，b（0＜a＜1＜b），使得f（a）＞0，f（b）＞0成立，
又，且，于是考虑找点m，，
证明f（m）＞0，即可．
①要证f（m）＞0，即证，即，即证，
令（x＞0），则，
当0＜x＜2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞2时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；所以g（x）在x=2处取得最小值，所以，即．
令（x＞0），则，
当0＜x＜e时，G′（x）＞0，G（x）单调递增；当x＞e时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；所以G（x）在x=e处取得最大值，所以，即．
又，所以，即f（m）＞0，
又f（1）＜0，所以1＜x2＜m．
②，
设t（x）=lnx-x+1，则，
易知t（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以t（x）≤t（1）=0，即lnx≤x-1．
因为m＞e+1，即，所以，且，
因此，
因为f（1）＜0，所以，
所以，即证得
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