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1.5　三角形全等的判定 第1课时　“边边边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，可以判定两个三角形全等的是( )
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等
C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
2.下列图形中，具有稳定性的是( )
　　 A.　　　 B.　　　 C.　　 　 D.
3.如图是小明利用尺规作一个与∠AOB相等的∠A'O'B'时的作图痕迹，他的作图依据是( )
A.SAS B.AAS
C.SSS D.HL
4.(3分)如图，已知AB=AD，若要用“SSS”证明△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是 。
5.(3分)如图，在△ABC中，AD=ED，AB=EB，∠A=80°，则∠CED= °。
6.(8分)如图，已知∠AOB。
(1)(4分)利用尺规作∠DPE=∠AOB(保留作图痕迹，不要求写作法)。
(2)(4分)根据“内错角相等，两直线平行”作直线CM，使得CM∥OB。
7.(8分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。
8.(8分)如图，已知C是AB的中点，AD=CE，CD=BE。求证：
(1)(4分)△ACD≌△CBE。
(2)(4分)∠A＋∠ECA=180°。
9.“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图1，∠AOB和OA上一点C。
求作：一个等于∠AOB的角，使它的顶点为C，一边为CA。
作法：①如图2，在OC上取一点D，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
②以点C为圆心，OD长为半径画弧l，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，交弧l于点G；
③作射线CG，则∠GCA就是所求作的角。
此作图过程的依据中不含有( )
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.全等三角形的对应角相等
C.两直线平行，同位角相等
D.两点确定一条直线
10.(3分)雨伞截面示意图如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC。当O沿AD滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD的数量关系为 。
11.(8分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF。求证：
(1)(4分)△ABC≌△DEF。
(2)(4分)AB∥DE。
12.(8分)如图，点A，D在线段FC上，FA=CD，AB=DE，BC=EF。求证：AB∥DE。
13.(8分)[推理能力]如图，已知AD=BC，AC=BD。求证：∠DAO=∠CBO。
第2课时　“边角边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，下列三角形中，全等的是( )
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
2.下列各组条件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是( )
A.AB=A'B'，BC=B'C'，∠C=∠C'
B.∠B=∠B'，AB=B'C'，BC=C'A'
C.AB=BC=CA，A'B'=B'C'=C'A'
D.AB=A'B'，BC=B'C'，∠B=∠B'
3.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO。测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离。图中△AOB与△COD全等的依据是( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.HL
4.(3分)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，BE，CD相交于点M。若∠A=70°，∠C=30°，则∠MEC的度数为 °。
5.(3分)如图，已知∠ACB=∠CAD，若以“SAS”判定△ABC≌△CDA，需添加的条件是 。
6.(8分)如图，AB=AD，AC平分∠BAD。求证：∠B=∠D。
7.(8分)如图，C是线段AB的中点，AD=BE，∠A=∠B。求证：∠D=∠E。
8.(8分)如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边长分别等于2a和a(另外作图，不得在原图上直接作图，保留作图痕迹，不写作法)。
9.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木焉”。后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞。在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，则可以直接判定( )
A.△AEG≌△ABC B.△AEG≌△ACF
C.△ABF≌△ADG D.△ABC≌△ADE
10.(8分)如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC，连结BE。求证：BE=AC。
11.(8分)如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE。请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中，选择一个合适的作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。你选择的条件是： (填序号)。添加条件后，请证明：AE∥CF。
12.(8分)如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一条直线上，点C，D在直线EB同侧，连结BD，CE，两者相交于点M。
(1)(4分)求证：△ABD≌△ACE。
(2)(4分)若∠CAD=100°，求∠DME的度数。
13.(8分)[推理能力]在△ABC中，AB=AC，D是线段BC上的一动点(不与点B，C重合)，以线段AD为边在其右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连结CE。
(1)(2分)如图1，当∠BAC=90°时，∠DCE= °。
(2)(6分)如图2，设∠BAC=α，∠DCE=β，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论。
第3课时　“角边角”与“角角边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.∠A=∠F，BA=EF，AC=FD
B.∠B=∠E，BC=EF，∠A=∠D
C.∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠E=30°，AC=DF
D.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
2.如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，与△ABC全等的是( )
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
3.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠1=∠2。如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是( )
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.BF=CE D.∠B=∠D
4.如图，图中的字母表示三角形的边长。若要使两个三角形全等，则∠1的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.(3分)如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，E为BF的中点，若CF=7，AD=5，则BD的长为 。
6.(3分)如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BD=AC。若AE=4，BC=11，则ED= 。
7.(8分)如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D。求证：△AOC≌△BOD。
8.(8分)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB∥DE。
(1)(4分)求证：△ABC≌△DEF。
(2)(4分)若BF=4，FC=3，求BE的长。
9.(3分)如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE。若DE=8，BD=3，则DC= 。
10.(3分)如图，AB=AC，∠B=∠C，则图中全等的三角形有 。
11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a(可在原图上直接作图，保留痕迹，不写作法)。
12.(8分)如图，△ABC的两条高线AD，CE相交于点F，AF=BC。
(1)(4分)求证：△AEF≌△CEB。
(2)(4分)若BE=4，CF=5，求AE的长度。
13.(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD。
(1)(4分)求证：△ABC≌△AFD。
(2)(4分)若BE=FE，求证：AC⊥BD。
14.(8分)[推理能力]在△ABC中，D，F分别为线段AC，AB上的点，连结BD，CF，两者相交于点E。
(1)(4分)如图1，若BD⊥AC，CF⊥AB。求证：∠BAC＋∠BEC=180°。
(2)(4分)如图2，若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=60°。求证：EF=ED。1.5　三角形全等的判定 第1课时　“边边边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，可以判定两个三角形全等的是(　D　)
A.一条边对应相等 B.两条边对应相等
C.三个角对应相等 D.三条边对应相等
2.下列图形中，具有稳定性的是(　A　)
　　 A.　　　 B.　　　 C.　　 　 D.
3.如图是小明利用尺规作一个与∠AOB相等的∠A'O'B'时的作图痕迹，他的作图依据是(　C　)
A.SAS B.AAS
C.SSS D.HL
4.(3分)如图，已知AB=AD，若要用“SSS”证明△ABC≌△ADC，还需添加的一个条件是　BC=DC　。
5.(3分)如图，在△ABC中，AD=ED，AB=EB，∠A=80°，则∠CED=　100　°。
6.(8分)如图，已知∠AOB。
(1)(4分)利用尺规作∠DPE=∠AOB(保留作图痕迹，不要求写作法)。
(2)(4分)根据“内错角相等，两直线平行”作直线CM，使得CM∥OB。
解：(1)如答图1，∠DPE即为所求。
(2)如答图2，直线CM即为所求。
图1　 图2
第6题答图
7.(8分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。
证明：∵BE=CF，
∴BE＋CE=CE＋CF，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)。
8.(8分)如图，已知C是AB的中点，AD=CE，CD=BE。求证：
(1)(4分)△ACD≌△CBE。
(2)(4分)∠A＋∠ECA=180°。
证明：(1)∵C是AB的中点，
∴AC=BC。
在△ACD和△CBE中，
∵
∴△ACD≌△CBE(SSS)。
(2)∵△ACD≌△CBE，
∴∠A=∠ECB。
又∵∠ECB＋∠ECA=180°，
∴∠A＋∠ECA=180°。
9.“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：
已知：如图1，∠AOB和OA上一点C。
求作：一个等于∠AOB的角，使它的顶点为C，一边为CA。
作法：①如图2，在OC上取一点D，以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；
②以点C为圆心，OD长为半径画弧l，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，交弧l于点G；
③作射线CG，则∠GCA就是所求作的角。
此作图过程的依据中不含有(　C　)
A.三边对应相等的两个三角形全等
B.全等三角形的对应角相等
C.两直线平行，同位角相等
D.两点确定一条直线
10.(3分)雨伞截面示意图如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，AE=AB，AF=AC。当O沿AD滑动时，雨伞开闭，则在雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD的数量关系为　∠BAD=∠CAD　。
【解析】 ∵AB=AC，AE=AB，AF=AC，
∴AE=AF，
在△AOE与△AOF中，
∵
∴△AOE≌△AOF(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD。
11.(8分)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF。求证：
(1)(4分)△ABC≌△DEF。
(2)(4分)AB∥DE。
证明：(1)∵AD=CF，
∴AD＋DC=CF＋DC，即AC=DF。
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)。
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，
∴AB∥DE。
12.(8分)如图，点A，D在线段FC上，FA=CD，AB=DE，BC=EF。求证：AB∥DE。
证明：∵FA=CD，
∴FA＋AD=AD＋CD，即DF=AC。
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠BAC=∠EDF，∴AB∥DE。
13.(8分)[推理能力]如图，已知AD=BC，AC=BD。求证：∠DAO=∠CBO。
证明：如答图，连结DC。
第13题答图
在△ACD和△BDC中，
∵
∴△ADC≌△BCD(SSS)，
∴∠DAO=∠CBO。
第2课时　“边角边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，下列三角形中，全等的是(　A　)
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
2.下列各组条件中，能判定△ABC≌△A'B'C'的是(　D　)
A.AB=A'B'，BC=B'C'，∠C=∠C'
B.∠B=∠B'，AB=B'C'，BC=C'A'
C.AB=BC=CA，A'B'=B'C'=C'A'
D.AB=A'B'，BC=B'C'，∠B=∠B'
3.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO。测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离。图中△AOB与△COD全等的依据是(　B　)
A.SSS B.SAS
C.ASA D.HL
4.(3分)如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，AD=AE，BE，CD相交于点M。若∠A=70°，∠C=30°，则∠MEC的度数为　100　°。
【解析】 在△ADC和△AEB中，
∵
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠MEC=∠A＋∠B=100°。
5.(3分)如图，已知∠ACB=∠CAD，若以“SAS”判定△ABC≌△CDA，需添加的条件是　BC=DA　。
6.(8分)如图，AB=AD，AC平分∠BAD。求证：∠B=∠D。
证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC。
在△ABC和△ADC中，
∵
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴∠B=∠D。
7.(8分)如图，C是线段AB的中点，AD=BE，∠A=∠B。求证：∠D=∠E。
证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=BC。
在△DAC与△EBC中，
∵
∴△DAC≌△EBC(SAS)，
∴∠D=∠E。
8.(8分)如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，夹这个角的两边长分别等于2a和a(另外作图，不得在原图上直接作图，保留作图痕迹，不写作法)。
解：如答图，△ABC即为所求。
　
第8题答图
9.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木焉”。后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞。在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，则可以直接判定(　D　)
A.△AEG≌△ABC B.△AEG≌△ACF
C.△ABF≌△ADG D.△ABC≌△ADE
10.(8分)如图，D是△ABC的边BC延长线上一点，BD=AB，DE∥AB，DE=BC，连结BE。求证：BE=AC。
证明：∵D是BC延长线上一点，DE∥AB，
∴∠D=∠ABC。
在△BDE和△ABC中，
∵
∴△BDE≌△ABC(SAS)，
∴BE=AC。
11.(8分)如图，已知AB=CD，点E，F在线段BD上，且AF=CE。请从①BF=DE；②∠BAF=∠DCE；③AF=CF中，选择一个合适的作为已知条件，使得△ABF≌△CDE。你选择的条件是：　①(或②)　(填序号)。添加条件后，请证明：AE∥CF。
解：当选择①BF=DE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
∵
∴△ABF≌△CDE(SSS)，
∴∠B=∠D。
∵BF=DE，
∴BF＋EF=DE＋EF，
即BE=DF。
在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF。
当选择②∠BAF=∠DCE时，△ABF≌△CDE，证明如下：
在△ABF和△CDE中，
∵
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠B=∠D，BF=DE。
同理可证，△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF。
当选择③AF=CF时，不能判定△ABF≌△CDE。
12.(8分)如图，在△ABC和△AED中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD，且点E，A，B在同一条直线上，点C，D在直线EB同侧，连结BD，CE，两者相交于点M。
(1)(4分)求证：△ABD≌△ACE。
(2)(4分)若∠CAD=100°，求∠DME的度数。
解：(1)∵∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC＋∠CAD=∠EAD＋∠DAC，即∠EAC=∠DAB。
在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(SAS)。
(2)由三角形外角的性质，得∠DME=∠MBA＋∠MEA，∠BAC=∠MEA＋∠ACE。
由(1)中△ABD≌△ACE，得∠ACE=∠MBA，
∴∠DME=∠BAC。
∵点E，A，B在同一条直线上，
∴∠DAE＋∠DAC＋∠BAC=180°。
又∵∠BAC=∠EAD，∠CAD=100°，
∴∠BAC=(180°－∠DAC)=40°，
∴∠DME=40°。
13.(8分)[推理能力]在△ABC中，AB=AC，D是线段BC上的一动点(不与点B，C重合)，以线段AD为边在其右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连结CE。
(1)(2分)如图1，当∠BAC=90°时，∠DCE=　90　°。
(2)(6分)如图2，设∠BAC=α，∠DCE=β，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论。
解：(1)∵∠BAD＋∠DAC=∠BAC=90°，∠DAC＋∠CAE=∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
∵
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B。
易知∠B＋∠ACB=90°，
∴∠DCE=∠ACE＋∠ACB=∠B＋∠ACB=90°。
(2)α＋β=180°。证明如下：
∵∠BAD＋∠DAC=∠BAC=α，∠DAC＋∠CAE=∠DAE=∠BAC=α，
∴∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
∵
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠B。
易知∠B＋∠ACB=180°－α，
∴∠DCE=∠ACE＋∠ACB=∠B＋∠ACB=180°－α=β，
∴α＋β=180°。
第3课时　“角边角”与“角角边”　 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是(　A　)
A.∠A=∠F，BA=EF，AC=FD
B.∠B=∠E，BC=EF，∠A=∠D
C.∠C=∠F=90°，∠A=60°，∠E=30°，AC=DF
D.∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
【解析】 ∵∠A=∠F，BA=EF，AC=FD，
∴△ABC≌△FED(SAS)
而不是△ABC≌△DEF，A符合题意。
∵∠B=∠E，∠A=∠D，∴∠C=∠F。
又∵BC=EF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，B不合题意。
∵∠C=∠F=90°，∠E=30°，∴∠A=∠D=60°。
又∵AC=DF，
∴△ABC≌△DEF(ASA)，C不合题意。
∵∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF(ASA)，D不合题意。
2.如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中，与△ABC全等的是(　B　)
A.甲和乙 B.乙和丙
C.只有乙 D.只有丙
3.如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠1=∠2。如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是(　B　)
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.BF=CE D.∠B=∠D
4.如图，图中的字母表示三角形的边长。若要使两个三角形全等，则∠1的度数为(　C　)
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.(3分)如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，E为BF的中点，若CF=7，AD=5，则BD的长为　2　。
【解析】 ∵AB∥CF，
∴∠B=∠F。
∵E为BF的中点，
∴BE=FE。
在△ABE和△CFE中，
∵
∴△ABE≌△CFE(ASA)，
∴AB=CF=7。
又∵AD=5，
∴BD=AB－AD=7－5=2。
6.(3分)如图，∠1=∠2，∠3=∠4，BD=AC。若AE=4，BC=11，则ED=　7　。
【解析】 ∵∠1=∠2，∴∠BED=∠AEC。
又∵∠3=∠4，BD=AC，
∴△BED≌△AEC(AAS)，
∴BE=AE=4，ED=EC，
∴ED=EC=BC－BE=BC－AE=7。
7.(8分)如图，AB与CD相交于点O，AC=BD，∠C=∠D。求证：△AOC≌△BOD。
证明：在△AOC和△BOD中，
∵
∴△AOC≌△BOD(AAS)。
8.(8分)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB∥DE。
(1)(4分)求证：△ABC≌△DEF。
(2)(4分)若BF=4，FC=3，求BE的长。
解：(1)∵AB∥DE，∴∠B=∠E。
在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF(AAS)。
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，
∴BF＋CF=EC＋CF，∴BF=EC。
∵BF=4，FC=3，∴EC=4，
∴BE=BF＋CF＋EC=4＋3＋4=11。
9.(3分)如图，在△ABC中，D为边BC上的一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE。若DE=8，BD=3，则DC=　5　。
【解析】 ∵∠1=∠2=∠3，
∴∠1＋∠DAC=∠DAC＋∠2，即∠BAC=∠DAE。
又∵∠1＋∠B=∠ADC=∠ADE＋∠3，
∴∠B=∠ADE。
在△ABC和△ADE中，
∵
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴BC=DE=8。
又∵BD=3，
∴DC=BC－BD=5。
10.(3分)如图，AB=AC，∠B=∠C，则图中全等的三角形有　△ABD≌△ACE，△BEF≌△CDF　。
【解析】 在△ABD和△ACE中，
∵
∴△ABD≌△ACE(ASA)，
∴∠ADB=∠AEC，AD=AE，
∴∠CDF=∠BEF，CD=BE。
在△BEF和△CDF中，
∵
∴△BEF≌△CDF(ASA)。
综上所述，全等的三角形有△ABD≌△ACE，△BEF≌△CDF。
11.(8分)如图，已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两内角的夹边等于a(可在原图上直接作图，保留痕迹，不写作法)。
解：如答图，△ABC即为所求。
第11题答图
12.(8分)如图，△ABC的两条高线AD，CE相交于点F，AF=BC。
(1)(4分)求证：△AEF≌△CEB。
(2)(4分)若BE=4，CF=5，求AE的长度。
解：(1)∵△ABC的两条高线AD，CE相交于点F，
∴∠BEC=∠AEF=90°，
∴∠BCE＋∠B=∠DAB＋∠B=90°，
∴∠BCE=∠DAB。
在△AEF和△CEB中，
∵
∴△AEF≌△CEB(AAS)。
(2)∵△AEF≌△CEB，
∴EF=BE=4，AE=CE，
∴AE=CE=CF＋EF=5＋4=9。
13.(8分)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC=AD，∠ACB=∠ADB，点F在ED上，∠BAF=∠EAD。
(1)(4分)求证：△ABC≌△AFD。
(2)(4分)若BE=FE，求证：AC⊥BD。
证明：(1)∵∠BAF=∠EAD，
∴∠BAF－∠CAF=∠EAD－∠CAF，
∴∠BAC=∠FAD。
在△ABC和△AFD中，
∵
∴△ABC≌△AFD(ASA)。
(2)由(1)得△ABC≌△AFD，
∴AB=AF。
又∵BE=FE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(SSS)，
∴∠AEB=∠AEF=90°，
∴AC⊥BD。
14.(8分)[推理能力]在△ABC中，D，F分别为线段AC，AB上的点，连结BD，CF，两者相交于点E。
(1)(4分)如图1，若BD⊥AC，CF⊥AB。求证：∠BAC＋∠BEC=180°。
(2)(4分)如图2，若BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=60°。求证：EF=ED。
证明：(1)∵BD⊥AC，CF⊥AB，
∴∠DCE＋∠DEC=∠DCE＋∠BAC=90°，
∴∠DEC=∠BAC。
又∵∠DEC＋∠BEC=180°，
∴∠BAC＋∠BEC=180°。
(2)如答图，作∠BEC的平分线EM，交BC于点M。
第14题答图
∵∠BAC=60°，BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBE=∠MBE，∠DCE=∠MCE，
∴∠A＋2(∠EBC＋∠ECB)=∠A＋2(180°－∠BEC)=180°，
∴∠BEC=90°＋∠A=120°，
∴∠FEB=∠DEC=180°－∠BEC=60°。
∵EM平分∠BEC，
∴∠BEM=∠CEM=∠BEC=60°=∠FEB。
在△FBE和△MBE中，
∵
∴△FBE≌△MBE(ASA)，
∴EF=EM。
同理可得，ED=EM，∴EF=ED。

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