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1.6　线段垂直平分线的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是(　A　)
A.AP=BP B.AQ=PQ
C.BQ=PQ D.3PQ=2BP
第1题图　　 　第2题图
2.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为(　C　)
A.21 B.14
C.13 D.9
3.如图，△ABC两条边的垂直平分线相交于一点P，连结AP，BP，CP，则下列结论正确的是(　D　)
A.AB=PB B.BC=AC
C.AC=AP D.PA=PB=PC
4.(3分)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD。若AC=8，CD=5，则BD=　3　。
【解析】 ∵AC=8，CD=5，
∴AD=8－5=3。
∵点D在AB的垂直平分线上，
∴BD=AD=3。
5.(8分)已知：如图，直线l及直线上一点A。
(1)(4分)求作：直线l的垂线AD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。
(2)(4分)根据(1)中的作图步骤，求证：AD⊥l。
解：(1)作图如答图所示。
第5题答图
(2)∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD。
又∵∠BAD＋∠CAD=180°，
∴∠BAD=∠CAD=90°，
∴AD⊥l。
6.(8分)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC于点E，连结BD。若CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长。
解：∵DE是BC边的垂直平分线，CE=4，
∴DB=DC，BC=2CE=8。
∵△BDC的周长为18，
∴DB＋DC＋BC=18，
∴DB＋DC=18－8=10，
∴BD=DC=5。
7.(8分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E，D，连结AD。若AE=3 cm，△ABC的周长为13 cm，求△ABD的周长。
解：由作图知MN是AC的垂直平分线，得AE=EC，AD=DC。
∵△ABC的周长为13 cm，AE=3 cm，
即AB＋BC＋AC=13 cm，AC=6 cm，
∴AB＋BD＋DA＋AC=13 cm，
∴AB＋BD＋DA=7 cm，
即△ABD的周长为7 cm。
8.如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为(　C　)
A.5 B.6 C.7 D.8
【解析】 ∵AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，
∴EA=EB，GA=GC，
∴△AEG的周长=EA＋EG＋GA=EB＋EG＋GC=BC=7。
9.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。求证：
(1)(4分)FC=AD。
(2)(4分)AB=BC＋AD。
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF。
∵E是CD的中点，
∴DE=CE。
在△ADE与△FCE中，
∵
∴△ADE≌△FCE(ASA)，
∴FC=AD。
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF。
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC＋CF，
∴AB=BC＋AD。
10.(8分)如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连结AE。
(1)(4分)求证：AB=EC。
(2)(4分)若△ABC的周长为19 cm，AC=8 cm，则DC的长为多少？
解：(1)∵EF垂直平分AC，
∴AE=EC。
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AB=AE，
∴AB=EC。
(2)∵△ABC的周长为19 cm，
∴AB＋BC＋AC=19 cm。
又∵AC=8 cm，
∴AB＋BC=11 cm。
∵AB=EC，BD=DE，
∴AB＋BD=DE＋EC=DC。
∵AB＋BC=AB＋BD＋DC=2DC=11 cm，
∴DC=cm。
11.(8分)[推理能力]如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。
【性质探究】
(1)(2分)如图1，连结筝形ABCD的对角线AC，BD，两者相交于点O，则AC，BD的位置关系是　AC⊥BD　；AO，CO的数量关系是　AO=CO　。
【知识应用】
如图2，秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周。
(2)(3分)①(1分)从数学的角度看，秀秀确定“十字架”的对角线EG和HF时，应满足的条件是　EG垂直平分HF　。
②(2分)借助①中所写条件，证明四边形EHGF是“筝形”。
【应用拓展】
(3)(3分)如图2，在“筝形”风筝EHGF中，已知EG=60 cm，HF=40 cm，求“筝形”风筝EHGF的面积。
解：(2)②∵EG垂直平分HF，
∴EH=EF，GH=GF，
∴四边形EHGF是“筝形”。
(3)∵四边形EHGF是筝形，∴EG⊥HF，
∴“筝形”风筝EHGF的面积=△EHF的面积＋△HGF的面积=HF·EI＋HF·IG=HF·(EI＋IG)=HF·EG=×40×60=1 200(cm2)。1.6　线段垂直平分线的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，PQ是线段AB的垂直平分线，则下列结论一定正确的是( )
A.AP=BP B.AQ=PQ
C.BQ=PQ D.3PQ=2BP
第1题图　　 　第2题图
2.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为( )
A.21 B.14
C.13 D.9
3.如图，△ABC两条边的垂直平分线相交于一点P，连结AP，BP，CP，则下列结论正确的是( )
A.AB=PB B.BC=AC
C.AC=AP D.PA=PB=PC
4.(3分)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连结BD。若AC=8，CD=5，则BD= 。
5.(8分)已知：如图，直线l及直线上一点A。
(1)(4分)求作：直线l的垂线AD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)。
(2)(4分)根据(1)中的作图步骤，求证：AD⊥l。
6.(8分)如图，在△ABC中，BC边的垂直平分线MN交AC边于点D，交BC于点E，连结BD。若CE=4，△BDC的周长为18，求BD的长。
7.(8分)如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，直线MN与AC，BC分别相交于点E，D，连结AD。若AE=3 cm，△ABC的周长为13 cm，求△ABD的周长。
8.如图，在△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
9.(8分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F。求证：
(1)(4分)FC=AD。
(2)(4分)AB=BC＋AD。
10.(8分)如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD=DE，连结AE。
(1)(4分)求证：AB=EC。
(2)(4分)若△ABC的周长为19 cm，AC=8 cm，则DC的长为多少？
11.(8分)[推理能力]如图1，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”。
【性质探究】
(1)(2分)如图1，连结筝形ABCD的对角线AC，BD，两者相交于点O，则AC，BD的位置关系是 ；AO，CO的数量关系是 。
【知识应用】
如图2，秀秀想要做一个“筝形”风筝，她先固定中间的“十字架”，再确定四周。
(2)(3分)①(1分)从数学的角度看，秀秀确定“十字架”的对角线EG和HF时，应满足的条件是 。
②(2分)借助①中所写条件，证明四边形EHGF是“筝形”。
【应用拓展】
(3)(3分)如图2，在“筝形”风筝EHGF中，已知EG=60 cm，HF=40 cm，求“筝形”风筝EHGF的面积。

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