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1.7　角平分线的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OB，垂足为D。若PD=2，则点P到边OA的距离为(　B　)
A.1 B.2 C.3 D.4
第1题图　　 第2题图
2.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中，错误的是(　B　)
A.PC=PD B.OC=OP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
3.已知∠AOB(如图)，阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点M；
③作射线OM，连结CM，DM。
根据作图步骤，一定可以推得的结论是(　A　)
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
第3题图 第4题图
4.如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则(　A　)
A.d1与d2一定相等
B.d1与d2一定不相等
C.l1与l2一定相等
D.l1与l2一定不相等
5.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线。若BC=5，BD=3，则点D到AB的距离是　2　。
第5题图 第5题答图
【解析】 如答图，过点D作DE⊥AB于点E。
∵BC=5，BD=3，
∴CD=BC－BD=5－3=2。
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=2，
即点D到AB的距离是2。
6.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高线。以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F，作射线AF，则∠DAF=　10　°。
【解析】 在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°－50°－30°=100°。
由作图知，AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠BAC=50°。
∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°。
又∵∠B=50°，
∴∠BAD=∠ADC－∠B=40°，
∴∠DAF=∠BAF－∠BAD=10°。
7.(8分)求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明：已知：P为∠AOB的平分线上的任意一点，如答图。求证：点P到OA，OB的距离相等。
第7题答图
证明：如答图，过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。
易知∠PCO=∠PDO=90°。
∵OP平分∠AOB，
∴∠POC=∠POD。
在△POC和△POD中，
∵
∴△POC≌△POD(AAS)，
∴PC=PD，
∴点P到OA，OB的距离相等，
∴在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
8.(8分)如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM=PN。
证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABD和△CBD中，
∵
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB=∠CDB。
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN。
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点G，F，再分别以点G，F为圆心，大于GF长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点D。已知CD=3，AB=8，则△ABD的面积为(　C　)
A.8 B.10
C.12 D.24
【解析】 如答图，过点D作DH⊥AB于点H。
第9题答图
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=3，
∴△ABD的面积=AB·DH=×8×3=12。
10.(3分)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28 cm2，AB=16 cm，AC=12 cm，则DE的长为　2　cm。
【解析】 ∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵S△ABC=S△ABD＋S△ACD=AB×DE＋AC×DF，
∴S△ABC=(AB＋AC)×DE，
即×(16＋12)×DE=28，
∴DE=2 cm。
11.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC。求证：
(1)(4分)AM⊥DM。
(2)(4分)M为BC的中点。
证明：(1)∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC=180°。
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD＋2∠ADM=180°，
∴∠MAD＋∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
即AM⊥DM。
(2)如答图，过点M作MN⊥AD于点N。
第11题答图
∵∠B=90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD。
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM=MN，MN=CM，
∴BM=CM，
即M为BC的中点。
12.(8分)如图，△ABC的外角的平分线BD，AE相交于点P。求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等。
证明：如答图，过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，PH⊥AC于点H。
第12题答图
∵△ABC的外角的平分线BD，AE相交于点P，
∴PF=PG，PG=PH，
∴PF=PG=PH，
∴点P到△ABC三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
13.(8分)如图，BD平分∠ABC，点E，F分别在边BA，BC上，∠1＋∠2=180°。求证：DE=DF。
证明：如答图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N。
第13题答图
∵BD平分∠ABC，DM⊥AB，DN⊥BC，
∴DM=DN，∠DMB=∠DNF=90°。
∵∠2＋∠DFN=180°，∠1＋∠2=180°，
∴∠1=∠DFN。
在△DME和△DNF中，
∵
∴△DME≌△DNF(AAS)，
∴DE=DF。
14.(8分)[推理能力]如图，学习了尺规作角平分线之后，小明尝试用以下方法作∠MON的平分线。
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点；
②以点O为圆心，不等于OA的长度为半径画弧，分别交OM，ON于C，D两点；
③连结AD，BC，两者相交于点P，作射线OP，
则射线OP即是∠MON的平分线。
小明的作图方法正确吗？若正确，请根据作图步骤证明OP是∠MON的平分线；若不正确，请说明理由。
解：小明的作图方法正确。证明如下：
在△AOD和△BOC中，
∵
∴△AOD≌△BOC(SAS)，
∴∠OAD=∠OBC。
∵OA=OB，OC=OD，
∴AC=BD。
在△ACP和△BDP中，
∵
∴△ACP≌△BDP(AAS)，
∴CP=DP。
在△OCP和△ODP中，
∵
∴△OCP≌△ODP(SSS)，
∴∠COP=∠DOP，
∴OP为∠MON的平分线。1.7　角平分线的性质 分值：71分
　　　　　　 　　　　　　　　　　　
选择题每小题3分
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，PD⊥OB，垂足为D。若PD=2，则点P到边OA的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第1题图　　 第2题图
2.如图，若OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，则下列结论中，错误的是( )
A.PC=PD B.OC=OP
C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
3.已知∠AOB(如图)，阅读以下作图步骤：
①在OA和OB上分别截取OC，OD，使OC=OD；
②分别以点C，D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧在∠AOB内相交于点M；
③作射线OM，连结CM，DM。
根据作图步骤，一定可以推得的结论是( )
A.∠1=∠2且CM=DM
B.∠1=∠3且CM=DM
C.∠1=∠2且OD=DM
D.∠2=∠3且OD=DM
第3题图 第4题图
4.如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( )
A.d1与d2一定相等
B.d1与d2一定不相等
C.l1与l2一定相等
D.l1与l2一定不相等
5.(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线。若BC=5，BD=3，则点D到AB的距离是 。
第5题图
6.(3分)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高线。以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以点B，E为圆心，大于BE长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点F，作射线AF，则∠DAF= °。
7.(8分)求证：在一个角的内部，角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
8.(8分)如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N，求证：PM=PN。
9.如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点G，F，再分别以点G，F为圆心，大于GF长为半径画弧，两弧相交于点E，作射线AE，交BC于点D。已知CD=3，AB=8，则△ABD的面积为( )
A.8 B.10
C.12 D.24
10.(3分)如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28 cm2，AB=16 cm，AC=12 cm，则DE的长为 cm。
11.(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC。求证：
(1)(4分)AM⊥DM。
(2)(4分)M为BC的中点。
12.(8分)如图，△ABC的外角的平分线BD，AE相交于点P。求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等。
13.(8分)如图，BD平分∠ABC，点E，F分别在边BA，BC上，∠1＋∠2=180°。求证：DE=DF。
14.(8分)[推理能力]如图，学习了尺规作角平分线之后，小明尝试用以下方法作∠MON的平分线。
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点；
②以点O为圆心，不等于OA的长度为半径画弧，分别交OM，ON于C，D两点；
③连结AD，BC，两者相交于点P，作射线OP，
则射线OP即是∠MON的平分线。
小明的作图方法正确吗？若正确，请根据作图步骤证明OP是∠MON的平分线；若不正确，请说明理由。

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