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2025-2026学年浙江省温州市平阳县万全综合高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足z=3i+2i6，则z的虚部是（　　）
A. -2i B. 3i C. 1 D. 3
2.已知集合A={-2，-1，0，1}，B={x||x-1|＜2}，则A∩B=（　　）
A. {-1，0} B. {-2，-1，0} C. {-1，0，1} D. {0，1}
3.已知数据4x1+1，4x2+1，…，4x10+1的平均数和方差分别为4，10，那么数据x1，x2，…，x10的平均数和方差分别为（　　）
A. -1， B. 1， C. 1， D. ，
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（　　）
A. 63 B. 45 C. 36 D. 27
5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（　　）种.
A. 90 B. 125 C. 180 D. 243
6.将函数图象上的点向左平移s（s＞0）个单位长度得到点B，若B在函数y=sin2x的图象上，则s的最小值为（　　）
A. B. C. D.
7.已知三次函数y=x3-6x2+9x,若不等式y≤m的解集为{x|x≤m}，则m的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
8.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，若|AF1|=3|AF2|，点M满足，且AM⊥F1B，则椭圆C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BB1，CC1，C1D1的中点，则（　　）
A. AA1⊥EF B. AE⊥平面BCG C. A1E∥FG D. AD∥平面EFG
10.设A，B为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为P（A）=0.5，P（B）=0.2，则下列结论正确的是（　　）
A. 若事件A，B互斥，则P（A+B）=0.7
B. 若事件A，B互斥，则P（+）=0.7
C. 若事件A，B相互独立，则P（A+B）=0.6
D. 若P（B|A）=0.3，则P（B|）=0.1
11.已知△ABC的面积为，若cos2A+cos2B+2cos（A-B）cos2C=0，，则（　　）
A. cosC=sin2A B.
C. △ABC的外接圆半径为1 D. AB2+AC2+BC2=5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.x（1-x）6的展开式中x4的系数为 .
13.已知，则= .
14.已知函数f（x）=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）（a＞0），设曲线y=f（x）在点（xi，f（xi））处切线的斜率为ki（i=1，2，3），若x1，x2，x3均不相等，且k2=-2，则k1+4k3的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.
（1）求tanB的值；
（2）若的面积为2，求△ABC的周长.
16.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，C上有一点P（p,y0）到焦点F的距离为3，过焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，|AB|=6，O为坐标原点.
（1）求点F的坐标；
（2）求△OAB的面积.
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥BC，AD∥平面PBC，PA=AC=2.
（1）证明：AD⊥PB；
（2）已知点B到平面PAC的距离为1，求二面角A-CP-B的余弦值.
18.(本小题17分)
在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为、试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.
（1）记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望E（X）；
（2）设Pn为第n轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列{Pn}的通项公式；
②记Sn为前n轮试验的期望总得分，求Sn关于n的表达式.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=aln（x+1）-2sinx.
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x,求实数a的值；
（2）若f（x）＞0对 x∈（0，π）恒成立，求整数a的最小值；
（3）当a∈（0，1）时，证明：f（x）在（0，π）上存在唯一零点x2和唯一极小值点x1，且x1＜x2＜2x1.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】-20
13.【答案】
14.【答案】18
15.【答案】解：（1）在△ABC中，a=bcosC+2csinB，根据正弦定理sinA=sinBcosC+2sinCsinB，
又sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
所以有cosBsinC=2sinCsinB，
由题意得C∈（0，π），sinC≠0，所以cosB=2sinB，
得；
(2)根据题意可知，B∈（0，π），由，解得，
可得，解得c=4，
，得，
所以周长．
16.【答案】（1，0）
17.【答案】解：（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，则PA⊥AD，
由平面PBC∩平面ABCD=BC，AD∥平面PBC，AD 平面ABCD，得AD∥BC，而AB⊥BC，
则AB⊥AD，而PA∩AB=A，PA，AB 平面PAB，
因此AD⊥平面PAB，又PB 平面PAB，
所以AD⊥PB；
（2）如图，
过点B在平面ABCD内作BO⊥AC于O，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BO，
而PA∩AC=A，PA，AC 平面PAC，则BO⊥平面PAC，所以BO=1，
又PC 平面PAC，则BO⊥PC，
在Rt△ABC中，AC=2，则，解得，
所以O为AC中点，即CO=1，在平面PAC内过O作OF⊥PC于F，连接BF，
BO∩OF=O，BO，OF 平面BOF，则PC⊥平面BOF，又BF 平面BOF，
于是BF⊥PC，∠OFB是二面角A-CP-B的平面角，
由PA⊥AC，AP=AC=2，得∠PCA=45°，所以，而BO⊥OF，
则，，
所以二面角A-CP-B的余弦值为．
18.【答案】；
①；
②
19.【答案】（1）3 （2）3 （3）证明：由f（x）=aln（x+1）-2sinx，可得，
令，可得，
当a∈（0，1）时，在上单调递增，
而φ′（0）＜0，，所以存在，使得φ′（x0）=0，
所以f′（x）在（0，x0）单调递减，在单调递增，
又f′（0）=a-2＜0，f′（x0）＜f′（0）＜0，，
所以存在，使得f′（x1）=0，所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在上单调递增，
又当时，，所以f（x）在上单调递增，
所以f（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，π）上单调递增，
所以x=x1是f（x）在（0，π）上的唯一极小值点；此时f（x1）＜f（0）=0，f（π）=aln（1+π）＞0，
所以在x2∈（x1，π），即（0，π）上存在唯一零点x2，使得f（x2）=0，
下证：x2＜2x1．
因为，所以2x1＜π，又因为f（x）在（x1，π）递增，只需证f（2x1）＞f（x2）=0，
因为x=x1是f（x）的唯一极小值点，可得f′（x1）=0，即，可得a=2（1+x1）cosx1
又因为f（2x1）=aln（1+2x1）-2sin2x1=2（1+x1）cosx1 ln（1+2x1）-2sin2x1＞0，即，
因为sinx1＜x1，只需证明：，
令，其中，
则，
所以g（x）在上单调递增，g（x）＞g（0）=0，
所以成立，证毕，
所以f（x）在（0，π）上存在唯一零点x2和唯一极小值点x1，且x1＜x2＜2x1
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