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2025-2026学年四川省眉山市仁寿县第一中学北校区高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.cos36°cos6°+sin36°sin6°=（　　）
A. B. C. D.
2.已知角θ的终边过点（1，-1），=（　　）
A. B. C. D.
3.如图，正方形AMND和正方形BMNC有公共边，与向量相等的向量为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知，则=（　　）
A.
B.
C.
D.
5.已知，则cos2α=（　　）
A. B. C. D.
6.已知，，若，则k=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin（B+C） sin（B-C）=sin2A，则△ABC的形状为（　　）
A. 正三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
8.已知函数（ω＞0），若f（x）在区间[0，π）内有且仅有3个零点和3条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（　　）
A. =（-1，2），=（5，7） B. =（3，5），=（6，10）
C. =（2，-3），=（3，2） D. =（1，0），=（0，0）
10.下面的命题正确的有（　　）
A. 若，，则
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若满足且与同向，则
D. “若A、B、C、D是不共线的四点，且” “四边形ABCD是平行四边形”
11.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期是π
B. f（x）的图象关于对称
C. f（x）在区间上单调递增
D. 由函数y=cos2x图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若∥，则λ= .
13.已知α是第二象限角，且，则= .
14.如图，三个相同的正方形相接，则α+β= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求.
16.(本小题15分)
已知函数.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
已知向量，.
（1）设向量、的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）若向量与互相垂直，求k的值.
18.(本小题17分)
学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
，
，
，
.
（1）证明：；
（2）应用上面的公式解决下列问题：已知，求cos2α-sin2β的值.
19.(本小题17分)
“星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点Q距离地面100m,轮盘直径为90m,开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置P进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心O为原点，与地面平行的直线为x轴，上下方向的直线为y轴建立平面直角坐标系：
（1）游客甲坐上座舱后，转动tmin时距离地面的高度为y（单位：m），求转动过程中y关于t的函数解析式；
（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于77.5m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】1
16.【答案】π；
最小值为-2，最大值为1．
17.【答案】 k=1
18.【答案】根据余弦和角、差角公式，
可得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，
两式相加，可得cos（α+β）+cos（α-β）=2cosαcosβ，
化简得
19.【答案】，t≥0 （i）2.5min；（ii）
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