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2025-2026学年四川省泸州市龙马潭区高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列，则该数列的第9项为（　　）
A. -3 B. 3 C. -9 D. 9
2.以下求导正确的是（　　）
A. B. （cosx）′=sinx
C. D. （3x）′=x 3x-1
3.在等差数列{an}中，若a1+a2+a3=-24，a17+a18+a19=72，则a10=（　　）
A. -8 B. 8 C. 16 D. 24
4.已知定义在R上的函数f（x），其导函数f′（x）的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A. f（b）＞f（c）＞f（d） B. f（b）＞f（a）＞f（c）
C. f（c）＞f（b）＞f（a） D. f（c）＞f（b）＞f（d）
5.等比数列{an}前n项和为Sn，S6=48，S12=60，则S18的值为（　　）
A. 83 B. 108 C. 75 D. 63
6.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（　　）
A.
B.
C.
D.
7.函数有极值点，实数a的取值范围是（　　）
A. B. （0，e] C. （0，e） D.
8.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作与x轴不垂直的直线与双曲线C的右支交于P，Q两点，若△PQF1是周长为10a的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”、“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…设第n层有an个球，从上往下n层球的总数为Sn，则）（　　）
A. S4=20 B. an+1-an=n
C. D.
10.已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，则下列说法正确的是（　　）
A. 存在点P，使得|PF2|=4
B. 存在点P，使得
C. 若△PF1F2的面积为1，则△PF1F2是直角三角形
D. 点P到直线2x+3y-8=0的距离的最大值为
11.已知a＞0且a≠1，函数f（x）=ax-xa（x＞0），则下列说法正确的是（　　）
A. 当a=e时，f（x）≥0
B. 当时，f（x）只有1个零点
C. 存在a∈（0，1），使得直线y=x+a为曲线y=f（x）的切线
D. 当a=2时，f（x）在（1，3）上的图像上任意不同三点所构成的三角形均为钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若过点A（-1，0），B（2，m）的直线的斜率为，则m= .
13.已知函数f（x）=sinx-ax在上单调递增，则实数a的最大值为 .
14.已知数列，bn=3n-2，将{bn}中的项按从小到大的顺序插入{an}中，且在任意的ak，ak+1之间插入2k项，从而构成一个新数列{cn}：a1，b1，b2，a2，b3，b4，b5，b6，a3， ，设{cn}的前n项和为Tn，则T40= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知函数f（x）=x3-3x2+2.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值.
16.(本小题15分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，.
（1）证明：数列{an+1}为等比数列；
（2）若bn=（3n-1）（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn.
17.(本小题15分)
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P在棱DD1上.
（1）证明：BP⊥AC；
（2）求的最小值及取最小值时平面A1BP与平面B1CD1夹角的余弦值.
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R），
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）=-1有两个解，求a的范围；
（3）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，不等式f（x）≥bx-2对 x∈（0，+∞）恒成立，求实数b的取值范围.
19.(本小题17分)
已知点P（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C：x2=2py（p＞0）上的动点，F是C的焦点，当x0=2时，|PF|=2.过点P作C的切线l,l交x轴于点Q，交y轴于点M，直线QF与C相交于A，B两点（A在线段QF上）.
（1）求C的方程；
（2）若F为△PBM的外心，求点P的坐标；
（3）求△PAB的面积的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】0
14.【答案】2803
15.【答案】f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），
单调递减区间为（0，2） 最大值为2，最小值为-2
16.【答案】证明：因为Sn=2an-n，当n=1时，S1=a1=2a1-1，解得a1=1，
当n≥2时，Sn-1=2an-1-（n-1），所以Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-（n-1）]=2an-2an-1-1，
即an=2an-2an-1-1，所以an=2an-1+1，
两边都加1，得an+1=2an-1+2，
又因为a1+1=2，所以=2为常数，
所以数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列 Tn=8+（3n-4） 2n+1
17.【答案】证明：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，
所以AB，AD，AA1两两互相垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），D1（0，2，2），
设P（0，2，t）（0≤t≤2），则，
所以，
则BP⊥AC 14，
18.【答案】当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
；
．
19.【答案】x2=4y 或
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