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2025-2026学年宁夏吴忠市青铜峡市第一中学高二（下）期中数学试卷（A卷）
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知函数y=f（x）在x=x0处的导数为2，则=（　　）
A. 0 B. C. 1 D. 2
2.邮递员把两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则不同的投入方法共有（　　）
A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种
3.（2-x）5展开式中的第4项是（　　）
A. -40x3 B. -40 C. 20x4 D. 20
4.已知曲线y=x3+2ax2+x+b在点（1，0）处的切线的倾斜角为，则a+b=（　　）
A. B. C. -2 D.
5.如图是y=f（x）的导函数f′（x）的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（　　）
A. 当x=-1时，f（x）取得极大值
B. f（x）在[-2，1]上是增函数
C. 当x=1时，f（x）取得极大值
D. f（x）在[-1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数
6.若函数在区间（1，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A. （-∞，-2） B. （-∞，-1） C. （-2，+∞） D. [-2，+∞）
7.某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为（　　）
A. 24 B. 36 C. 42 D. 48
8.已知函数f（x）=ax2+2ax-1，，若 x1∈[1，2]， x2∈[1，2]，使得f（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则（　　）
A. a0=1 B. a0+a1+a2+ +a8=256
C. a1+a3+a5+a7=-128 D.
10.某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、通用技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法错误的是（　　）
A. 若任意选择三门课程，则选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，则选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，则选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，则选法总数为
11.已知函数，则（　　）
A. x=e是函数f（x）的极小值点
B. 对 k≥3，方程f（x）-k=0恒有两个不同的实数解
C. πln2＞2lnπ
D. 存在k∈R，使得直线y=k（x-1）与曲线y=f（x）相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有 种.（用数字作答）
13.在二项式的展开式中，常数项为 .
14.定义：设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），若f′（x）在（a，b）上也存在导函数，则称函数y=f（x）在（a，b）上存在二阶导函数，简记为f″（x）.若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，已知f（x）=ln（2+ex）-mx2在区间（-1，1）上为“凸函数”，则实数m的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=ax3+bx2+1（a∈R），当x=2时，f（x）取得极值-3.
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，3]上的最值.
16.(本小题15分)
在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_____.
（1）求n的值；
（2）若展开式中的常数项为112，求展开式中x4的系数.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=3，E为AD的中点.
（1）证明：平面PAD⊥平面PAB；
（2）求直线PC与平面PBE所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知数列{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，且S5=15，a1，a3，a9成等比数列.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
（3）若，数列{cn}的前n项和为Hn，求证：.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex+ax2-x.
（1）求函数在（0，1）处的切线方程；
（2）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（3）当x≥0时，，求a的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】BD
11.【答案】AB
12.【答案】240
13.【答案】-160
14.【答案】（，+∞）
15.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2+2bx,
由题意得，f（2）=8a+4b+1=-3，f′（2）=12a+4b=0，
故a=1，b=-3，f（x）=x3-3x2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
当2＜x≤3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当-1≤x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
因为f（0）=1，f（3）=1，f（-1）=-3，f（2）=-3，
故函数f（x）的最大值为1，最小值为-3．
16.【答案】解：（1）选①，∵，∴n=8；
选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，∴n=8；
选③，∵所有项的二项式系数的和为256，∴2n=256，∴n=8．
（2）二项式的展开式的通项公式为，令得r=6，
∴展开式中的常数项为，得a2=4，
又∵a＞0，
∴a=2，
∴的展开式的通项公式为，
令得r=3，
∴，
∴展开式中x4的系数为-1792．
17.【答案】证明：底面ABCD为矩形，
所以AB⊥AD，
又因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PA⊥AB，
又PA∩AD=A，PA，AD 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
又AB 平面PAB，
可知平面PAD⊥平面PAB
18.【答案】an=n 由（1）得，
则
=
19.【答案】y=1 当x∈（-∞，0）时，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增
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