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2025-2026学年河北省博野中学、保定市涞源一中创新班高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知直线ax-by-1=0的倾斜角为，则=（　　）
A. B. C. D.
2.已知点Q是点P（3，2，4）在坐标平面Oyz内的射影，则=（　　）
A. B. C. D. 5
3.若方程C：x2+y2-2x+4y+a=0表示圆，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，5] B. （-∞，5） C. （5，+∞） D. [5，+∞）
4.已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（　　）
A. B. （2，3）
C. D. （1，2）∪（2，3）
5.双曲线的两个焦点分别是F1，F2，焦距为10，M是双曲线上的一点，且|MF1|=7，则|MF2|的值为（　　）
A. 1 B. 13 C. 1或13 D. 3
6.已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足，则当点P、A、B、C四点共面时，实数x=（　　）
A. B. C. D.
7.已知F1，F2分别为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若cos∠MF1N=，则C的渐近线方程为（　　）
A. B. y=±2x C. D.
8.已知椭圆G的两个焦点分别为F1，F2，短轴的两个端点分别为B1，B2，O为坐标原点，点P在椭圆G上，且满足|PB1|+|PB2|=|PF1|+|PF2|.当b变化时，|OP|的最小值为（　　）
A. 2 B. C. D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知直线l1，l2满足l1∥l2，且l1，l2间的距离为，若l1的方程为x-2y+1=0，则l2的方程为（　　）
A. x-2y+6=0 B. x-2y-4=0 C. x-2y+4=0 D. x-2y-6=0
10.已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：（x-3）2+（y-5）2=16相交于A，B两点，则（　　）
A. 直线AB的方程为3x+5y-11=0
B.
C. 四边形AC1BC2的面积为
D. 圆C3：（x-3）2+y2=1与圆C1和圆C2都相切
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，BB1的中点，点P是正方形CDD1C1内部任意一点（包括边界），则（　　）
A. AP的长度的最大值为
B. 若AP⊥平面DEF，则点P为C1D的一个三等分点
C. 平面DEF截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的周长为
D. 直线DP与平面DEF所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.点P（5，-4，1）关于y轴对称的点的坐标为 .
13.已知A（x1，y1），B（x2，y2）是直线12x-5y+b=0（b∈R）上的两点，若|x1-x2|=5，则|AB|= .
14.已知圆C：（x-3）2+y2=9，过点P（-1，-2）作C的两条切线，切点分别为E，F，则直线EF的方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C：（x+2）2+（y-6）2=16，过点M（-4，0）作斜率为1的直线l交圆C于A，B两点.
（1）求线段AB的中垂线方程；
（2）求弦AB的长.
16.(本小题15分)
已知离心率为的双曲线经过点.
（1）求C的方程；
（2）已知A，B是C上关于原点对称的两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证k1 k2为定值.
17.(本小题15分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，且，.
（1）分别求AC1，BD1的长；
（2）证明：AC1⊥BD.
18.(本小题17分)
如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，OA=OP，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，D是BP的中点.
（1）证明：CD∥平面APT；
（2）若，求直线BT与平面PAT所成角的正弦值；
（3）若平面APT和平面BPT的夹角为θ，求cosθ的最大值.
19.(本小题17分)
已知椭圆，A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M，N是椭圆C上异于A，B的两个点，当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4.
（1）求椭圆C的方程.
（2）若MA，NB的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1，证明：直线MN过定点.
（3）在（2）的条件下，若直线MA，NB交于点P，直线NA，MB交于点Q，求|PQ|的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】（-5，-4，-1）
13.【答案】13
14.【答案】4x+2y-3=0
15.【答案】x+y-4=0
16.【答案】解：（1）由题意可得，解得，所以C的方程为；
（2）证明：设A（x1，y1），B，因为点A在双曲线C上，所以．即，
所以，所以k1 k2为定值．
17.【答案】，；

=，
则，
所以AC1⊥BD
18.【答案】（1）连接OD，OC，OT，如图所示，
由题意知，OD为△PAB的中位线，
所以OD∥PA，
因为AB是圆锥底面圆的直径，T是圆O上的动点（异于点A，B），C是劣弧的中点，
所以，
所以OC∥AT，
又OC∩OD=O，OC，OD 平面OCD，PA∩AT=A，PA，AT 平面PAT，
所以平面OCD∥平面PAT，
而CD 平面OCD，
所以CD∥平面PAT （2） （3）
19.【答案】解：（1）易知当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN为菱形，
因为当四边形AMBN为菱形时，四边形AMBN的周长为，面积为4，
所以，2ab=4，
解得a=2，b=1，
则椭圆C的方程为；
（2）证明：易知直线MN的斜率不为零，
设直线MN的方程为x=my+n,M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，消去x并整理得（m2+4）y2+2mny+n2-4=0，
此时Δ=16（m2-n2+4）＞0，
由韦达定理得，
此时，
因为A（-2，0），B（2，0），
若MA，NB的斜率分别为k1，k2，且k2=3k1，
所以，
可得
=，
解得n=1，
则直线MN的方程为x=my+1，
故直线MN恒过定点（1，0）
（3）由（2）知n=1，
直线AM的方程为，直线BN的方程为，
则，
=，
解得x=4，
所以xP=4，，
同理得xQ=4，，
==，
当且仅当m=0时，等号成立．
故|PQ|的最小值为．
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