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2025-2026学年贵州省遵义市凤冈县高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.sin=（　　）
A. B. C. D.
2.复数z=1+2i，则|z|=（　　）
A. B. C. D. 5
3.=（　　）
A. 110 B. 120 C. 210 D. 240
4.若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（　　）
A. 6种 B. 24种 C. 64种 D. 81种
5.已知随机变量X～N（3，σ2），且P（X＞1）=0.7，则P（3＜X＜5）=（　　）
A. 0.6 B. 0.35 C. 0.3 D. 0.2
6.某校高二年级6名同学（包含同学甲、乙）平均分为3组，参加数学、物理、化学三个学科兴趣班，但甲同学和乙同学不能参加同一学科兴趣班，则不同的安排方案有（　　）种.
A. 54 B. 72 C. 84 D. 90
7.已知圆C过点（0，2），（4，0），（2，-4），则圆C的标准方程为（　　）
A. （x+1）2+（y-1）2=10 B. （x-1）2+（y+1）2=40
C. （x-1）2+（y+1）2=10 D. （x+1）2+（y-1）2=40
8.方程x1+x2+x3+x4+x5=9的非负整数（x1，x2，x3，x4，x5）的个数为（　　）
A. 495 B. 715 C. 1001 D. 2002
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.有一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），先计算相关系数为r,再根据最小二乘法计算回归直线方程为，最后计算出残差.下列说法正确的是（　　）
A. 回归直线经过点
B. 由这组数据得到新成对样本数据（x1+n,y1-m），（x2+n,y2-m），…，（xn+n,yn-m），再根据最小二乘法计算回归直线方程，则两条回归直线的斜率相同
C. 相关系数r越大，两个变量之间的线性相关性越强
D. 残差和越小，回归直线方程为拟合效果越好
10.设（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则下列正确的是（　　）
A. a0=1
B. 当n=5时，a0+a1+a2+…+a5=32
C. 当n为偶数时，a1+a3+a5+…+an-1=
D. 当x=-5时，（1-2x）n-1能被10整除
11.已知A，B为样本空间的两个随机事件，其中P（A）=，P（B）=，P（A∪B）=，则下列说法正确的有（　　）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B独立
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量X的数学期望E（X）=2，则E（2X-1）= .
13.展开式中x2项的系数为 .
14.已知向量||=2，且，满足|-|+|+|=8，则||的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有X名.
（1）求抽取的人中至多有1名女生的概率.
（2）设抽取的人中女生有X名，求X的分布列及数学期望.
16.(本小题15分)
钠离子电池是我国新能源储能领域的核心攻关方向之一，某科研团队为优化电池循环寿命，在传统电解液配方与新型复合电解液配方下各取20组电池进行加速寿命实验，记录每组电池循环寿命是否达到“长寿命”标准（循环次数≥1000次为长寿命，否则为短寿命），整理得到如下列联表：
长寿命（≥1000次） 短寿命（＜1000次） 合计
传统配方 9 11 20
新型配方 15 5 20
合计 24 16 40
（1）能否有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关？
（2）用频率估计概率，从采用新型配方的量产电池中随机抽取5组样品，记其中“长寿命”的组数为X，求X的数学期望和方差.
参考公式：χ2=，其中n=a+b+c+d.
P（χ2≥k0） 0.15 0.10 0.010 0.001
k0 2.072 2.706 6.635 10.828
17.(本小题15分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且c-2bcosA=b.
（1）求证：A=2B；
（2）若∠BAC的平分线交BC于D，AD=1，，求的值.
18.(本小题17分)
近年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源汽车市场得到快速发展，销量及渗透率远超预期，新能源汽车成为汽车领域的热点.某车企通过市场调研，得到研发投入x（亿元）与经济收益y（亿元）的数据，统计如下：
研发投入x（亿元） 1 2 3 4 5
经济收益y（亿元） 2.5 4 6.5 9 10.5
（1）xi（i=1，2，3，4，5）的平均数记为，证明：；
（2）依据表中统计数据，计算样本相关系数r（结果保留3位小数），并判断研发投入x与经济收益y之间是否有较强的线性相关性；（若0.3＜|r|＜0.75，则线性相关程度一般，若|r|＞0.75，则线性相关程度较强）
（3）求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益.
参考数据：，.
附：相关系数，线性回归方程的斜率.
19.(本小题17分)
甲，乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛中当一方比另一方多两分比赛中止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ=1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立.
（1）若，，，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
（2）当γ=0时，
（i）若比赛最多进行6局（若到第6局时未分出胜负，也结束比赛），求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】3
13.【答案】42
14.【答案】4
15.【答案】 X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4
P

16.【答案】没有99%的把握认为电池“长寿命”与电解液配方有关 ，
17.【答案】（1）证明：根据c-2bcosA=b,由正弦定理得sinC-2sinBcosA=sinB，
在△ABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
所以sinAcosB+cosAsinB-2sinBcosA=sinB，即sinAcosB-sinBcosA=sinB，
所以sin（A-B）=sinB，
结合，且y=sinx在上单调递增，可得A-B=B，所以A=2B；
（2）解：因为且B为锐角，所以，
可得，
根据S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得，
结合A=2B且AD=1，可得bcsinBcosB=（b+c）sinB，
而sinB＞0，得bccosB=（b+c），即bc=（b+c），
整理得5（b+c）=8bc,所以==．
18.【答案】已知，即，
=
=
=，
所以 r≈0.995，具有较强的线性相关程度 y关于x的线性回归方程为，预测研发投入10亿元时的经济收益为21.2亿元
19.【答案】解：（1）4局比赛结束后甲学员赢得比赛，甲乙学员的得分情况为2：0，3：1，
若甲乙学员得分情况为2：0，概率P==3×=，
若甲乙学员得分情况为3：1，概率，
所以4局比赛结束甲学员赢得比赛的概率为；
（2）（i）因为γ=0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即α+β=1，
由题意得X的所有可能取值为2，4，6，
则P（X=2）=α2+β2，
P（X=4）=（αβ+βα）α2+（αβ+βα）β2=2αβ（α2+β2），
P（X=6）=（αβ+βα） （αβ+βα） （α2+β2+2αβ）=4α2β2，
所以X的分布列为：
X 2 4 6
P α2+β2 2αβ（α2+β2） 4α2β2
所以E（X）=2（α2+β2）+8αβ（α2+β2）+24α2β2=8α2β2+4αβ+2，
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
所以，
故E（X）的最大值为；
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，
当甲，乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，
所以P（M）=α2+αβP（M）+βαP（M）=α2+2αβP（M），
所以，
因为α+β=1，
所以，
即“甲学员赢得比赛”的概率为．
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