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吉林长春市第二中学2025-2026学年高二下学期第二学程考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．观察下图的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量，之间没有关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中含项的系数为（ ）
A．1 B．6 C．15 D．20
4．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，则（ ）
A．24 B．21 C． D．
6．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（ ）
参考数据：，，．
A．455 B．2718 C．6346 D．9545
7．已知函数在区间上存在单调减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列叙述正确的是（ ）
A．甲、乙、丙等5人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有36种排法
B．用数字0，1，2，3这四个数可以组成没有重复数字的四位数共有18个
C．4个人分别从3个景点中选择一处游览，有81种不同选法
D．正十二边形的对角线的条数是54
10．某中学为学生开设校本选修课，分为人文社科、自然科学、艺术体育三类课程，同学甲可以从中选择一类或者两类课程进行学习．设事件“甲选了两类课程”，“甲选了自然科学类课程”，则（ ）
A． B．
C． D．与相互独立
11．已知，为函数的图象上不同的两点，且直线过原点，若在，处的两条切线相交于点，则（ ）
A．直线斜率的取值范围为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知变量、满足线性相关关系，经验回归方程为且，．现有一对观测数据为，若该数据的残差为0.6，则__________．
13．已知展开式的二项式系数和为，若，则______.
14．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．
四、解答题
15．已知函数，当时，有极小值0.
(1)求实数的值；
(2)求函数在区间上的最值.
16．近几年来，人工智能（简称）逐渐兴起，并在各行各业中都得到较广泛的应用，某校随机抽查了100名教师，调查他们使用技术与年龄的情况，收集整理数据后得到如右列联表．
年级 使用技术情况 合计
经常使用 不经常使用
超过40周岁 20 30 50
不超过40周岁 40 10 50
合计 60 40 100
(1)依据小概率值的独立性检验，分析是否经常使用技术与年龄有无关联？
(2)现从样本中经常使用技术的教师中，按是否超过40岁分层，利用分层随机抽样的方法抽取6人进行调查，并从被抽取的6人中随机抽取3人进行长期跟踪研究，记这3人中年龄不超过40周岁的教师人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)当时，不等式在上能成立，求整数k的最小值.
18．一个盒子里装有大小相同且质地均匀的6个小球，编号分别为1，2，3，4，5，6.甲乙两人摸球，每次由其中一人在盒中摸出两球后立即放回.若两球编号之和是3的倍数，则由这个人继续摸球；否则，由另一人开始摸球.
(1)求在一次摸球后，摸出两球编号之和是3的倍数的概率；
(2)假设第一次是甲摸球，在前4次摸球中，记乙摸球的次数为随机变量，求随机变量的分布列和期望；
(3)假设第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率.
19．对于函数，若存在实数，使，其中，则称为“可移倒数函数”，为“的可移倒数点”．已知．
(1)设，若为“的可移倒数点”，求函数的单调区间；
(2)设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《2026年6月24日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A A B A B BCD BC
题号 11
答案 ABC
12．11.6
13．
14．或0
15．【详解】（1），，
当时，有极小值0，，
，，，，
的解为或，在上是单调递增函数；
的解为，在上是单调递减函数，
在处取得极小值，满足题意，故.
（2）由（1），，，
又，在上的解为，在上是单调递增函数；
在上的解为，在上是单调递减函数；
在上的最小值为，
又，，
在上的最大值为，
综上可知，在上的最小值为，最大值为.
16．
【详解】（1）零假设为：是否经常使用AI技术与年龄无关联．
根据表中数据，得:
，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常使用AI技术与年龄有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）采用按比例分配的分层随机抽样，
超过40岁抽取人数为，不超过40岁抽取人数为，
所以随机变量的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为：
1 2 3
所以.
17．【详解】（1）依题意可得 ，所以 .
① 若 在 单调递增;
②若 ，令 ，则 ，
当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 单调递减，
所以当时，无极值；
当时，存在极大值，无极小值.
（2）当 时， .
因为 ，所以原不等式可化为 ，
即 在 能成立.
令 ，要使原不等式能成立，即 ，
则 ，令 .
则 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以，使 ，即 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
由 ，得 ，
得到
所以 ，因为 ，所以 .
18．
【详解】（1）在一次摸球后有种等可能的结果，
其中“两球编号之和为3”有1种结果，“两球编号之和为6”有2种结果，“两球编号之和为9”有2种结果，
故“两球编号之和是3的倍数”的概率为.
（2）由题意，设事件分别表示甲乙摸到3的倍数(以下连写表示顺次摸出情况)，
事件为的概率，
事件为的概率，
事件为的概率，
事件为的概率，
0 1 2 3
；
（3）由，当时，，
整理可得，又，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
所以，故.
19．【详解】（1）由为“的可移倒数点”，得，
即，整理，即，解得，
由的定义域为R，求导得，
当时，单调递增；时，单调递减；
时，单调递增，
所以的单调递增区间为，递减区间为．
（2）依题意，，
由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，
①当时，，方程可化为，解得，
这与不符，因此在内没有实数根；
②当时，，方程可化为，
该方程又可化为．
设，则，
因为当时，，所以在内单调递增，
又因为，所以当时，，
因此，当时，方程在内恰有一个实数根；
当时，方程在内没有实数根．
③当时，没有意义，所以不是的实数根．
④当时，，方程可化为，
化为，于是此方程在内恰有两个实数根，
则有，解得，
因此当时，方程在内恰有两个实数根，
当时，方程在内至多有一个实数根，
综上，的取值范围为．
答案第1页，共2页
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