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山东济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年度6月份检测试题高二数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知命题，则的否定为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合， 则（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量（单位：t）与相应的生产能耗（单位：t标准煤）的几组数据：
4 5 6 7
标准煤 3.2 3.8 5.3
根据数据可得到的回归方程为，则（ ）
A．4.6 B．4.55 C．4.5 D．4.35
5．已知函数，正数满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．8 D．9
6．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某学校高二年级数学课外活动小组中有男生4人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有21种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有12种不同的选法
C．将这7名学生排成一排，3位女生排在一起的方法共有360种
D．7名学生排成一排，已知4名男生已排好，现将3名女生插入队伍中，则共有210种排法.
10．已知正实数满足，则下列结论不正确的是（）
A．的最大值为 B．的最大值为4
C．的最小值为 D．的最小值为4
11．已知函数的定义域为，，，为奇函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
三、填空题
12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为____________.
13．若，则（，）取得最大值时，________．
14．已知实数，满足，则的取值范围是______．
四、解答题
15．已知函数在处取得极值.
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值.
16．某班数学兴趣小组为研究本班同学的锻炼频次与身体素质指标的关系，统计得到5名同学每周锻炼频次与身体素质指标的数据如下：
锻炼频次（） 2 4 5 6 8
身体素质指标（） 30 40 50 60 70
(1)若，之间具有线性相关关系，试建立，之间的经验回归方程，并预测每周锻炼频次为9次的同学的身体素质指标；
(2)依据表中数据，在这5名同学中任取三人，记身体素质指标大于等于50的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
附：①参考数据：，；
②经验回归方程的斜率和截距最小二乘估计公式分别为，．
17．已知函数．
(1)当时，设，若在中，唯一的最大的数是，试求的值；
(2)化简；
(3)当时，定义：，化简：．
18．某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响．
(1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率；
(2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值；
(3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求．
19．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《山东济宁市嘉祥县第一中学2025-2026学年度6月份检测试题高二数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C D C B C BD ABD
题号 11
答案 BCD
12．64
13．6或7
14．
15．【详解】（1）由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，.
又，，
故的最大值为2，最小值为.
16．
【详解】（1），.
，
，
因此经验回归方程为.
将代入方程，得，
即每周锻炼频次为9次的同学身体素质指标预测值为.
（2）身体素质指标大于等于50的同学有3人，小于50的同学有2人.
随机变量表示抽取3人中身体素质指标大于等于50的人数，则的可能取值为.
，
的分布列为：
.
17
【详解】（1）因为二项式展开式的通项为：，
又在中，唯一的最大的数是，由于，
所以，即，解得，即，
又，所以或；
（2），
原式；
（3）①，
②，
在①、②添加，则得
③，
④，
③+④得：，
.
18．
【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为；
（2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次；
或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为
；
故当时，的最小值为
（3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1
则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故，
记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为，
则，，
事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为，
则，
且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故
由全概率公式，
所以
19．【详解】（1），
当时，，在上是增函数；
当时，时，，时，，
所以在上是减函数，在上是增函数．
综上，时，在上是增函数；
时，在上是减函数，在上是增函数．
（2）不等式即为，，
设，则，
设，则在上恒成立，
所以在上单调递增，
，因为，
所以，所以，
又，
所以存在唯一的，使得，即，
，，
在时，是单调增函数，所以，即，从而，
时，，即，单调递减，
时，，即，单调递增，
所以，
代入，，得，
所以；
（3）要证不等式成立，
即证，
也即证不等式，
设，则，
易知是增函数，
又，，
因为，所以，所以，
所以存在唯一的，使得，时，，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由，得，
，
因为，所以，，，
所以，
而，所以，
所以，
所以成立．
答案第1页，共2页
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