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2025/2026学年第二学期高二年级期终考试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，
1.样本数据1,2,2,4,4,4,5的众数为
A.1
B.2
C.4
D.5
2.已知随机变量X~83,,
则E(X)F
A.
B.2
C.1
D.2
3
3.在△ABC中，CA=i,AB=b,M为AB的中点，则CM=
B+
2
a+6
4.2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的不同排法种数为
A.72
B.144.
C.240
D.480
5.已知x,y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方
程为)=0.95+2.6，则表格中数据m的值为
0
1
3
4
u
4.3
4.8
6.7
A.2.1
B.2.2
0.2.3
D.2.4
6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P在抛物线上，
若直线OP的倾斜角为60°，则点O到直线PF的距离为
A.23p
B.
33p
c.V2p
D.v3p
7
8
7
8
7.已知随机事件M,N相互独立，P(MN)=3,P(冈M）=2,则P(M+N)=
2
C.5
8.如图，计划建造一个半径为r且圆心角不超过90°的扇形花园，再建造一个圆形花
坛，使其与扇形的两条半径边以及圆弧边都相切，最后再建造一个圆形喷泉，使其
与两条半径边相切，并且与花坛外切.要使喷泉的效果最好（即圆形喷泉半径最
大)，则建造扇形花园圆心角的正弦值为
花坛
喷泉
8.3
c.5
D.42
8
9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9,已知双曲线G:Xy2=1的-个焦点为(3,0)，则双曲线G的
A.焦距为6
B.实轴长为2W2
C.离心率为32
D.渐近线方程为x±2√2y=0
10.已知函数(=的导函数为了()，则下列说法正确的是
A.f()=-1
B.函数f(x)的极大值为1
C.8e2<9e3
D.若存在唯一的整数x。,使得f(x)-a(x,+2)>0,则实数a的取值范围为
3e sas I
21
2
11.三棱锥D-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，△ABD为等边三
角形，AB=2W2,记二面角C-AB-D的大小为0，则
A.AB⊥CD
存在O,使三棱锥D-ABC的体
C.存在钝角0，使得AD.BC=0
D.当0=120，三棱维D-ABC的外接球表面积为104r
9
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知随机变量X~N(3,σ2)，若P(X<2)=0.3,则P(X>4)=
13.若函数f(x)=x3-12x-a有三个零点，则实数a的取值范围为
14.若(2+y八(22，neN）的展开式中r的系数为f四，则2@
i-1
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤.
15.(13分)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,
PA=AB=2,BC=3,点E满足AE=AD.
3
(1)证明：直线CD⊥平面PAD;
(2)求平面PBE与平面ABCD夹角的余弦值.
16.(15分)设数列{an}满足4n+1=2an+n-1,4=1·
(1)证明：数列{an+n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn·2025/2026学年度第二学期高二年级期终考试
参考答案
一、选择题：
1．C 2．C 3．B 4．D
5．B 6．A 7．A 8．D
二、选择题：
9．ACD 10．ABD 11．ABD
三、填空题
12．0.3 13． ( 16,16) 14． (n 1) 2n 2
四、解答题
15．解：（1）因为 PA⊥平面 ABCD ，CD 平面 ABCD ，所以 PA⊥CD ．
因为四边形 ABCD 为矩形，所以CD⊥ AD． ………………3 分
又 PA AD = A， PA， AD 平面 PAD ，
所以CD ⊥平面 PAD ． ………………5 分
（2）因为 PA⊥平面 ABCD ， AB ⊥ AD，
故以 AB， AD ， AP所在直线分别为 x， y ， z 轴建立空间直角坐标系 A xyz
如图所示． ………………6 分
z
P
A
E D y
B C
x
易得 B(2,0,0) ， E(0,1,0)， P(0,0,2) ，所以 BE = ( 2,1,0)， BP = ( 2,0,2)．
设平面 PBE 的法向量为 n = (x, y, z) ，
n BE = 0 2x + y = 0
则由 ，得 ，
n BP = 0 2x + 2z = 0
令 x =1，得 y = 2， z =1，
故平面 PBE 的一个法向量为 n = (1,2,1) ． ………………9 分
又易得平面 ABCD 的一个法向量为m = (0,0,1) ．
记平面 PBE 与平面 ABCD 的夹角为 ．
m n 1 6
于是 cos = cos m,n = = = ，
m n 6 1 6
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6
故平面 PBE 与平面 ABCD 夹角的余弦值为 ． ………………13分
6
16．解：（1）因为 an+1 = 2an + n 1，所以an+1 + n+1= 2(an + n) ………………3分
an+1 + n+1
因为 a = 21 +1= 2 0，所以 ， an + n
所以数列 an + n 是等比数列． ………………6分
（ ）由（ ）可知，a n 1 n2 1 n + n = 2 2 , 所以an = 2 n, ………………9 分
n n n n(n+1)
Sn = (2
i i) = 2i i =2n+1 2 ． ………………15 分
i=1 i=1 i=1 2
2 2 4
17．解：（1）（ⅰ）记事件 A :甲最终 2：0 获胜，则P(A) = = ； ……………2 分
3 3 9
（ⅱ）随机变量 X 可能取 2，3，
2 2 1 1 5 5 4
P(X = 2) = + = ， P(X = 3) =1 = .
3 3 3 3 9 9 9
随机变量 X 的分布列为：
X 2 3
5 4
P
9 9
……………6 分
（2）赛制一：比赛采取三局两胜制；
甲有 2∶0、2∶1 两种获胜情形，
甲获胜概率 p = p2 + p(1 p) p + (1 p) p2 = 2p3 +3p2 ……………9分 1
赛制二：比赛采取五局三胜制；
甲有 3∶0、3∶1、3∶2 三种获胜情形，
p = p3 +C2 p2 (1 p) p+C2 p2(1 p)2甲获胜概率 2 3 4 p = 6p
5 15p4 +10p3
……………11 分
因为 p p = 6p5 4 32 1 15p +12p 3p
2，
= 3p2(2p3 5p2 + 4p 1)
= 3p2 (1 p)2(2p 1)，
1
当0 p 时， p2 p1 0 ，此时赛制一对甲最终获胜有利；
2
1
当 p 1时， p2 p1 0，此时赛制二对甲最终获胜有利．……………15 分
2
c 2
18．解：（1）设椭圆C 的半焦距为 c ，依题意得b =1， = ，
a 2
x2
18．（1）再结合 2a2 = b2 + c2，可解得 a2 = 2，所以椭圆C 的方程为 + y =1．
2
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……………3 分
（2）（ⅰ）依题意知椭圆C 的右焦点 F(1,0)．
若直线 l 经过 F ，则直线 l 的方程为 y = x 1．
4
y = x 1 x =
x = 0 3
18．（2）① 联立直线 l 和椭圆C 的方程，得 x2 ，解得 或 ． 2
+ y =1 y = 1 1
2 y =
3
……………6 分
4 1
18．（2）① 不妨记 M ( , )， N (0, 1)，
3 3
1 4 4
所以△ AMN 的面积为 [1 ( 1)] = ． ……………7分
2 3 3
18．（（ⅱ）依题意可设直线 l 的方程为 y = x +m，M (x1,.x1 +m) ， N (x2 ,.x2 +m) ．
y = x + m

18．（2）① 联立直线 l 和椭圆C 的方程，得 x2 ，
+ y
2 =1
2
18．（2）① 消去 y ，得3x2 + 4mx + 2m2 2 = 0 …………（*），
2
4m 2m 2
18．（2）① 所以 0， x x x1 + x2 = ， 1 2 = ， ……………10 分
3 3
解得 3 m 3 ．
18．（2）① 因为 AM = (x1,.x1 +m 1)， AN = (x2 ,.x2 +m 1)，
18．（2）① 故由 AM AN = x1x2 + (x1 +m 1)(x2 +m 1)
18．（2）① = 2x1x2 + (m 1)(x1 + x2 ) + (m 1)
2
2m2 2 4m
18．（2）① = 2 + (m 1) ( ) + (m 1)2
3 3
2 2 1= m m ． ……………15 分
3 3
1 4
当m = 时， AM AN 的最小值为 ． ……………17 分
3 9
2 2 2x2
19．解：（1）依题意得 h(x) = 2ln x x2 ，且 x (0,.+ )，所以 h (x) = 2x = ．
x x
19．（1） 令 h (x) 0，得 0 x 1；令 h (x) 0，得 x 1．
19．（1） 所以函数 h(x) = 2ln x x2 的单调增区间为 (0,.1)，单调减区间为 (1,.+ ) ．
……………4 分
19． （2）设直线 l 与曲线 y = f (x) 的图像切于点 (m,.2ln m)，与曲线 y = g(x) 的图像切于
2
19．（2） 点 (n,.n ) ．
2 2
19．（2） 因为 f (x) = 2ln x， g(x) = x ，所以 f (x) = ， g (x) = 2x ，
x
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2
19．（2） 于是可求得切线 l 的方程即为 2y = (x m) + 2ln m ，也为 y = 2n(x n) + n ，
m
2
19．（2） 所以 = 2n 且 2ln m 2 = n2 ，
m
19．（2） 于是 2ln n n2 + 2 = 0 …………（*）．
2
19．（2） 记 F (x) = 2ln x x + 2，
19．（2） 由（1）知 F (x)在 (0,.1)递增，在 (1,.+ ) 上递减，
19．（2） 所以 F (x)在 (0,.+ ) 上的最大值为 F(1) =1 0．
1 1 2
19．（2） 又 F( ) = 0， F (e) = 4 e 0 ，
e e2
19．（2） 所以 F (x)在 (0,.1)及 (1,.+ )上各仅有一个零点，则（*）式有且仅有两个不同
的实数根．
所以有且仅有两条直线与曲线 y = f (x) 与 y = g(x) 均相切． ……………9 分
19． （3）（法一）
g(x) 1 x2 1
记 A(x) = f (x) = 2ln x ， x (1,.+ )．
xm xm
(2 m)x2 2xm + m
19．（3 ）则 A (x) = ．
xm+1
19．（3） 记 B(x) = (2 m)x2 2xm + m ．
19．（3） 则 B (x) = x[4 2m 2mxm 2 ]．
19．（3）1．当m = 0时，此时 A(x) = x2 1 2ln x ，由（1）知 A(x) 在 (1,.+ ) 上递增，
19．（3）1．所以当 x (1,.+ )时， A(x) A(1) = 0 ，符合题意．
2x2 + 2
19．（3）2．当m = 2时，此时 A (x) = ，易得当 x (1,.+ )时， A (x) 0 ，
x3
19．（3）2．故 A(x) 在 (1,.+ )上递减，于是当 x (1,.+ )时， A(x) A(1) = 0，不符合题意．
19．（3）3．当m 2时，易得当 x (1,.+ )时， B (x) 0 ，所以 B(x) 在 (1,.+ ) 上递减，
19．（3）3．所以当 x (1,.+ )时， B(x) B(1) = 0，即 A (x) 0 ，
19．（3）3．故 A(x) 在 (1,.+ )上递减，于是当 x (1,.+ )时， A(x) A(1) = 0，不符合题意．
19．（3）4．当m 0时，易得当 x (1,.+ )时， B (x) 0 ，所以 B(x) 在 (1,.+ ) 上递增，
19．（3）4．所以当 x (1,.+ )时， B(x) B(1) = 0 ，即 A (x) 0 ，
19．（3）4．所以当 x (1,.+ )时， A(x) A(1) = 0 ，符合题意．
19．（ ） m 23 5．当 0 m 2时，易得 y = 4 2m 2mx 在 (1,.+ ) 上递增，
19．（3）5．5.1．若 4 2m 2m 0，即 0 m 1，
19．（3）5．5.1．此时当 x (1,.+ )时， 4 2m 2mxm 2 0 ，即 B (x) 0 ，
19．（3）5．5.1．所以 B(x) 在 (1,.+ )上递增，所以 B(x) B(1) = 0 ，即 A (x) 0 ，
19．（3）5．5.1．所以当 x (1,.+ )时， A(x) A(1) = 0 ，符合题意．
19．（3）5．5.2．若 4 2m 2m 0，即1 m 2，
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1
2 m
19．（3）5．5.1．此时当 x (1,.( )m 2 )时， B (x) 0 ，
m
1
2 m
19．（3）5．5.1．所以 B(x) 在 (1,.( )m 2 ) 上递减，
m
1
2 m
19．（3）5．5.1．所以当 x (1,.( )m 2 )时， B(x) B(1) = 0，即 A (x) 0 ，
m
1 1
2 m 2 m
19．（3）5．5.1．所以当 x (1,.( )m 2 )时， A(x) 在 x (1,.( )m 2 )上递减，
m m
19．（3）5．5.1．此时 A(x) A(1) = 0，不符合题意．
19．（3）综上，m 的取值范围是 ( ,.1]． ……………17 分
（3）（法二）
2 m m
由题意 x x 2ln x 0，记 r(x) = x2 m x m 2ln x
因为 r(1) = 0，所以 1, x (1, ),r(x) 单调递增，
所以 x (1, ),r (x) 0，从而必有 r (1) 0 ，
又因为 r (1) = 0，所以同理必有 r (1) 0，
从而得m 1. ………………12分
下证当m 1时， r(x) 0.
m 2 1 2
当m 1，x 1时， r(x) = x (x 1) 2ln x x (x 1) 2ln x
1 1 2 (x 1)2
记m(x) = x 2ln x，则m (x) =1+ = 0
x x2 x x2
所以m(x)在（1，+ ）单调递增，从而m(x) m(1) = 0
所以 r(x) m(x) 0，得证.…………………………………17分
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